Theorem ltle 8414

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  ltlei  8429  ltled  8447  ltleap  8963  lep1  9178  lem1  9180  letrp1  9181  ltmul12a  9193  bndndx  9567  nn0ge0  9593  zletric  9693  zlelttric  9694  zltnle  9695  zleloe  9696  ltsubnn0  9717  zdcle  9726  uzind  9762  fnn0ind  9767  eluz2b2  10013  rpge0  10078  zltaddlt1le  10421  difelfznle  10553  elfzouz2  10580  elfzo0le  10608  fzosplitprm1  10664  fzostep1  10667  qletric  10687  qlelttric  10688  qltnle  10689  expgt1  11029  expnlbnd2  11118  faclbnd  11195  swrdsbslen  11454  swrdspsleq  11455  pfxccat3  11522  swrdccat  11523  caucvgrelemcau  11762  resqrexlemdecn  11794  mulcn2  12097  efcllemp  12444  sin01bnd  12543  cos01bnd  12544  sin01gt0  12548  cos01gt0  12549  absef  12556  efieq1re  12558  nn0o  12693  pythagtriplem12  13077  pythagtriplem13  13078  pythagtriplem14  13079  pythagtriplem16  13081  pclemub  13089  ballotfilemfrceq  13324  sincosq1lem  16018  tangtx  16031  chtqub  16257  bposlem9  16280