ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltle GIF version

Theorem ltle 7819
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ltle
StepHypRef Expression
1 ltnsym 7818 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 lenlt 7808 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
31, 2sylibrd 168 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587   < clt 7768  cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  ltlei  7833  ltled  7849  ltleap  8362  lep1  8571  lem1  8573  letrp1  8574  ltmul12a  8586  bndndx  8944  nn0ge0  8970  zletric  9066  zlelttric  9067  zltnle  9068  zleloe  9069  zdcle  9095  uzind  9130  fnn0ind  9135  eluz2b2  9365  rpge0  9422  zltaddlt1le  9757  difelfznle  9880  elfzouz2  9906  elfzo0le  9930  fzosplitprm1  9979  fzostep1  9982  qletric  9989  qlelttric  9990  qltnle  9991  expgt1  10299  expnlbnd2  10385  faclbnd  10455  caucvgrelemcau  10720  resqrexlemdecn  10752  mulcn2  11049  efcllemp  11291  sin01bnd  11391  cos01bnd  11392  sin01gt0  11395  cos01gt0  11396  absef  11403  efieq1re  11405  nn0o  11531  sincosq1lem  12833  tangtx  12846
  Copyright terms: Public domain W3C validator