Theorem ltle 8413

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  ltlei  8427  ltled  8445  ltleap  8960  lep1  9175  lem1  9177  letrp1  9178  ltmul12a  9190  bndndx  9562  nn0ge0  9588  zletric  9688  zlelttric  9689  zltnle  9690  zleloe  9691  ltsubnn0  9712  zdcle  9721  uzind  9757  fnn0ind  9762  eluz2b2  10003  rpge0  10067  zltaddlt1le  10410  difelfznle  10542  elfzouz2  10569  elfzo0le  10597  fzosplitprm1  10653  fzostep1  10656  qletric  10676  qlelttric  10677  qltnle  10678  expgt1  11014  expnlbnd2  11103  faclbnd  11179  swrdsbslen  11438  swrdspsleq  11439  pfxccat3  11506  swrdccat  11507  caucvgrelemcau  11746  resqrexlemdecn  11778  mulcn2  12078  efcllemp  12425  sin01bnd  12524  cos01bnd  12525  sin01gt0  12529  cos01gt0  12530  absef  12537  efieq1re  12539  nn0o  12674  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem13  13055  pythagtriplem14  13056  pythagtriplem16  13058  pclemub  13066  ballotfilemfrceq  13272  sincosq1lem  15926  tangtx  15939