Theorem ltle 8309

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8307	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8256   ≤ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262

This theorem is referenced by:  ltlei  8323  ltled  8340  ltleap  8854  lep1  9067  lem1  9069  letrp1  9070  ltmul12a  9082  bndndx  9443  nn0ge0  9469  zletric  9567  zlelttric  9568  zltnle  9569  zleloe  9570  ltsubnn0  9591  zdcle  9600  uzind  9635  fnn0ind  9640  eluz2b2  9881  rpge0  9945  zltaddlt1le  10287  difelfznle  10415  elfzouz2  10442  elfzo0le  10470  fzosplitprm1  10526  fzostep1  10529  qletric  10547  qlelttric  10548  qltnle  10549  expgt1  10885  expnlbnd2  10973  faclbnd  11049  swrdsbslen  11296  swrdspsleq  11297  pfxccat3  11364  swrdccat  11365  caucvgrelemcau  11603  resqrexlemdecn  11635  mulcn2  11935  efcllemp  12282  sin01bnd  12381  cos01bnd  12382  sin01gt0  12386  cos01gt0  12387  absef  12394  efieq1re  12396  nn0o  12531  pythagtriplem12  12911  pythagtriplem13  12912  pythagtriplem14  12913  pythagtriplem16  12915  pclemub  12923  sincosq1lem  15619  tangtx  15632