Theorem letrd 8293

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021   ≤ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltwlin 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9538  eluzuzle  9754  infregelbex  9822  fzdisj  10277  difelfzle  10359  infssuzex  10483  suprzubdc  10486  flqwordi  10538  btwnzge0  10550  fldiv4lem1div2uz2  10556  flqleceil  10569  modqltm1p1mod  10628  seq3split  10740  iseqf1olemqcl  10751  iseqf1olemnab  10753  iseqf1olemab  10754  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsumk  10764  seq3f1olemqsum  10765  seqf1oglem1  10771  seqfeq4g  10783  bernneq  10912  bernneq3  10914  zzlesq  10960  nn0opthlem2d  10973  faclbnd  10993  facubnd  10997  seq3coll  11096  resqrexlemover  11561  resqrexlemdecn  11563  resqrexlemcalc3  11567  absle  11640  releabs  11647  maxleastb  11765  nn0maxcl  11776  climsqz  11886  climsqz2  11887  fsum3cvg3  11947  expcnvap0  12053  geolim2  12063  cvgratnnlemabsle  12078  cvgratnnlemfm  12080  cvgratnnlemrate  12081  cvgratz  12083  mertenslem2  12087  eftlub  12241  cos12dec  12319  divalglemnqt  12471  bitsfzo  12506  ncoprmgcdne1b  12651  prmdc  12692  isprm5lem  12703  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  pcmpt2  12907  pcfac  12913  4sqexercise2  12962  4sqlemsdc  12963  4sqlem11  12964  ennnfoneleminc  13022  ennnfonelemkh  13023  nninfdclemlt  13062  strleund  13176  strext  13178  gsumfzfsumlemm  14591  psrbaglesuppg  14676  suplociccex  15339  ivthinclemlopn  15350  ivthinclemuopn  15352  dveflem  15440  cosordlem  15563  rpabscxpbnd  15654  lgsdirprm  15753  lgsquadlem1  15796  2lgslem1c  15809  2sqlem8  15842