ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsval4a GIF version

Theorem lgsval4a 14090
Description: Same as lgsval4 14088 for positive 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval4a ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nnz 9261 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nnne0 8936 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54adantl 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
6 lgsval4.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
76lgsval4 14088 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
81, 3, 5, 7syl3anc 1238 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
9 nngt0 8933 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
109adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
11 0re 7948 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
12 nnre 8915 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1312adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 ltnsym 8033 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
1511, 13, 14sylancr 414 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
1610, 15mpd 13 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 932 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 3544 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19 nnnn0 9172 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2019adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 9221 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
2213, 21absidd 11160 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322fveq2d 5515 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
2418, 23oveq12d 5887 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))
25 nnuz 9552 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
26 1zzd 9269 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
276lgsfcl3 14089 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
281, 3, 5, 27syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
2928ffvelcdmda 5647 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
30 zmulcl 9295 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3130adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3225, 26, 29, 31seqf 10447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℤ)
33 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3432, 33ffvelcdmd 5648 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
3534zcnd 9365 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
3635mulid2d 7966 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
378, 24, 363eqtrd 2214 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  ifcif 3534   class class class wbr 4000  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807   < clt 7982  -cneg 8119  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  seqcseq 10431  cexp 10505  abscabs 10990  cprime 12090   pCnt cpc 12267   /L clgs 14065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-phi 12194  df-pc 12268  df-lgs 14066
This theorem is referenced by:  lgsmod  14094
  Copyright terms: Public domain W3C validator