Theorem letrd 8457

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  lesub3d  8898  nn0negleid  9724  eluzuzle  9946  infregelbex  10014  fzdisj  10474  difelfzle  10558  infssuzex  10683  suprzubdc  10688  flqwordi  10744  btwnzge0  10756  fldiv4lem1div2uz2  10762  flqleceil  10775  modqltm1p1mod  10834  seq3split  10946  iseqf1olemqcl  10957  iseqf1olemnab  10959  iseqf1olemab  10960  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsumk  10970  seq3f1olemqsum  10971  seqf1oglem1  10977  seqfeq4g  10989  bernneq  11119  bernneq3  11121  zzlesq  11167  nn0opthlem2d  11181  faclbnd  11201  facubnd  11205  seq3coll  11316  resqrexlemover  11798  resqrexlemdecn  11800  resqrexlemcalc3  11804  absle  11878  releabs  11885  maxleastb  12003  nn0maxcl  12014  fiidxsupcl  12018  climsqz  12126  climsqz2  12127  fsum3cvg3  12188  expcnvap0  12294  geolim2  12304  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemfm  12321  cvgratnnlemrate  12322  cvgratz  12324  mertenslem2  12328  eftlub  12482  cos12dec  12560  divalglemnqt  12712  bitsfzo  12747  ncoprmgcdne1b  12892  prmdc  12933  isprm5lem  12945  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  pcmpt2  13152  pcfac  13158  4sqexercise2  13207  4sqlemsdc  13208  4sqlem11  13209  ballotfilemsima  13317  ballotfilemfrcn0  13331  ennnfoneleminc  13360  ennnfonelemkh  13361  nninfdclemlt  13400  strleund  13516  strext  13518  psrbaglesuppg  15166  psrbaglefifi  15172  suplociccex  15851  ivthinclemlopn  15862  ivthinclemuopn  15864  dveflem  15952  cosordlem  16077  rpabscxpbnd  16175  pellexlem2  16230  ppiqub  16293  chtublem  16295  bcmono  16304  bpos1lem  16309  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316  bposlem7  16317  bposlem9  16319  lgsdirprm  16358  lgsquadlem1  16401  2lgslem1c  16414  2sqlem8  16447