Theorem mulgnegnn 13912

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnegnn.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnegnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 8618	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 = 𝑁)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
4	3	fveq2d 5694	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5	4	fveq2d 5694	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6		nnnegz 9626	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7		mulg1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10		mulgnegnn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
11		mulg1.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mulgval 13902	. . . 4 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
14	6, 13	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
15		nnne0 9311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16		negeq0 8570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
17	16	necon3abid 2459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
19	15, 18	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
20	19	iffalsed 3647	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))))
21		nnre 9290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	renegcld 8697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23		nngt0 9308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
24	21	lt0neg2d 8834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
25	23, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26		0re 8316	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		ltnsym 8401	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
28	26, 27	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
29	22, 25, 28	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
30	29	iffalsed 3647	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
31	20, 30	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
32	31	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
33	14, 32	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
34	7, 8, 11, 12	mulgnn 13906	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
35	34	fveq2d 5694	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
36	5, 33, 35	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ifcif 3635  {csn 3705   class class class wbr 4125   × cxp 4767  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   < clt 8350  -cneg 8488  ℕcn 9283  ℤcz 9623  seqcseq 10862  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  0_gc0g 13587  inv_gcminusg 13783  ._gcmg 13899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-minusg 13786  df-mulg 13900

This theorem is referenced by:  mulgsubcl  13916  mulgneg  13920  mulgneg2  13936  cnfldmulg  14885