Theorem letrd 8081

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8040	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810   ≤ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltwlin 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9321  eluzuzle  9536  infregelbex  9598  fzdisj  10052  difelfzle  10134  flqwordi  10288  btwnzge0  10300  flqleceil  10317  modqltm1p1mod  10376  seq3split  10479  iseqf1olemqcl  10486  iseqf1olemnab  10488  iseqf1olemab  10489  seq3f1olemqsumkj  10498  seq3f1olemqsumk  10499  seq3f1olemqsum  10500  bernneq  10641  bernneq3  10643  nn0opthlem2d  10701  faclbnd  10721  facubnd  10725  seq3coll  10822  resqrexlemover  11019  resqrexlemdecn  11021  resqrexlemcalc3  11025  absle  11098  releabs  11105  maxleastb  11223  climsqz  11343  climsqz2  11344  fsum3cvg3  11404  expcnvap0  11510  geolim2  11520  cvgratnnlemabsle  11535  cvgratnnlemfm  11537  cvgratnnlemrate  11538  cvgratz  11540  mertenslem2  11544  eftlub  11698  cos12dec  11775  divalglemnqt  11925  infssuzex  11950  suprzubdc  11953  ncoprmgcdne1b  12089  prmdc  12130  isprm5lem  12141  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  pcmpt2  12342  pcfac  12348  ennnfoneleminc  12412  ennnfonelemkh  12413  nninfdclemlt  12452  strleund  12562  strext  12564  suplociccex  14106  ivthinclemlopn  14117  ivthinclemuopn  14119  dveflem  14190  cosordlem  14273  rpabscxpbnd  14362  lgsdirprm  14438  2sqlem8  14473