Theorem ltle 8360

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8358	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		lenlt 8348	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ℝcr 8125   < clt 8307   ≤ cle 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313

This theorem is referenced by:  ltlei  8374  ltled  8391  ltleap  8905  lep1  9118  lem1  9120  letrp1  9121  ltmul12a  9133  bndndx  9494  nn0ge0  9520  zletric  9620  zlelttric  9621  zltnle  9622  zleloe  9623  ltsubnn0  9644  zdcle  9653  uzind  9688  fnn0ind  9693  eluz2b2  9934  rpge0  9998  zltaddlt1le  10340  difelfznle  10468  elfzouz2  10495  elfzo0le  10523  fzosplitprm1  10579  fzostep1  10582  qletric  10600  qlelttric  10601  qltnle  10602  expgt1  10938  expnlbnd2  11026  faclbnd  11102  swrdsbslen  11354  swrdspsleq  11355  pfxccat3  11422  swrdccat  11423  caucvgrelemcau  11661  resqrexlemdecn  11693  mulcn2  11993  efcllemp  12340  sin01bnd  12439  cos01bnd  12440  sin01gt0  12444  cos01gt0  12445  absef  12452  efieq1re  12454  nn0o  12589  pythagtriplem12  12969  pythagtriplem13  12970  pythagtriplem14  12971  pythagtriplem16  12973  pclemub  12981  sincosq1lem  15682  tangtx  15695