Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdclt GIF version

Theorem zdclt 9148
 Description: Integer < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdclt ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem zdclt
StepHypRef Expression
1 ztri3or 9117 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
2 zre 9078 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 zre 9078 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
4 orc 702 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5 df-dc 821 . . . . . 6 (DECID 𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
64, 5sylibr 133 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵)
76a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
8 ltnr 7861 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
98adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
10 breq2 3937 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
1110adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
129, 11mtbid 662 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
13 olc 701 . . . . . . . 8 𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
1413, 5sylibr 133 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵)
1512, 14syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → DECID 𝐴 < 𝐵)
1615ex 114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
1716adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵DECID 𝐴 < 𝐵))
18 ltnsym 7870 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
1918ancoms 266 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
2019, 14syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴DECID 𝐴 < 𝐵))
217, 17, 203jaod 1283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 < 𝐵))
222, 3, 21syl2an 287 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → DECID 𝐴 < 𝐵))
231, 22mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3933  ℝcr 7639   < clt 7820  ℤcz 9074 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075 This theorem is referenced by:  fztri3or  9846  modifeq2int  10186  modsumfzodifsn  10196  exp3val  10322  cvgratz  11329
 Copyright terms: Public domain W3C validator