Theorem prodgt0gt0 9181

Description: Infer that a multiplicand is positive from a positive multiplier and positive product. See prodgt0 9182 for the same theorem with 0 < 𝐴 replaced by the weaker condition 0 ≤ 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prodgt0gt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Proof of Theorem prodgt0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simplr 533	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 8356	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		simprl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐴)
5	1, 4	gt0ap0d 8957	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 # 0)
6	1, 5	rerecclapd 9164	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
7		simprr 537	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
8		recgt0 9180	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
9	8	ad2ant2r 513	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (1 / 𝐴))
10	3, 6, 7, 9	mulgt0d 8449	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)))
11	3	recnd 8354	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
12	1	recnd 8354	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 12, 5	divrecapd 9123	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)))
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	recnd 8354	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 12, 5	divcanap3d 9125	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
18	13, 17	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐴)) = 𝐵)
19	10, 18	breqtrd 4156	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360   / cdiv 9002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003

This theorem is used by:  prodgt0  9182