Theorem letrd 8302

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8261	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   ≤ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltwlin 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9547  eluzuzle  9763  infregelbex  9831  fzdisj  10286  difelfzle  10368  infssuzex  10492  suprzubdc  10495  flqwordi  10547  btwnzge0  10559  fldiv4lem1div2uz2  10565  flqleceil  10578  modqltm1p1mod  10637  seq3split  10749  iseqf1olemqcl  10760  iseqf1olemnab  10762  iseqf1olemab  10763  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsumk  10773  seq3f1olemqsum  10774  seqf1oglem1  10780  seqfeq4g  10792  bernneq  10921  bernneq3  10923  zzlesq  10969  nn0opthlem2d  10982  faclbnd  11002  facubnd  11006  seq3coll  11105  resqrexlemover  11570  resqrexlemdecn  11572  resqrexlemcalc3  11576  absle  11649  releabs  11656  maxleastb  11774  nn0maxcl  11785  climsqz  11895  climsqz2  11896  fsum3cvg3  11956  expcnvap0  12062  geolim2  12072  cvgratnnlemabsle  12087  cvgratnnlemfm  12089  cvgratnnlemrate  12090  cvgratz  12092  mertenslem2  12096  eftlub  12250  cos12dec  12328  divalglemnqt  12480  bitsfzo  12515  ncoprmgcdne1b  12660  prmdc  12701  isprm5lem  12712  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  pcmpt2  12916  pcfac  12922  4sqexercise2  12971  4sqlemsdc  12972  4sqlem11  12973  ennnfoneleminc  13031  ennnfonelemkh  13032  nninfdclemlt  13071  strleund  13185  strext  13187  gsumfzfsumlemm  14600  psrbaglesuppg  14685  suplociccex  15348  ivthinclemlopn  15359  ivthinclemuopn  15361  dveflem  15449  cosordlem  15572  rpabscxpbnd  15663  lgsdirprm  15762  lgsquadlem1  15805  2lgslem1c  15818  2sqlem8  15851