Theorem breqtrd 4060

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
breqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	breq2d 4046	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  breqtrrd  4062  breqtrid  4071  tfrexlem  6401  phplem4  6925  phplem4on  6937  fidifsnen  6940  fisbth  6953  fin0  6955  fin0or  6956  ltsonq  7484  addlocprlemeqgt  7618  prmuloclemcalc  7651  mullocprlem  7656  addcanprlemu  7701  ltaprlem  7704  ltaprg  7705  prplnqu  7706  ltmprr  7728  cauappcvgprlemopl  7732  cauappcvgprlemloc  7738  cauappcvgprlemladdru  7742  cauappcvgprlemladdrl  7743  cauappcvgprlem1  7745  caucvgprlemm  7754  caucvgprlemopl  7755  caucvgprlemloc  7761  caucvgprprlemloccalc  7770  caucvgprprlemopl  7783  recexgt0sr  7859  ltm1sr  7863  prsrpos  7871  caucvgsrlemoffgt1  7885  caucvgsr  7888  suplocsrlempr  7893  pitoregt0  7935  axpre-suploclemres  7987  add20  8520  mullt0  8526  ltmul1a  8637  ltm1  8892  recgt0  8896  prodgt0gt0  8897  prodgt0  8898  prodge0  8900  lemul1a  8904  recp1lt1  8945  recreclt  8946  ledivp1  8949  mulle0r  8990  ltaddrp2d  9825  mul2lt0np  9857  xleadd1a  9967  xleaddadd  9981  fz01en  10147  fzonmapblen  10282  qbtwnrelemcalc  10364  flqaddz  10406  flhalf  10411  flqdiv  10432  modqmuladdim  10478  modqsubdir  10504  addmodlteq  10509  frecfzen2  10538  iseqf1olemab  10613  ser3le  10648  ltexp2a  10702  leexp2a  10703  exple1  10706  expubnd  10707  bernneq  10771  faclbnd6  10855  hashfz  10932  zfz1isolemiso  10950  zfz1iso  10952  seq3coll  10953  cvg1nlemcxze  11166  cvg1nlemres  11169  recvguniqlem  11178  resqrexlemover  11194  resqrexlemdec  11195  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemnm  11202  resqrexlemoverl  11205  ltabs  11271  abslt  11272  absle  11273  abstri  11288  maxabslemlub  11391  maxabslemval  11392  dfabsmax  11401  bdtrilem  11423  xrmaxiflemab  11431  xrmaxiflemlub  11432  xrmaxaddlem  11444  reccn2ap  11497  climge0  11509  climaddc2  11514  summodclem2a  11565  zsumdc  11568  isumge0  11614  fsumle  11647  fsumlt  11648  isumshft  11674  expcnvap0  11686  geolim  11695  geolim2  11696  georeclim  11697  geo2lim  11700  cvgratnnlembern  11707  cvgratnnlemfm  11713  mertenslemi1  11719  mertensabs  11721  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  zproddc  11763  fprodseq  11767  efcllemp  11842  ef0lem  11844  efgt0  11868  eftlub  11874  efltim  11882  sinbnd  11936  cosbnd  11937  ef01bndlem  11940  sin01gt0  11946  cos01gt0  11947  sin02gt0  11948  eirraplem  11961  dvdssub2  12019  dvdsadd2b  12024  dvdsexp  12045  3dvds  12048  opoe  12079  divalglemeunn  12105  divalglemex  12106  divalglemeuneg  12107  bitsfzolem  12138  bitsinv1lem  12145  gcdaddm  12178  bezoutlemstep  12191  dvdsgcd  12206  dvdsmulgcd  12219  bezoutr1  12227  nninfctlemfo  12234  nn0seqcvgd  12236  rpmulgcd2  12290  qredeq  12291  rpdvds  12294  prmind2  12315  divdenle  12392  phicl2  12409  hashdvds  12416  phimullem  12420  eulerthlemth  12427  prmdiveq  12431  prmdivdiv  12432  pythagtriplem4  12464  pythagtriplem10  12465  pythagtriplem19  12478  pcpre1  12488  pcadd2  12537  qexpz  12548  expnprm  12549  oddprmdvds  12550  pockthlem  12552  4sqlem7  12580  4sqlem10  12583  4sqexercise1  12594  4sqexercise2  12595  4sqlemsdc  12596  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  4sqlem14  12600  4sqlem15  12601  4sqlem16  12602  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemnn0  12666  qusgrp  13440  dvdsrid  13734  dvdsrtr  13735  dvdsrneg  13737  unitmulcl  13747  unitgrp  13750  unitnegcl  13764  subrguss  13870  subrgunit  13873  znidomb  14292  psmetsym  14673  psmettri  14674  mettri2  14706  xmetsym  14712  xmettri  14716  metrtri  14721  xblss2ps  14748  xblss2  14749  blhalf  14752  xmsge0  14811  cnmet  14874  ivthinclemlopn  14980  ivthdichlem  14995  dveflem  15070  dvef  15071  plyaddlem1  15091  sin0pilem1  15125  sinq12gt0  15174  sinq34lt0t  15175  cosq14gt0  15176  coseq0q4123  15178  rpabscxpbnd  15284  logbgcd1irraplemexp  15312  dvdsppwf1o  15333  mpodvdsmulf1o  15334  perfectlem2  15344  lgslem1  15349  lgseisenlem2  15420  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquad2lem1  15430  2sqlem3  15466  2sqlem4  15467  2sqlem8  15472  pwf1oexmid  15754  qdencn  15784  cvgcmp2nlemabs  15789  apdifflemf  15803  apdifflemr  15804