Theorem letrd 8266

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994   ≤ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-ltwlin 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9511  eluzuzle  9726  infregelbex  9789  fzdisj  10244  difelfzle  10326  infssuzex  10448  suprzubdc  10451  flqwordi  10503  btwnzge0  10515  fldiv4lem1div2uz2  10521  flqleceil  10534  modqltm1p1mod  10593  seq3split  10705  iseqf1olemqcl  10716  iseqf1olemnab  10718  iseqf1olemab  10719  seq3f1olemqsumkj  10728  seq3f1olemqsumk  10729  seq3f1olemqsum  10730  seqf1oglem1  10736  seqfeq4g  10748  bernneq  10877  bernneq3  10879  zzlesq  10925  nn0opthlem2d  10938  faclbnd  10958  facubnd  10962  seq3coll  11059  resqrexlemover  11516  resqrexlemdecn  11518  resqrexlemcalc3  11522  absle  11595  releabs  11602  maxleastb  11720  nn0maxcl  11731  climsqz  11841  climsqz2  11842  fsum3cvg3  11902  expcnvap0  12008  geolim2  12018  cvgratnnlemabsle  12033  cvgratnnlemfm  12035  cvgratnnlemrate  12036  cvgratz  12038  mertenslem2  12042  eftlub  12196  cos12dec  12274  divalglemnqt  12426  bitsfzo  12461  ncoprmgcdne1b  12606  prmdc  12647  isprm5lem  12658  eulerthlemrprm  12746  eulerthlema  12747  pcmpt2  12862  pcfac  12868  4sqexercise2  12917  4sqlemsdc  12918  4sqlem11  12919  ennnfoneleminc  12977  ennnfonelemkh  12978  nninfdclemlt  13017  strleund  13131  strext  13133  gsumfzfsumlemm  14545  psrbaglesuppg  14630  suplociccex  15293  ivthinclemlopn  15304  ivthinclemuopn  15306  dveflem  15394  cosordlem  15517  rpabscxpbnd  15608  lgsdirprm  15707  lgsquadlem1  15750  2lgslem1c  15763  2sqlem8  15796