Theorem ltle 8133

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   < clt 8080   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086

This theorem is referenced by:  ltlei  8147  ltled  8164  ltleap  8678  lep1  8891  lem1  8893  letrp1  8894  ltmul12a  8906  bndndx  9267  nn0ge0  9293  zletric  9389  zlelttric  9390  zltnle  9391  zleloe  9392  ltsubnn0  9412  zdcle  9421  uzind  9456  fnn0ind  9461  eluz2b2  9696  rpge0  9760  zltaddlt1le  10101  difelfznle  10229  elfzouz2  10256  elfzo0le  10280  fzosplitprm1  10329  fzostep1  10332  qletric  10350  qlelttric  10351  qltnle  10352  expgt1  10688  expnlbnd2  10776  faclbnd  10852  caucvgrelemcau  11164  resqrexlemdecn  11196  mulcn2  11496  efcllemp  11842  sin01bnd  11941  cos01bnd  11942  sin01gt0  11946  cos01gt0  11947  absef  11954  efieq1re  11956  nn0o  12091  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem13  12472  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem16  12475  pclemub  12483  sincosq1lem  15169  tangtx  15182