Theorem mulgnegnn 13994

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnegnn.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnegnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9321	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 8635	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 = 𝑁)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → - -𝑁 = 𝑁)
4	3	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5	4	fveq2d 5702	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6		nnnegz 9658	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7		mulg1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10		mulgnegnn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
11		mulg1.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mulgval 13984	. . . 4 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))))
14	6, 13	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))))
15		nnne0 9341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16		negeq0 8587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
17	16	necon3abid 2459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
19	15, 18	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
20	19	iffalsed 3650	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁))))
21		nnre 9320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	renegcld 8714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23		nngt0 9338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
24	21	lt0neg2d 8851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
25	23, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26		0re 8332	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		ltnsym 8417	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ( -𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
28	26, 27	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℝ → ( -𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
29	22, 25, 28	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
30	29	iffalsed 3650	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
31	20, 30	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
32	31	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
33	14, 32	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
34	7, 8, 11, 12	mulgnn 13988	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
35	34	fveq2d 5702	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
36	5, 33, 35	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   × cxp 4774  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   < clt 8366   -cneg 8505  ℕcn 9313  ℤcz 9655  seqcseq 10905  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  0_gc0g 13669  inv_gcminusg 13865  ._gcmg 13981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-minusg 13868  df-mulg 13982

This theorem is used by:  mulgsubcl  13998  mulgneg  14002  mulgneg2  14018  cnfldmulg  15022