Theorem letrd 8195

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7923   ≤ cle 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-ltwlin 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9440  eluzuzle  9655  infregelbex  9718  fzdisj  10173  difelfzle  10255  infssuzex  10374  suprzubdc  10377  flqwordi  10429  btwnzge0  10441  fldiv4lem1div2uz2  10447  flqleceil  10460  modqltm1p1mod  10519  seq3split  10631  iseqf1olemqcl  10642  iseqf1olemnab  10644  iseqf1olemab  10645  seq3f1olemqsumkj  10654  seq3f1olemqsumk  10655  seq3f1olemqsum  10656  seqf1oglem1  10662  seqfeq4g  10674  bernneq  10803  bernneq3  10805  zzlesq  10851  nn0opthlem2d  10864  faclbnd  10884  facubnd  10888  seq3coll  10985  resqrexlemover  11292  resqrexlemdecn  11294  resqrexlemcalc3  11298  absle  11371  releabs  11378  maxleastb  11496  nn0maxcl  11507  climsqz  11617  climsqz2  11618  fsum3cvg3  11678  expcnvap0  11784  geolim2  11794  cvgratnnlemabsle  11809  cvgratnnlemfm  11811  cvgratnnlemrate  11812  cvgratz  11814  mertenslem2  11818  eftlub  11972  cos12dec  12050  divalglemnqt  12202  bitsfzo  12237  ncoprmgcdne1b  12382  prmdc  12423  isprm5lem  12434  eulerthlemrprm  12522  eulerthlema  12523  pcmpt2  12638  pcfac  12644  4sqexercise2  12693  4sqlemsdc  12694  4sqlem11  12695  ennnfoneleminc  12753  ennnfonelemkh  12754  nninfdclemlt  12793  strleund  12906  strext  12908  gsumfzfsumlemm  14320  psrbaglesuppg  14405  suplociccex  15068  ivthinclemlopn  15079  ivthinclemuopn  15081  dveflem  15169  cosordlem  15292  rpabscxpbnd  15383  lgsdirprm  15482  lgsquadlem1  15525  2lgslem1c  15538  2sqlem8  15571