Theorem letrd 8413

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8372	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   ≤ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltwlin 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9663  eluzuzle  9880  infregelbex  9948  fzdisj  10406  difelfzle  10490  infssuzex  10615  suprzubdc  10620  flqwordi  10672  btwnzge0  10684  fldiv4lem1div2uz2  10690  flqleceil  10703  modqltm1p1mod  10762  seq3split  10874  iseqf1olemqcl  10885  iseqf1olemnab  10887  iseqf1olemab  10888  seq3f1olemqsumkj  10897  seq3f1olemqsumk  10898  seq3f1olemqsum  10899  seqf1oglem1  10905  seqfeq4g  10917  bernneq  11047  bernneq3  11049  zzlesq  11095  nn0opthlem2d  11108  faclbnd  11128  facubnd  11132  seq3coll  11239  resqrexlemover  11720  resqrexlemdecn  11722  resqrexlemcalc3  11726  absle  11799  releabs  11806  maxleastb  11924  nn0maxcl  11935  climsqz  12045  climsqz2  12046  fsum3cvg3  12107  expcnvap0  12213  geolim2  12223  cvgratnnlemabsle  12238  cvgratnnlemfm  12240  cvgratnnlemrate  12241  cvgratz  12243  mertenslem2  12247  eftlub  12401  cos12dec  12479  divalglemnqt  12631  bitsfzo  12666  ncoprmgcdne1b  12811  prmdc  12852  isprm5lem  12863  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  pcmpt2  13067  pcfac  13073  4sqexercise2  13122  4sqlemsdc  13123  4sqlem11  13124  ballotfilemsima  13203  ballotfilemfrcn0  13217  ennnfoneleminc  13246  ennnfonelemkh  13247  nninfdclemlt  13286  strleund  13400  strext  13402  gsumfzfsumlemm  14861  psrbaglesuppg  14947  suplociccex  15616  ivthinclemlopn  15627  ivthinclemuopn  15629  dveflem  15717  cosordlem  15840  rpabscxpbnd  15931  pellexlem2  15972  lgsdirprm  16033  lgsquadlem1  16076  2lgslem1c  16089  2sqlem8  16122