Theorem recgt0 8985

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
recgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem recgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8261	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 8134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 8234	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
6		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		gt0ap0 8761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 # 0)
9	6, 8	rerecclapd 8969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	renegcld 8514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
12		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12, 7	rerecclapd 8969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 8650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
16	11, 15	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -(1 / 𝐴))
17		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 𝐴)
18	10, 6, 16, 17	mulgt0d 8257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
19	12	recnd 8163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		recclap 8814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 8, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
23	22, 20	mulneg1d 8545	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴))
24		recidap2 8822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
25	20, 8, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
26	25	negeqd 8329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
27	23, 26	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
28	18, 27	breqtrd 4108	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -1)
29		1red 8149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 ∈ ℝ)
30	29	lt0neg1d 8650	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
31	28, 30	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 < 0)
32	31	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0))
33	5, 32	mtoi 668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
34		lenlt 8210	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
35	2, 13, 34	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
36	33, 35	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
37		recap0 8820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) # 0)
38	19, 7, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) # 0)
39	19, 7, 21	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
40		0cn 8126	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		apsym 8741	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
43	38, 42	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 # (1 / 𝐴))
44		ltleap 8767	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
45	2, 13, 44	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
46	36, 43, 45	mpbir2and 950	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   · cmul 7992   < clt 8169   ≤ cle 8170  -cneg 8306   # cap 8716   / cdiv 8807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8986  ltdiv1  9003  ltrec1  9023  lerec2  9024  lediv12a  9029  recgt1i  9033  recreclt  9035  recgt0i  9041  recgt0ii  9042  recgt0d  9069  nnrecgt0  9136  nnrecl  9355