Theorem ltle 8266

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8264	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213   ≤ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  ltlei  8280  ltled  8297  ltleap  8811  lep1  9024  lem1  9026  letrp1  9027  ltmul12a  9039  bndndx  9400  nn0ge0  9426  zletric  9522  zlelttric  9523  zltnle  9524  zleloe  9525  ltsubnn0  9546  zdcle  9555  uzind  9590  fnn0ind  9595  eluz2b2  9836  rpge0  9900  zltaddlt1le  10241  difelfznle  10369  elfzouz2  10396  elfzo0le  10423  fzosplitprm1  10479  fzostep1  10482  qletric  10500  qlelttric  10501  qltnle  10502  expgt1  10838  expnlbnd2  10926  faclbnd  11002  swrdsbslen  11246  swrdspsleq  11247  pfxccat3  11314  swrdccat  11315  caucvgrelemcau  11540  resqrexlemdecn  11572  mulcn2  11872  efcllemp  12218  sin01bnd  12317  cos01bnd  12318  sin01gt0  12322  cos01gt0  12323  absef  12330  efieq1re  12332  nn0o  12467  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem13  12848  pythagtriplem14  12849  pythagtriplem16  12851  pclemub  12859  sincosq1lem  15548  tangtx  15561