Theorem letrd 8000

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 7961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1220	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3966  ℝcr 7732   ≤ cle 7914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-pre-ltwlin 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-xp 4593  df-cnv 4595  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9448  infregelbex  9510  fzdisj  9955  difelfzle  10037  flqwordi  10191  btwnzge0  10203  flqleceil  10220  modqltm1p1mod  10279  seq3split  10382  iseqf1olemqcl  10389  iseqf1olemnab  10391  iseqf1olemab  10392  seq3f1olemqsumkj  10401  seq3f1olemqsumk  10402  seq3f1olemqsum  10403  bernneq  10542  bernneq3  10544  nn0opthlem2d  10599  faclbnd  10619  facubnd  10623  seq3coll  10717  resqrexlemover  10914  resqrexlemdecn  10916  resqrexlemcalc3  10920  absle  10993  releabs  11000  maxleastb  11118  climsqz  11236  climsqz2  11237  fsum3cvg3  11297  expcnvap0  11403  geolim2  11413  cvgratnnlemabsle  11428  cvgratnnlemfm  11430  cvgratnnlemrate  11431  cvgratz  11433  mertenslem2  11437  eftlub  11591  cos12dec  11668  divalglemnqt  11815  infssuzex  11840  ncoprmgcdne1b  11970  prmdc  12011  eulerthlemrprm  12108  eulerthlema  12109  ennnfoneleminc  12182  ennnfonelemkh  12183  nninfdclemlt  12224  strleund  12320  suplociccex  13045  ivthinclemlopn  13056  ivthinclemuopn  13058  dveflem  13129  cosordlem  13212  rpabscxpbnd  13301