Theorem breqtrd 3899

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
breqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	breq2d 3887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1299   class class class wbr 3875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-v 2643  df-un 3025  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-br 3876

This theorem is referenced by:  breqtrrd  3901  syl5breq  3910  tfrexlem  6161  phplem4  6678  phplem4on  6690  fidifsnen  6693  fisbth  6706  fin0  6708  fin0or  6709  ltsonq  7107  addlocprlemeqgt  7241  prmuloclemcalc  7274  mullocprlem  7279  addcanprlemu  7324  ltaprlem  7327  ltaprg  7328  prplnqu  7329  ltmprr  7351  cauappcvgprlemopl  7355  cauappcvgprlemloc  7361  cauappcvgprlemladdru  7365  cauappcvgprlemladdrl  7366  cauappcvgprlem1  7368  caucvgprlemm  7377  caucvgprlemopl  7378  caucvgprlemloc  7384  caucvgprprlemloccalc  7393  caucvgprprlemopl  7406  recexgt0sr  7469  prsrpos  7480  caucvgsrlemoffgt1  7494  caucvgsr  7497  pitoregt0  7536  add20  8103  mullt0  8109  ltmul1a  8219  ltm1  8462  recgt0  8466  prodgt0gt0  8467  prodgt0  8468  prodge0  8470  lemul1a  8474  recp1lt1  8515  recreclt  8516  ledivp1  8519  mulle0r  8560  ltaddrp2d  9365  xleadd1a  9497  xleaddadd  9511  fz01en  9674  fzonmapblen  9805  qbtwnrelemcalc  9874  flqaddz  9911  flhalf  9916  flqdiv  9935  modqmuladdim  9981  modqsubdir  10007  addmodlteq  10012  frecfzen2  10041  iseqf1olemab  10103  ser3le  10132  ltexp2a  10186  leexp2a  10187  exple1  10190  expubnd  10191  bernneq  10253  faclbnd6  10331  hashfz  10408  zfz1isolemiso  10423  zfz1iso  10425  seq3coll  10426  cvg1nlemcxze  10594  cvg1nlemres  10597  recvguniqlem  10606  resqrexlemover  10622  resqrexlemdec  10623  resqrexlemcalc2  10627  resqrexlemcalc3  10628  resqrexlemnm  10630  resqrexlemoverl  10633  ltabs  10699  abslt  10700  absle  10701  abstri  10716  maxabslemlub  10819  maxabslemval  10820  dfabsmax  10829  bdtrilem  10849  xrmaxiflemab  10855  xrmaxiflemlub  10856  xrmaxaddlem  10868  reccn2ap  10921  climge0  10933  climaddc2  10938  summodclem2a  10989  zsumdc  10992  isumge0  11038  fsumle  11071  fsumlt  11072  isumshft  11098  expcnvap0  11110  geolim  11119  geolim2  11120  georeclim  11121  geo2lim  11124  cvgratnnlembern  11131  cvgratnnlemfm  11137  mertenslemi1  11143  mertensabs  11145  efcllemp  11162  ef0lem  11164  efgt0  11188  eftlub  11194  efltim  11202  sinbnd  11257  cosbnd  11258  ef01bndlem  11261  sin01gt0  11266  cos01gt0  11267  sin02gt0  11268  eirraplem  11278  dvdssub2  11330  dvdsadd2b  11335  dvdsexp  11354  opoe  11387  divalglemeunn  11413  divalglemex  11414  divalglemeuneg  11415  gcdaddm  11467  bezoutlemstep  11478  dvdsgcd  11493  dvdsmulgcd  11506  bezoutr1  11514  nn0seqcvgd  11515  rpmulgcd2  11569  qredeq  11570  rpdvds  11573  prmind2  11594  divdenle  11667  phicl2  11682  hashdvds  11689  phimullem  11693  ennnfonelemkh  11717  ennnfonelemnn0  11727  psmetsym  12257  psmettri  12258  mettri2  12290  xmetsym  12296  xmettri  12300  metrtri  12305  xblss2ps  12332  xblss2  12333  blhalf  12336  xmsge0  12395  cnmet  12452  pwf1oexmid  12780  qdencn  12806  cvgcmp2nlemabs  12811