Theorem breqtrd 4056

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
breqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	breq2d 4042	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031

This theorem is referenced by:  breqtrrd  4058  breqtrid  4067  tfrexlem  6389  phplem4  6913  phplem4on  6925  fidifsnen  6928  fisbth  6941  fin0  6943  fin0or  6944  ltsonq  7460  addlocprlemeqgt  7594  prmuloclemcalc  7627  mullocprlem  7632  addcanprlemu  7677  ltaprlem  7680  ltaprg  7681  prplnqu  7682  ltmprr  7704  cauappcvgprlemopl  7708  cauappcvgprlemloc  7714  cauappcvgprlemladdru  7718  cauappcvgprlemladdrl  7719  cauappcvgprlem1  7721  caucvgprlemm  7730  caucvgprlemopl  7731  caucvgprlemloc  7737  caucvgprprlemloccalc  7746  caucvgprprlemopl  7759  recexgt0sr  7835  ltm1sr  7839  prsrpos  7847  caucvgsrlemoffgt1  7861  caucvgsr  7864  suplocsrlempr  7869  pitoregt0  7911  axpre-suploclemres  7963  add20  8495  mullt0  8501  ltmul1a  8612  ltm1  8867  recgt0  8871  prodgt0gt0  8872  prodgt0  8873  prodge0  8875  lemul1a  8879  recp1lt1  8920  recreclt  8921  ledivp1  8924  mulle0r  8965  ltaddrp2d  9800  mul2lt0np  9832  xleadd1a  9942  xleaddadd  9956  fz01en  10122  fzonmapblen  10257  qbtwnrelemcalc  10327  flqaddz  10369  flhalf  10374  flqdiv  10395  modqmuladdim  10441  modqsubdir  10467  addmodlteq  10472  frecfzen2  10501  iseqf1olemab  10576  ser3le  10611  ltexp2a  10665  leexp2a  10666  exple1  10669  expubnd  10670  bernneq  10734  faclbnd6  10818  hashfz  10895  zfz1isolemiso  10913  zfz1iso  10915  seq3coll  10916  cvg1nlemcxze  11129  cvg1nlemres  11132  recvguniqlem  11141  resqrexlemover  11157  resqrexlemdec  11158  resqrexlemcalc2  11162  resqrexlemcalc3  11163  resqrexlemnm  11165  resqrexlemoverl  11168  ltabs  11234  abslt  11235  absle  11236  abstri  11251  maxabslemlub  11354  maxabslemval  11355  dfabsmax  11364  bdtrilem  11385  xrmaxiflemab  11393  xrmaxiflemlub  11394  xrmaxaddlem  11406  reccn2ap  11459  climge0  11471  climaddc2  11476  summodclem2a  11527  zsumdc  11530  isumge0  11576  fsumle  11609  fsumlt  11610  isumshft  11636  expcnvap0  11648  geolim  11657  geolim2  11658  georeclim  11659  geo2lim  11662  cvgratnnlembern  11669  cvgratnnlemfm  11675  mertenslemi1  11681  mertensabs  11683  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  zproddc  11725  fprodseq  11729  efcllemp  11804  ef0lem  11806  efgt0  11830  eftlub  11836  efltim  11844  sinbnd  11898  cosbnd  11899  ef01bndlem  11902  sin01gt0  11908  cos01gt0  11909  sin02gt0  11910  eirraplem  11923  dvdssub2  11981  dvdsadd2b  11986  dvdsexp  12006  opoe  12039  divalglemeunn  12065  divalglemex  12066  divalglemeuneg  12067  gcdaddm  12124  bezoutlemstep  12137  dvdsgcd  12152  dvdsmulgcd  12165  bezoutr1  12173  nninfctlemfo  12180  nn0seqcvgd  12182  rpmulgcd2  12236  qredeq  12237  rpdvds  12240  prmind2  12261  divdenle  12338  phicl2  12355  hashdvds  12362  phimullem  12366  eulerthlemth  12373  prmdiveq  12377  prmdivdiv  12378  pythagtriplem4  12409  pythagtriplem10  12410  pythagtriplem19  12423  pcpre1  12433  pcadd2  12482  qexpz  12493  expnprm  12494  oddprmdvds  12495  pockthlem  12497  4sqlem7  12525  4sqlem10  12528  4sqexercise1  12539  4sqexercise2  12540  4sqlemsdc  12541  4sqlem11  12542  4sqlem12  12543  4sqlem14  12545  4sqlem15  12546  4sqlem16  12547  ennnfonelemkh  12572  ennnfonelemnn0  12582  qusgrp  13305  dvdsrid  13599  dvdsrtr  13600  dvdsrneg  13602  unitmulcl  13612  unitgrp  13615  unitnegcl  13629  subrguss  13735  subrgunit  13738  znidomb  14157  psmetsym  14508  psmettri  14509  mettri2  14541  xmetsym  14547  xmettri  14551  metrtri  14556  xblss2ps  14583  xblss2  14584  blhalf  14587  xmsge0  14646  cnmet  14709  ivthinclemlopn  14815  ivthdichlem  14830  dveflem  14905  dvef  14906  plyaddlem1  14926  sin0pilem1  14957  sinq12gt0  15006  sinq34lt0t  15007  cosq14gt0  15008  coseq0q4123  15010  rpabscxpbnd  15114  logbgcd1irraplemexp  15141  lgslem1  15157  lgseisenlem2  15228  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  lgsquad2lem1  15238  2sqlem3  15274  2sqlem4  15275  2sqlem8  15280  pwf1oexmid  15560  qdencn  15587  cvgcmp2nlemabs  15592  apdifflemf  15606  apdifflemr  15607