Theorem letrd 8080

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8039	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ℝcr 7809   ≤ cle 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltwlin 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9320  eluzuzle  9535  infregelbex  9597  fzdisj  10051  difelfzle  10133  flqwordi  10287  btwnzge0  10299  flqleceil  10316  modqltm1p1mod  10375  seq3split  10478  iseqf1olemqcl  10485  iseqf1olemnab  10487  iseqf1olemab  10488  seq3f1olemqsumkj  10497  seq3f1olemqsumk  10498  seq3f1olemqsum  10499  bernneq  10640  bernneq3  10642  nn0opthlem2d  10700  faclbnd  10720  facubnd  10724  seq3coll  10821  resqrexlemover  11018  resqrexlemdecn  11020  resqrexlemcalc3  11024  absle  11097  releabs  11104  maxleastb  11222  climsqz  11342  climsqz2  11343  fsum3cvg3  11403  expcnvap0  11509  geolim2  11519  cvgratnnlemabsle  11534  cvgratnnlemfm  11536  cvgratnnlemrate  11537  cvgratz  11539  mertenslem2  11543  eftlub  11697  cos12dec  11774  divalglemnqt  11924  infssuzex  11949  suprzubdc  11952  ncoprmgcdne1b  12088  prmdc  12129  isprm5lem  12140  eulerthlemrprm  12228  eulerthlema  12229  pcmpt2  12341  pcfac  12347  ennnfoneleminc  12411  ennnfonelemkh  12412  nninfdclemlt  12451  strleund  12561  strext  12563  suplociccex  14073  ivthinclemlopn  14084  ivthinclemuopn  14086  dveflem  14157  cosordlem  14240  rpabscxpbnd  14329  lgsdirprm  14405  2sqlem8  14440