Theorem ltle 8419

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  ltlei  8434  ltled  8452  ltleap  8968  lep1  9183  lem1  9185  letrp1  9186  ltmul12a  9198  bndndx  9573  nn0ge0  9599  zletric  9699  zlelttric  9700  zltnle  9701  zleloe  9702  ltsubnn0  9723  zdcle  9732  uzind  9768  fnn0ind  9773  eluz2b2  10019  rpge0  10084  zltaddlt1le  10427  difelfznle  10559  elfzouz2  10586  elfzo0le  10614  fzosplitprm1  10670  fzostep1  10673  qletric  10693  qlelttric  10694  qltnle  10695  expgt1  11035  expnlbnd2  11124  faclbnd  11201  swrdsbslen  11460  swrdspsleq  11461  pfxccat3  11528  swrdccat  11529  caucvgrelemcau  11768  resqrexlemdecn  11800  mulcn2  12103  efcllemp  12450  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  sin01gt0  12554  cos01gt0  12555  absef  12562  efieq1re  12564  nn0o  12699  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem13  13084  pythagtriplem14  13085  pythagtriplem16  13087  pclemub  13095  ballotfilemfrceq  13330  sincosq1lem  16052  tangtx  16065  chtqub  16296  bposlem9  16319