Theorem letrd 8178

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7906   ≤ cle 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-pre-ltwlin 8020

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9423  eluzuzle  9638  infregelbex  9701  fzdisj  10156  difelfzle  10238  infssuzex  10357  suprzubdc  10360  flqwordi  10412  btwnzge0  10424  fldiv4lem1div2uz2  10430  flqleceil  10443  modqltm1p1mod  10502  seq3split  10614  iseqf1olemqcl  10625  iseqf1olemnab  10627  iseqf1olemab  10628  seq3f1olemqsumkj  10637  seq3f1olemqsumk  10638  seq3f1olemqsum  10639  seqf1oglem1  10645  seqfeq4g  10657  bernneq  10786  bernneq3  10788  zzlesq  10834  nn0opthlem2d  10847  faclbnd  10867  facubnd  10871  seq3coll  10968  resqrexlemover  11240  resqrexlemdecn  11242  resqrexlemcalc3  11246  absle  11319  releabs  11326  maxleastb  11444  nn0maxcl  11455  climsqz  11565  climsqz2  11566  fsum3cvg3  11626  expcnvap0  11732  geolim2  11742  cvgratnnlemabsle  11757  cvgratnnlemfm  11759  cvgratnnlemrate  11760  cvgratz  11762  mertenslem2  11766  eftlub  11920  cos12dec  11998  divalglemnqt  12150  bitsfzo  12185  ncoprmgcdne1b  12330  prmdc  12371  isprm5lem  12382  eulerthlemrprm  12470  eulerthlema  12471  pcmpt2  12586  pcfac  12592  4sqexercise2  12641  4sqlemsdc  12642  4sqlem11  12643  ennnfoneleminc  12701  ennnfonelemkh  12702  nninfdclemlt  12741  strleund  12854  strext  12856  gsumfzfsumlemm  14267  psrbaglesuppg  14352  suplociccex  15015  ivthinclemlopn  15026  ivthinclemuopn  15028  dveflem  15116  cosordlem  15239  rpabscxpbnd  15330  lgsdirprm  15429  lgsquadlem1  15472  2lgslem1c  15485  2sqlem8  15518