Theorem mulgnegnn 12849

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnegnn.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnegnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8895	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 8230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 = 𝑁)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
4	3	fveq2d 5508	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5	4	fveq2d 5508	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6		nnnegz 9224	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7		mulg1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2173	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2173	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10		mulgnegnn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
11		mulg1.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2173	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mulgval 12842	. . . 4 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
14	6, 13	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
15		nnne0 8915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16		negeq0 8182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
17	16	necon3abid 2382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
19	15, 18	mpbid 148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
20	19	iffalsed 3539	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))))
21		nnre 8894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	renegcld 8308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23		nngt0 8912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
24	21	lt0neg2d 8444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
25	23, 24	mpbid 148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26		0re 7929	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		ltnsym 8014	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
28	26, 27	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
29	22, 25, 28	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
30	29	iffalsed 3539	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
31	20, 30	eqtrd 2206	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
32	31	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(-𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
33	14, 32	eqtrd 2206	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
34	7, 8, 11, 12	mulgnn 12845	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
35	34	fveq2d 5508	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
36	5, 33, 35	3eqtr4d 2216	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1351   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2343  ifcif 3529  {csn 3586   class class class wbr 3995   × cxp 4615  ‘cfv 5205  (class class class)co 5862  ℂcc 7781  ℝcr 7782  0cc0 7783  1c1 7784   < clt 7963  -cneg 8100  ℕcn 8887  ℤcz 9221  seqcseq 10410  Basecbs 12425  +_gcplusg 12489  0_gc0g 12623  inv_gcminusg 12736  ._gcmg 12839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 612  ax-in2 613  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-coll 4110  ax-sep 4113  ax-nul 4121  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-setind 4527  ax-iinf 4578  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1cn 7876  ax-1re 7877  ax-icn 7878  ax-addcl 7879  ax-addrcl 7880  ax-mulcl 7881  ax-addcom 7883  ax-addass 7885  ax-distr 7887  ax-i2m1 7888  ax-0lt1 7889  ax-0id 7891  ax-rnegex 7892  ax-cnre 7894  ax-pre-ltirr 7895  ax-pre-ltwlin 7896  ax-pre-lttrn 7897  ax-pre-ltadd 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 833  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1354  df-fal 1357  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ne 2344  df-nel 2439  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-csb 3053  df-dif 3126  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-nul 3418  df-if 3530  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3881  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-tr 4094  df-id 4284  df-iord 4357  df-on 4359  df-ilim 4360  df-suc 4362  df-iom 4581  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-ima 4630  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fn 5208  df-f 5209  df-f1 5210  df-fo 5211  df-f1o 5212  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-oprab 5866  df-mpo 5867  df-1st 6128  df-2nd 6129  df-recs 6293  df-frec 6379  df-pnf 7965  df-mnf 7966  df-xr 7967  df-ltxr 7968  df-le 7969  df-sub 8101  df-neg 8102  df-inn 8888  df-2 8946  df-n0 9145  df-z 9222  df-uz 9497  df-seqfrec 10411  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-base 12431  df-plusg 12502  df-0g 12625  df-minusg 12739  df-mulg 12840

This theorem is referenced by:  mulgsubcl  12853  mulgneg  12857  mulgneg2  12872