ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdclt GIF version

Theorem zdclt 8980
Description: Integer < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdclt ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem zdclt
StepHypRef Expression
1 ztri3or 8949 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 zre 8910 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 zre 8910 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
4 orc 674 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5 df-dc 787 . . . . . 6 (DECID 𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
64, 5sylibr 133 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵)
76a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
8 ltnr 7712 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
98adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
10 breq2 3879 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
1110adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
129, 11mtbid 638 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
13 olc 673 . . . . . . . 8 𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
1413, 5sylibr 133 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵)
1512, 14syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → DECID 𝐴 < 𝐵)
1615ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
1716adantr 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
18 ltnsym 7721 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
1918ancoms 266 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
2019, 14syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 < 𝐵))
217, 17, 203jaod 1250 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 < 𝐵))
222, 3, 21syl2an 285 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 < 𝐵))
231, 22mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670  DECID wdc 786  w3o 929   = wceq 1299  wcel 1448   class class class wbr 3875  cr 7499   < clt 7672  cz 8906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907
This theorem is referenced by:  fztri3or  9660  modifeq2int  10000  modsumfzodifsn  10010  exp3val  10136  cvgratz  11140
  Copyright terms: Public domain W3C validator