Theorem ltle 8267

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8265	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  ltlei  8281  ltled  8298  ltleap  8812  lep1  9025  lem1  9027  letrp1  9028  ltmul12a  9040  bndndx  9401  nn0ge0  9427  zletric  9523  zlelttric  9524  zltnle  9525  zleloe  9526  ltsubnn0  9547  zdcle  9556  uzind  9591  fnn0ind  9596  eluz2b2  9837  rpge0  9901  zltaddlt1le  10242  difelfznle  10370  elfzouz2  10397  elfzo0le  10425  fzosplitprm1  10481  fzostep1  10484  qletric  10502  qlelttric  10503  qltnle  10504  expgt1  10840  expnlbnd2  10928  faclbnd  11004  swrdsbslen  11251  swrdspsleq  11252  pfxccat3  11319  swrdccat  11320  caucvgrelemcau  11558  resqrexlemdecn  11590  mulcn2  11890  efcllemp  12237  sin01bnd  12336  cos01bnd  12337  sin01gt0  12341  cos01gt0  12342  absef  12349  efieq1re  12351  nn0o  12486  pythagtriplem12  12866  pythagtriplem13  12867  pythagtriplem14  12868  pythagtriplem16  12870  pclemub  12878  sincosq1lem  15568  tangtx  15581