Theorem ltle 7982

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 7980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 7970	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 168	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ℝcr 7748   < clt 7929   ≤ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-lttrn 7863

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935

This theorem is referenced by:  ltlei  7996  ltled  8013  ltleap  8526  lep1  8736  lem1  8738  letrp1  8739  ltmul12a  8751  bndndx  9109  nn0ge0  9135  zletric  9231  zlelttric  9232  zltnle  9233  zleloe  9234  ltsubnn0  9254  zdcle  9263  uzind  9298  fnn0ind  9303  eluz2b2  9537  rpge0  9598  zltaddlt1le  9939  difelfznle  10066  elfzouz2  10092  elfzo0le  10116  fzosplitprm1  10165  fzostep1  10168  qletric  10175  qlelttric  10176  qltnle  10177  expgt1  10489  expnlbnd2  10576  faclbnd  10650  caucvgrelemcau  10918  resqrexlemdecn  10950  mulcn2  11249  efcllemp  11595  sin01bnd  11694  cos01bnd  11695  sin01gt0  11698  cos01gt0  11699  absef  11706  efieq1re  11708  nn0o  11840  pythagtriplem12  12203  pythagtriplem13  12204  pythagtriplem14  12205  pythagtriplem16  12207  pclemub  12215  sincosq1lem  13346  tangtx  13359