Theorem recgt0 8936

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
recgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem recgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8212	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
2		0re 8085	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8084	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 8185	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
6		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		gt0ap0 8712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 # 0)
9	6, 8	rerecclapd 8920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	renegcld 8465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
12		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12, 7	rerecclapd 8920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	lt0neg1d 8601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
16	11, 15	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -(1 / 𝐴))
17		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 𝐴)
18	10, 6, 16, 17	mulgt0d 8208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
19	12	recnd 8114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		recclap 8765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 8, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
23	22, 20	mulneg1d 8496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴))
24		recidap2 8773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
25	20, 8, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
26	25	negeqd 8280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
27	23, 26	eqtrd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
28	18, 27	breqtrd 4074	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -1)
29		1red 8100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 ∈ ℝ)
30	29	lt0neg1d 8601	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
31	28, 30	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 < 0)
32	31	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0))
33	5, 32	mtoi 666	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
34		lenlt 8161	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
35	2, 13, 34	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
36	33, 35	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
37		recap0 8771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) # 0)
38	19, 7, 37	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) # 0)
39	19, 7, 21	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
40		0cn 8077	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		apsym 8692	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) # 0 ↔ 0 # (1 / 𝐴)))
43	38, 42	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 # (1 / 𝐴))
44		ltleap 8718	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
45	2, 13, 44	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0 # (1 / 𝐴))))
46	36, 43, 45	mpbir2and 947	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   · cmul 7943   < clt 8120   ≤ cle 8121  -cneg 8257   # cap 8667   / cdiv 8758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8937  ltdiv1  8954  ltrec1  8974  lerec2  8975  lediv12a  8980  recgt1i  8984  recreclt  8986  recgt0i  8992  recgt0ii  8993  recgt0d  9020  nnrecgt0  9087  nnrecl  9306