Theorem letrd 8043

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 431	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773   ≤ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9280  eluzuzle  9495  infregelbex  9557  fzdisj  10008  difelfzle  10090  flqwordi  10244  btwnzge0  10256  flqleceil  10273  modqltm1p1mod  10332  seq3split  10435  iseqf1olemqcl  10442  iseqf1olemnab  10444  iseqf1olemab  10445  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1olemqsum  10456  bernneq  10596  bernneq3  10598  nn0opthlem2d  10655  faclbnd  10675  facubnd  10679  seq3coll  10777  resqrexlemover  10974  resqrexlemdecn  10976  resqrexlemcalc3  10980  absle  11053  releabs  11060  maxleastb  11178  climsqz  11298  climsqz2  11299  fsum3cvg3  11359  expcnvap0  11465  geolim2  11475  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemfm  11492  cvgratnnlemrate  11493  cvgratz  11495  mertenslem2  11499  eftlub  11653  cos12dec  11730  divalglemnqt  11879  infssuzex  11904  suprzubdc  11907  ncoprmgcdne1b  12043  prmdc  12084  isprm5lem  12095  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  pcmpt2  12296  pcfac  12302  ennnfoneleminc  12366  ennnfonelemkh  12367  nninfdclemlt  12406  strleund  12506  suplociccex  13397  ivthinclemlopn  13408  ivthinclemuopn  13410  dveflem  13481  cosordlem  13564  rpabscxpbnd  13653  lgsdirprm  13729  2sqlem8  13753