Theorem ltle 8257

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021   < clt 8204   ≤ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210

This theorem is referenced by:  ltlei  8271  ltled  8288  ltleap  8802  lep1  9015  lem1  9017  letrp1  9018  ltmul12a  9030  bndndx  9391  nn0ge0  9417  zletric  9513  zlelttric  9514  zltnle  9515  zleloe  9516  ltsubnn0  9537  zdcle  9546  uzind  9581  fnn0ind  9586  eluz2b2  9827  rpge0  9891  zltaddlt1le  10232  difelfznle  10360  elfzouz2  10387  elfzo0le  10414  fzosplitprm1  10470  fzostep1  10473  qletric  10491  qlelttric  10492  qltnle  10493  expgt1  10829  expnlbnd2  10917  faclbnd  10993  swrdsbslen  11237  swrdspsleq  11238  pfxccat3  11305  swrdccat  11306  caucvgrelemcau  11531  resqrexlemdecn  11563  mulcn2  11863  efcllemp  12209  sin01bnd  12308  cos01bnd  12309  sin01gt0  12313  cos01gt0  12314  absef  12321  efieq1re  12323  nn0o  12458  pythagtriplem12  12838  pythagtriplem13  12839  pythagtriplem14  12840  pythagtriplem16  12842  pclemub  12850  sincosq1lem  15539  tangtx  15552