Theorem letrd 8150

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ℝcr 7878   ≤ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltwlin 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9394  eluzuzle  9609  infregelbex  9672  fzdisj  10127  difelfzle  10209  infssuzex  10323  suprzubdc  10326  flqwordi  10378  btwnzge0  10390  fldiv4lem1div2uz2  10396  flqleceil  10409  modqltm1p1mod  10468  seq3split  10580  iseqf1olemqcl  10591  iseqf1olemnab  10593  iseqf1olemab  10594  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605  seqf1oglem1  10611  seqfeq4g  10623  bernneq  10752  bernneq3  10754  zzlesq  10800  nn0opthlem2d  10813  faclbnd  10833  facubnd  10837  seq3coll  10934  resqrexlemover  11175  resqrexlemdecn  11177  resqrexlemcalc3  11181  absle  11254  releabs  11261  maxleastb  11379  nn0maxcl  11390  climsqz  11500  climsqz2  11501  fsum3cvg3  11561  expcnvap0  11667  geolim2  11677  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemfm  11694  cvgratnnlemrate  11695  cvgratz  11697  mertenslem2  11701  eftlub  11855  cos12dec  11933  divalglemnqt  12085  bitsfzo  12119  ncoprmgcdne1b  12257  prmdc  12298  isprm5lem  12309  eulerthlemrprm  12397  eulerthlema  12398  pcmpt2  12513  pcfac  12519  4sqexercise2  12568  4sqlemsdc  12569  4sqlem11  12570  ennnfoneleminc  12628  ennnfonelemkh  12629  nninfdclemlt  12668  strleund  12781  strext  12783  gsumfzfsumlemm  14143  psrbaglesuppg  14226  suplociccex  14861  ivthinclemlopn  14872  ivthinclemuopn  14874  dveflem  14962  cosordlem  15085  rpabscxpbnd  15176  lgsdirprm  15275  lgsquadlem1  15318  2lgslem1c  15331  2sqlem8  15364