ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letrd GIF version

Theorem letrd 7898
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
letrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
letrd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 letrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 letr 7859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1216 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
81, 2, 7mp2and 429 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480   class class class wbr 3929  cr 7631  cle 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltwlin 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818
This theorem is referenced by:  eluzuzle  9346  fzdisj  9844  difelfzle  9923  flqwordi  10073  btwnzge0  10085  flqleceil  10102  modqltm1p1mod  10161  seq3split  10264  iseqf1olemqcl  10271  iseqf1olemnab  10273  iseqf1olemab  10274  seq3f1olemqsumkj  10283  seq3f1olemqsumk  10284  seq3f1olemqsum  10285  bernneq  10424  bernneq3  10426  nn0opthlem2d  10479  faclbnd  10499  facubnd  10503  seq3coll  10597  resqrexlemover  10794  resqrexlemdecn  10796  resqrexlemcalc3  10800  absle  10873  releabs  10880  maxleastb  10998  climsqz  11116  climsqz2  11117  fsum3cvg3  11177  expcnvap0  11283  geolim2  11293  cvgratnnlemabsle  11308  cvgratnnlemfm  11310  cvgratnnlemrate  11311  cvgratz  11313  mertenslem2  11317  eftlub  11408  cos12dec  11485  divalglemnqt  11628  infssuzex  11653  ncoprmgcdne1b  11781  ennnfoneleminc  11935  ennnfonelemkh  11936  strleund  12061  suplociccex  12786  ivthinclemlopn  12797  ivthinclemuopn  12799  dveflem  12870  cosordlem  12952
  Copyright terms: Public domain W3C validator