Theorem letrd 8167

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8126	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895   ≤ cle 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltwlin 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9411  eluzuzle  9626  infregelbex  9689  fzdisj  10144  difelfzle  10226  infssuzex  10340  suprzubdc  10343  flqwordi  10395  btwnzge0  10407  fldiv4lem1div2uz2  10413  flqleceil  10426  modqltm1p1mod  10485  seq3split  10597  iseqf1olemqcl  10608  iseqf1olemnab  10610  iseqf1olemab  10611  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1olemqsum  10622  seqf1oglem1  10628  seqfeq4g  10640  bernneq  10769  bernneq3  10771  zzlesq  10817  nn0opthlem2d  10830  faclbnd  10850  facubnd  10854  seq3coll  10951  resqrexlemover  11192  resqrexlemdecn  11194  resqrexlemcalc3  11198  absle  11271  releabs  11278  maxleastb  11396  nn0maxcl  11407  climsqz  11517  climsqz2  11518  fsum3cvg3  11578  expcnvap0  11684  geolim2  11694  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  cvgratz  11714  mertenslem2  11718  eftlub  11872  cos12dec  11950  divalglemnqt  12102  bitsfzo  12137  ncoprmgcdne1b  12282  prmdc  12323  isprm5lem  12334  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  pcmpt2  12538  pcfac  12544  4sqexercise2  12593  4sqlemsdc  12594  4sqlem11  12595  ennnfoneleminc  12653  ennnfonelemkh  12654  nninfdclemlt  12693  strleund  12806  strext  12808  gsumfzfsumlemm  14219  psrbaglesuppg  14302  suplociccex  14945  ivthinclemlopn  14956  ivthinclemuopn  14958  dveflem  15046  cosordlem  15169  rpabscxpbnd  15260  lgsdirprm  15359  lgsquadlem1  15402  2lgslem1c  15415  2sqlem8  15448