Theorem ltle 8062

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8060	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8050	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2159   class class class wbr 4017  ℝcr 7827   < clt 8009   ≤ cle 8010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-lttrn 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-cnv 4648  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015

This theorem is referenced by:  ltlei  8076  ltled  8093  ltleap  8606  lep1  8819  lem1  8821  letrp1  8822  ltmul12a  8834  bndndx  9192  nn0ge0  9218  zletric  9314  zlelttric  9315  zltnle  9316  zleloe  9317  ltsubnn0  9337  zdcle  9346  uzind  9381  fnn0ind  9386  eluz2b2  9620  rpge0  9683  zltaddlt1le  10024  difelfznle  10152  elfzouz2  10178  elfzo0le  10202  fzosplitprm1  10251  fzostep1  10254  qletric  10261  qlelttric  10262  qltnle  10263  expgt1  10575  expnlbnd2  10663  faclbnd  10738  caucvgrelemcau  11006  resqrexlemdecn  11038  mulcn2  11337  efcllemp  11683  sin01bnd  11782  cos01bnd  11783  sin01gt0  11786  cos01gt0  11787  absef  11794  efieq1re  11796  nn0o  11929  pythagtriplem12  12292  pythagtriplem13  12293  pythagtriplem14  12294  pythagtriplem16  12296  pclemub  12304  sincosq1lem  14629  tangtx  14642