ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recgt0 GIF version

Theorem recgt0 8810
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
recgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem recgt0
StepHypRef Expression
1 0lt1 8087 . . . . 5 0 < 1
2 0re 7960 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 7959 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
42, 3ltnsymi 8060 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
51, 4ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
6 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 gt0ap0 8586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
87adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 # 0)
96, 8rerecclapd 8794 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
109renegcld 8340 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
12 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
1312, 7rerecclapd 8794 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1413adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1514lt0neg1d 8475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
1611, 15mpbid 147 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -(1 / 𝐴))
17 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 𝐴)
1810, 6, 16, 17mulgt0d 8083 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
1912recnd 7989 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
2019adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 recclap 8639 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2220, 8, 21syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2322, 20mulneg1d 8371 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴))
24 recidap2 8647 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
2520, 8, 24syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
2625negeqd 8155 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
2723, 26eqtrd 2210 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
2818, 27breqtrd 4031 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -1)
29 1red 7975 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 ∈ ℝ)
3029lt0neg1d 8475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
3128, 30mpbird 167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 < 0)
3231ex 115 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0))
335, 32mtoi 664 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
34 lenlt 8036 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
352, 13, 34sylancr 414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
3633, 35mpbird 167 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
37 recap0 8645 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) # 0)
3819, 7, 37syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) # 0)
3919, 7, 21syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
40 0cn 7952 . . . 4 0 ∈ ℂ
41 apsym 8566 . . . 4 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
4239, 40, 41sylancl 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
4338, 42mpbid 147 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 # (1 / 𝐴))
44 ltleap 8592 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
452, 13, 44sylancr 414 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
4636, 43, 45mpbir2and 944 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  cc 7812  cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   · cmul 7819   < clt 7995  cle 7996  -cneg 8132   # cap 8541   / cdiv 8632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633
This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8811  ltdiv1  8828  ltrec1  8848  lerec2  8849  lediv12a  8854  recgt1i  8858  recreclt  8860  recgt0i  8866  recgt0ii  8867  recgt0d  8894  nnrecgt0  8960  nnrecl  9177
  Copyright terms: Public domain W3C validator