Theorem mpofvexi 6112

Description: Sufficient condition for an operation maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V
mpofvexi.3	⊢ 𝑅 ∈ V
mpofvexi.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpofvexi	⊢ (𝑅𝐹𝑆) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpofvexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	gen2 1427	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦 𝐶 ∈ V
3		mpofvexi.3	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		mpofvexi.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
5		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
6	5	mpofvex 6109	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦 𝐶 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑅𝐹𝑆) ∈ V)
7	2, 3, 4, 6	mp3an 1316	1 ⊢ (𝑅𝐹𝑆) ∈ V

Syntax hints:  ∀wal 1330   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  (class class class)co 5782   ∈ cmpo 5784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fo 5137  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047

This theorem is referenced by: (None)