Theorem letrd 8145

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8104	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873   ≤ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltwlin 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9388  eluzuzle  9603  infregelbex  9666  fzdisj  10121  difelfzle  10203  flqwordi  10360  btwnzge0  10372  fldiv4lem1div2uz2  10378  flqleceil  10391  modqltm1p1mod  10450  seq3split  10562  iseqf1olemqcl  10573  iseqf1olemnab  10575  iseqf1olemab  10576  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1olemqsum  10587  seqf1oglem1  10593  seqfeq4g  10605  bernneq  10734  bernneq3  10736  zzlesq  10782  nn0opthlem2d  10795  faclbnd  10815  facubnd  10819  seq3coll  10916  resqrexlemover  11157  resqrexlemdecn  11159  resqrexlemcalc3  11163  absle  11236  releabs  11243  maxleastb  11361  climsqz  11481  climsqz2  11482  fsum3cvg3  11542  expcnvap0  11648  geolim2  11658  cvgratnnlemabsle  11673  cvgratnnlemfm  11675  cvgratnnlemrate  11676  cvgratz  11678  mertenslem2  11682  eftlub  11836  cos12dec  11914  divalglemnqt  12064  infssuzex  12089  suprzubdc  12092  ncoprmgcdne1b  12230  prmdc  12271  isprm5lem  12282  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  pcmpt2  12485  pcfac  12491  4sqexercise2  12540  4sqlemsdc  12541  4sqlem11  12542  ennnfoneleminc  12571  ennnfonelemkh  12572  nninfdclemlt  12611  strleund  12724  strext  12726  gsumfzfsumlemm  14086  psrbaglesuppg  14169  suplociccex  14804  ivthinclemlopn  14815  ivthinclemuopn  14817  dveflem  14905  cosordlem  15025  rpabscxpbnd  15114  lgsdirprm  15191  lgsquadlem1  15234  2lgslem1c  15247  2sqlem8  15280