ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltle GIF version

Theorem ltle 7519
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ltle
StepHypRef Expression
1 ltnsym 7518 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 lenlt 7508 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
31, 2sylibrd 167 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wcel 1436   class class class wbr 3822  cr 7296   < clt 7469  cle 7470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-lttrn 7406
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-cnv 4421  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475
This theorem is referenced by:  ltlei  7533  ltled  7549  ltleap  8051  lep1  8244  lem1  8246  letrp1  8247  ltmul12a  8259  bndndx  8608  nn0ge0  8634  zletric  8730  zlelttric  8731  zltnle  8732  zleloe  8733  zdcle  8759  uzind  8793  fnn0ind  8798  eluz2b2  9025  rpge0  9081  zltaddlt1le  9358  difelfznle  9477  elfzouz2  9503  elfzo0le  9527  fzosplitprm1  9576  fzostep1  9579  qletric  9586  qlelttric  9587  qltnle  9588  expgt1  9913  expnlbnd2  9997  faclbnd  10067  caucvgrelemcau  10330  resqrexlemdecn  10362  mulcn2  10617  nn0o  10832
  Copyright terms: Public domain W3C validator