Theorem letrd 8451

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  lesub3d  8892  nn0negleid  9717  eluzuzle  9939  infregelbex  10007  fzdisj  10467  difelfzle  10551  infssuzex  10676  suprzubdc  10681  flqwordi  10736  btwnzge0  10748  fldiv4lem1div2uz2  10754  flqleceil  10767  modqltm1p1mod  10826  seq3split  10938  iseqf1olemqcl  10949  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemab  10952  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsumk  10962  seq3f1olemqsum  10963  seqf1oglem1  10969  seqfeq4g  10981  bernneq  11111  bernneq3  11113  zzlesq  11159  nn0opthlem2d  11173  faclbnd  11193  facubnd  11197  seq3coll  11308  resqrexlemover  11790  resqrexlemdecn  11792  resqrexlemcalc3  11796  absle  11870  releabs  11877  maxleastb  11995  nn0maxcl  12006  climsqz  12117  climsqz2  12118  fsum3cvg3  12179  expcnvap0  12285  geolim2  12295  cvgratnnlemabsle  12310  cvgratnnlemfm  12312  cvgratnnlemrate  12313  cvgratz  12315  mertenslem2  12319  eftlub  12473  cos12dec  12551  divalglemnqt  12703  bitsfzo  12738  ncoprmgcdne1b  12883  prmdc  12924  isprm5lem  12936  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  pcmpt2  13143  pcfac  13149  4sqexercise2  13198  4sqlemsdc  13199  4sqlem11  13200  ballotfilemsima  13308  ballotfilemfrcn0  13322  ennnfoneleminc  13351  ennnfonelemkh  13352  nninfdclemlt  13391  strleund  13506  strext  13508  psrbaglesuppg  15106  suplociccex  15775  ivthinclemlopn  15786  ivthinclemuopn  15788  dveflem  15876  cosordlem  16000  rpabscxpbnd  16095  pellexlem2  16149  ppiqub  16194  bcmono  16202  bpos1lem  16207  bposlem1  16209  bposlem2  16210  bposlem3  16211  bposlem4  16212  bposlem5  16213  lgsdirprm  16251  lgsquadlem1  16294  2lgslem1c  16307  2sqlem8  16340