Theorem ltle 8245

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8009   < clt 8192   ≤ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  ltlei  8259  ltled  8276  ltleap  8790  lep1  9003  lem1  9005  letrp1  9006  ltmul12a  9018  bndndx  9379  nn0ge0  9405  zletric  9501  zlelttric  9502  zltnle  9503  zleloe  9504  ltsubnn0  9525  zdcle  9534  uzind  9569  fnn0ind  9574  eluz2b2  9810  rpge0  9874  zltaddlt1le  10215  difelfznle  10343  elfzouz2  10370  elfzo0le  10397  fzosplitprm1  10452  fzostep1  10455  qletric  10473  qlelttric  10474  qltnle  10475  expgt1  10811  expnlbnd2  10899  faclbnd  10975  swrdsbslen  11213  swrdspsleq  11214  pfxccat3  11281  swrdccat  11282  caucvgrelemcau  11506  resqrexlemdecn  11538  mulcn2  11838  efcllemp  12184  sin01bnd  12283  cos01bnd  12284  sin01gt0  12288  cos01gt0  12289  absef  12296  efieq1re  12298  nn0o  12433  pythagtriplem12  12813  pythagtriplem13  12814  pythagtriplem14  12815  pythagtriplem16  12817  pclemub  12825  sincosq1lem  15514  tangtx  15527