Theorem breqtrd 4007

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
breqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	breq2d 3993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   class class class wbr 3981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-v 2727  df-un 3119  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982

This theorem is referenced by:  breqtrrd  4009  breqtrid  4018  tfrexlem  6298  phplem4  6817  phplem4on  6829  fidifsnen  6832  fisbth  6845  fin0  6847  fin0or  6848  ltsonq  7335  addlocprlemeqgt  7469  prmuloclemcalc  7502  mullocprlem  7507  addcanprlemu  7552  ltaprlem  7555  ltaprg  7556  prplnqu  7557  ltmprr  7579  cauappcvgprlemopl  7583  cauappcvgprlemloc  7589  cauappcvgprlemladdru  7593  cauappcvgprlemladdrl  7594  cauappcvgprlem1  7596  caucvgprlemm  7605  caucvgprlemopl  7606  caucvgprlemloc  7612  caucvgprprlemloccalc  7621  caucvgprprlemopl  7634  recexgt0sr  7710  ltm1sr  7714  prsrpos  7722  caucvgsrlemoffgt1  7736  caucvgsr  7739  suplocsrlempr  7744  pitoregt0  7786  axpre-suploclemres  7838  add20  8368  mullt0  8374  ltmul1a  8485  ltm1  8737  recgt0  8741  prodgt0gt0  8742  prodgt0  8743  prodge0  8745  lemul1a  8749  recp1lt1  8790  recreclt  8791  ledivp1  8794  mulle0r  8835  ltaddrp2d  9663  mul2lt0np  9695  xleadd1a  9805  xleaddadd  9819  fz01en  9984  fzonmapblen  10118  qbtwnrelemcalc  10187  flqaddz  10228  flhalf  10233  flqdiv  10252  modqmuladdim  10298  modqsubdir  10324  addmodlteq  10329  frecfzen2  10358  iseqf1olemab  10420  ser3le  10449  ltexp2a  10503  leexp2a  10504  exple1  10507  expubnd  10508  bernneq  10571  faclbnd6  10653  hashfz  10730  zfz1isolemiso  10748  zfz1iso  10750  seq3coll  10751  cvg1nlemcxze  10920  cvg1nlemres  10923  recvguniqlem  10932  resqrexlemover  10948  resqrexlemdec  10949  resqrexlemcalc2  10953  resqrexlemcalc3  10954  resqrexlemnm  10956  resqrexlemoverl  10959  ltabs  11025  abslt  11026  absle  11027  abstri  11042  maxabslemlub  11145  maxabslemval  11146  dfabsmax  11155  bdtrilem  11176  xrmaxiflemab  11184  xrmaxiflemlub  11185  xrmaxaddlem  11197  reccn2ap  11250  climge0  11262  climaddc2  11267  summodclem2a  11318  zsumdc  11321  isumge0  11367  fsumle  11400  fsumlt  11401  isumshft  11427  expcnvap0  11439  geolim  11448  geolim2  11449  georeclim  11450  geo2lim  11453  cvgratnnlembern  11460  cvgratnnlemfm  11466  mertenslemi1  11472  mertensabs  11474  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  zproddc  11516  fprodseq  11520  efcllemp  11595  ef0lem  11597  efgt0  11621  eftlub  11627  efltim  11635  sinbnd  11689  cosbnd  11690  ef01bndlem  11693  sin01gt0  11698  cos01gt0  11699  sin02gt0  11700  eirraplem  11713  dvdssub2  11771  dvdsadd2b  11776  dvdsexp  11795  opoe  11828  divalglemeunn  11854  divalglemex  11855  divalglemeuneg  11856  gcdaddm  11913  bezoutlemstep  11926  dvdsgcd  11941  dvdsmulgcd  11954  bezoutr1  11962  nn0seqcvgd  11969  rpmulgcd2  12023  qredeq  12024  rpdvds  12027  prmind2  12048  divdenle  12125  phicl2  12142  hashdvds  12149  phimullem  12153  eulerthlemth  12160  prmdiveq  12164  prmdivdiv  12165  pythagtriplem4  12196  pythagtriplem10  12197  pythagtriplem19  12210  pcpre1  12220  qexpz  12278  expnprm  12279  oddprmdvds  12280  pockthlem  12282  4sqlem7  12310  4sqlem10  12313  ennnfonelemkh  12341  ennnfonelemnn0  12351  psmetsym  12929  psmettri  12930  mettri2  12962  xmetsym  12968  xmettri  12972  metrtri  12977  xblss2ps  13004  xblss2  13005  blhalf  13008  xmsge0  13067  cnmet  13130  ivthinclemlopn  13214  dveflem  13287  dvef  13288  sin0pilem1  13302  sinq12gt0  13351  sinq34lt0t  13352  cosq14gt0  13353  coseq0q4123  13355  rpabscxpbnd  13459  logbgcd1irraplemexp  13486  lgslem1  13501  2sqlem3  13553  2sqlem4  13554  2sqlem8  13559  pwf1oexmid  13839  qdencn  13866  cvgcmp2nlemabs  13871  apdifflemf  13885  apdifflemr  13886