Theorem ltle 8361

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8359	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8349	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ℝcr 8126   < clt 8308   ≤ cle 8309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314

This theorem is referenced by:  ltlei  8375  ltled  8392  ltleap  8906  lep1  9119  lem1  9121  letrp1  9122  ltmul12a  9134  bndndx  9495  nn0ge0  9521  zletric  9621  zlelttric  9622  zltnle  9623  zleloe  9624  ltsubnn0  9645  zdcle  9654  uzind  9689  fnn0ind  9694  eluz2b2  9935  rpge0  9999  zltaddlt1le  10341  difelfznle  10469  elfzouz2  10496  elfzo0le  10524  fzosplitprm1  10580  fzostep1  10583  qletric  10601  qlelttric  10602  qltnle  10603  expgt1  10939  expnlbnd2  11027  faclbnd  11103  swrdsbslen  11358  swrdspsleq  11359  pfxccat3  11426  swrdccat  11427  caucvgrelemcau  11665  resqrexlemdecn  11697  mulcn2  11997  efcllemp  12344  sin01bnd  12443  cos01bnd  12444  sin01gt0  12448  cos01gt0  12449  absef  12456  efieq1re  12458  nn0o  12593  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem13  12974  pythagtriplem14  12975  pythagtriplem16  12977  pclemub  12985  sincosq1lem  15690  tangtx  15703