Theorem ltle 8377

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8365	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   < clt 8324   ≤ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  ltlei  8391  ltled  8408  ltleap  8923  lep1  9136  lem1  9138  letrp1  9139  ltmul12a  9151  bndndx  9512  nn0ge0  9538  zletric  9638  zlelttric  9639  zltnle  9640  zleloe  9641  ltsubnn0  9662  zdcle  9671  uzind  9707  fnn0ind  9712  eluz2b2  9953  rpge0  10017  zltaddlt1le  10360  difelfznle  10491  elfzouz2  10518  elfzo0le  10546  fzosplitprm1  10602  fzostep1  10605  qletric  10625  qlelttric  10626  qltnle  10627  expgt1  10963  expnlbnd2  11052  faclbnd  11128  swrdsbslen  11383  swrdspsleq  11384  pfxccat3  11451  swrdccat  11452  caucvgrelemcau  11690  resqrexlemdecn  11722  mulcn2  12022  efcllemp  12369  sin01bnd  12468  cos01bnd  12469  sin01gt0  12473  cos01gt0  12474  absef  12481  efieq1re  12483  nn0o  12618  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem13  12999  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  pclemub  13010  ballotfilemfrceq  13216  sincosq1lem  15816  tangtx  15829