Theorem letrd 8345

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   ≤ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltwlin 8188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9592  eluzuzle  9808  infregelbex  9876  fzdisj  10332  difelfzle  10414  infssuzex  10539  suprzubdc  10542  flqwordi  10594  btwnzge0  10606  fldiv4lem1div2uz2  10612  flqleceil  10625  modqltm1p1mod  10684  seq3split  10796  iseqf1olemqcl  10807  iseqf1olemnab  10809  iseqf1olemab  10810  seq3f1olemqsumkj  10819  seq3f1olemqsumk  10820  seq3f1olemqsum  10821  seqf1oglem1  10827  seqfeq4g  10839  bernneq  10968  bernneq3  10970  zzlesq  11016  nn0opthlem2d  11029  faclbnd  11049  facubnd  11053  seq3coll  11152  resqrexlemover  11633  resqrexlemdecn  11635  resqrexlemcalc3  11639  absle  11712  releabs  11719  maxleastb  11837  nn0maxcl  11848  climsqz  11958  climsqz2  11959  fsum3cvg3  12020  expcnvap0  12126  geolim2  12136  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemfm  12153  cvgratnnlemrate  12154  cvgratz  12156  mertenslem2  12160  eftlub  12314  cos12dec  12392  divalglemnqt  12544  bitsfzo  12579  ncoprmgcdne1b  12724  prmdc  12765  isprm5lem  12776  eulerthlemrprm  12864  eulerthlema  12865  pcmpt2  12980  pcfac  12986  4sqexercise2  13035  4sqlemsdc  13036  4sqlem11  13037  ennnfoneleminc  13095  ennnfonelemkh  13096  nninfdclemlt  13135  strleund  13249  strext  13251  gsumfzfsumlemm  14666  psrbaglesuppg  14751  suplociccex  15419  ivthinclemlopn  15430  ivthinclemuopn  15432  dveflem  15520  cosordlem  15643  rpabscxpbnd  15734  pellexlem2  15775  lgsdirprm  15836  lgsquadlem1  15879  2lgslem1c  15892  2sqlem8  15925