Theorem letrd 8018

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 7977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ℝcr 7748   ≤ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltwlin 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9255  eluzuzle  9470  infregelbex  9532  fzdisj  9983  difelfzle  10065  flqwordi  10219  btwnzge0  10231  flqleceil  10248  modqltm1p1mod  10307  seq3split  10410  iseqf1olemqcl  10417  iseqf1olemnab  10419  iseqf1olemab  10420  seq3f1olemqsumkj  10429  seq3f1olemqsumk  10430  seq3f1olemqsum  10431  bernneq  10571  bernneq3  10573  nn0opthlem2d  10630  faclbnd  10650  facubnd  10654  seq3coll  10751  resqrexlemover  10948  resqrexlemdecn  10950  resqrexlemcalc3  10954  absle  11027  releabs  11034  maxleastb  11152  climsqz  11272  climsqz2  11273  fsum3cvg3  11333  expcnvap0  11439  geolim2  11449  cvgratnnlemabsle  11464  cvgratnnlemfm  11466  cvgratnnlemrate  11467  cvgratz  11469  mertenslem2  11473  eftlub  11627  cos12dec  11704  divalglemnqt  11853  infssuzex  11878  suprzubdc  11881  ncoprmgcdne1b  12017  prmdc  12058  isprm5lem  12069  eulerthlemrprm  12157  eulerthlema  12158  pcmpt2  12270  pcfac  12276  ennnfoneleminc  12340  ennnfonelemkh  12341  nninfdclemlt  12380  strleund  12478  suplociccex  13203  ivthinclemlopn  13214  ivthinclemuopn  13216  dveflem  13287  cosordlem  13370  rpabscxpbnd  13459  lgsdirprm  13535  2sqlem8  13559