Theorem ltle 8230

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994   < clt 8177   ≤ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183

This theorem is referenced by:  ltlei  8244  ltled  8261  ltleap  8775  lep1  8988  lem1  8990  letrp1  8991  ltmul12a  9003  bndndx  9364  nn0ge0  9390  zletric  9486  zlelttric  9487  zltnle  9488  zleloe  9489  ltsubnn0  9510  zdcle  9519  uzind  9554  fnn0ind  9559  eluz2b2  9794  rpge0  9858  zltaddlt1le  10199  difelfznle  10327  elfzouz2  10354  elfzo0le  10381  fzosplitprm1  10435  fzostep1  10438  qletric  10456  qlelttric  10457  qltnle  10458  expgt1  10794  expnlbnd2  10882  faclbnd  10958  swrdsbslen  11193  swrdspsleq  11194  pfxccat3  11261  swrdccat  11262  caucvgrelemcau  11486  resqrexlemdecn  11518  mulcn2  11818  efcllemp  12164  sin01bnd  12263  cos01bnd  12264  sin01gt0  12268  cos01gt0  12269  absef  12276  efieq1re  12278  nn0o  12413  pythagtriplem12  12793  pythagtriplem13  12794  pythagtriplem14  12795  pythagtriplem16  12797  pclemub  12805  sincosq1lem  15493  tangtx  15506