Theorem letrd 8450

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  nn0negleid  9713  eluzuzle  9930  infregelbex  9998  fzdisj  10457  difelfzle  10541  infssuzex  10666  suprzubdc  10671  flqwordi  10723  btwnzge0  10735  fldiv4lem1div2uz2  10741  flqleceil  10754  modqltm1p1mod  10813  seq3split  10925  iseqf1olemqcl  10936  iseqf1olemnab  10938  iseqf1olemab  10939  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemqsum  10950  seqf1oglem1  10956  seqfeq4g  10968  bernneq  11098  bernneq3  11100  zzlesq  11146  nn0opthlem2d  11159  faclbnd  11179  facubnd  11183  seq3coll  11294  resqrexlemover  11776  resqrexlemdecn  11778  resqrexlemcalc3  11782  absle  11855  releabs  11862  maxleastb  11980  nn0maxcl  11991  climsqz  12101  climsqz2  12102  fsum3cvg3  12163  expcnvap0  12269  geolim2  12279  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemfm  12296  cvgratnnlemrate  12297  cvgratz  12299  mertenslem2  12303  eftlub  12457  cos12dec  12535  divalglemnqt  12687  bitsfzo  12722  ncoprmgcdne1b  12867  prmdc  12908  isprm5lem  12919  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  pcmpt2  13123  pcfac  13129  4sqexercise2  13178  4sqlemsdc  13179  4sqlem11  13180  ballotfilemsima  13259  ballotfilemfrcn0  13273  ennnfoneleminc  13302  ennnfonelemkh  13303  nninfdclemlt  13342  strleund  13457  strext  13459  psrbaglesuppg  15057  suplociccex  15726  ivthinclemlopn  15737  ivthinclemuopn  15739  dveflem  15827  cosordlem  15950  rpabscxpbnd  16042  pellexlem2  16092  lgsdirprm  16153  lgsquadlem1  16196  2lgslem1c  16209  2sqlem8  16242