Theorem ltle 8413

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  ltlei  8428  ltled  8446  ltleap  8962  lep1  9177  lem1  9179  letrp1  9180  ltmul12a  9192  bndndx  9566  nn0ge0  9592  zletric  9692  zlelttric  9693  zltnle  9694  zleloe  9695  ltsubnn0  9716  zdcle  9725  uzind  9761  fnn0ind  9766  eluz2b2  10012  rpge0  10077  zltaddlt1le  10420  difelfznle  10552  elfzouz2  10579  elfzo0le  10607  fzosplitprm1  10663  fzostep1  10666  qletric  10686  qlelttric  10687  qltnle  10688  expgt1  11027  expnlbnd2  11116  faclbnd  11193  swrdsbslen  11452  swrdspsleq  11453  pfxccat3  11520  swrdccat  11521  caucvgrelemcau  11760  resqrexlemdecn  11792  mulcn2  12094  efcllemp  12441  sin01bnd  12540  cos01bnd  12541  sin01gt0  12545  cos01gt0  12546  absef  12553  efieq1re  12555  nn0o  12690  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem13  13075  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  pclemub  13086  ballotfilemfrceq  13321  sincosq1lem  15976  tangtx  15989