Theorem letrd 8084

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ℝcr 7813   ≤ cle 7996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-pre-ltwlin 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9324  eluzuzle  9539  infregelbex  9601  fzdisj  10055  difelfzle  10137  flqwordi  10291  btwnzge0  10303  flqleceil  10320  modqltm1p1mod  10379  seq3split  10482  iseqf1olemqcl  10489  iseqf1olemnab  10491  iseqf1olemab  10492  seq3f1olemqsumkj  10501  seq3f1olemqsumk  10502  seq3f1olemqsum  10503  bernneq  10644  bernneq3  10646  nn0opthlem2d  10704  faclbnd  10724  facubnd  10728  seq3coll  10825  resqrexlemover  11022  resqrexlemdecn  11024  resqrexlemcalc3  11028  absle  11101  releabs  11108  maxleastb  11226  climsqz  11346  climsqz2  11347  fsum3cvg3  11407  expcnvap0  11513  geolim2  11523  cvgratnnlemabsle  11538  cvgratnnlemfm  11540  cvgratnnlemrate  11541  cvgratz  11543  mertenslem2  11547  eftlub  11701  cos12dec  11778  divalglemnqt  11928  infssuzex  11953  suprzubdc  11956  ncoprmgcdne1b  12092  prmdc  12133  isprm5lem  12144  eulerthlemrprm  12232  eulerthlema  12233  pcmpt2  12345  pcfac  12351  ennnfoneleminc  12415  ennnfonelemkh  12416  nninfdclemlt  12455  strleund  12565  strext  12567  suplociccex  14243  ivthinclemlopn  14254  ivthinclemuopn  14256  dveflem  14327  cosordlem  14410  rpabscxpbnd  14499  lgsdirprm  14575  2sqlem8  14610