ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdclt GIF version

Theorem zdclt 9355
Description: Integer < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdclt ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem zdclt
StepHypRef Expression
1 ztri3or 9321 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 zre 9282 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 zre 9282 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
4 orc 713 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5 df-dc 836 . . . . . 6 (DECID 𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
64, 5sylibr 134 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵)
76a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
8 ltnr 8059 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
98adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
10 breq2 4022 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
1110adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
129, 11mtbid 673 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
13 olc 712 . . . . . . . 8 𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
1413, 5sylibr 134 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵)
1512, 14syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → DECID 𝐴 < 𝐵)
1615ex 115 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
1716adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
18 ltnsym 8068 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
1918ancoms 268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
2019, 14syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 < 𝐵))
217, 17, 203jaod 1315 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 < 𝐵))
222, 3, 21syl2an 289 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 < 𝐵))
231, 22mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cr 7835   < clt 8017  cz 9278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-ltadd 7952
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-inn 8945  df-n0 9202  df-z 9279
This theorem is referenced by:  fztri3or  10064  modifeq2int  10412  modsumfzodifsn  10422  exp3val  10548  cvgratz  11567  infpnlem1  12386  infpnlem2  12387  mulgval  13057  mulgfng  13059  subgmulg  13120  lgsval  14843  lgscllem  14846  lgsneg  14863  lgsdilem  14866  lgsdir  14874  lgsdi  14876  lgsne0  14877
  Copyright terms: Public domain W3C validator