Theorem letrd 8281

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8009   ≤ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltwlin 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9526  eluzuzle  9742  infregelbex  9805  fzdisj  10260  difelfzle  10342  infssuzex  10465  suprzubdc  10468  flqwordi  10520  btwnzge0  10532  fldiv4lem1div2uz2  10538  flqleceil  10551  modqltm1p1mod  10610  seq3split  10722  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1olemqsum  10747  seqf1oglem1  10753  seqfeq4g  10765  bernneq  10894  bernneq3  10896  zzlesq  10942  nn0opthlem2d  10955  faclbnd  10975  facubnd  10979  seq3coll  11077  resqrexlemover  11536  resqrexlemdecn  11538  resqrexlemcalc3  11542  absle  11615  releabs  11622  maxleastb  11740  nn0maxcl  11751  climsqz  11861  climsqz2  11862  fsum3cvg3  11922  expcnvap0  12028  geolim2  12038  cvgratnnlemabsle  12053  cvgratnnlemfm  12055  cvgratnnlemrate  12056  cvgratz  12058  mertenslem2  12062  eftlub  12216  cos12dec  12294  divalglemnqt  12446  bitsfzo  12481  ncoprmgcdne1b  12626  prmdc  12667  isprm5lem  12678  eulerthlemrprm  12766  eulerthlema  12767  pcmpt2  12882  pcfac  12888  4sqexercise2  12937  4sqlemsdc  12938  4sqlem11  12939  ennnfoneleminc  12997  ennnfonelemkh  12998  nninfdclemlt  13037  strleund  13151  strext  13153  gsumfzfsumlemm  14566  psrbaglesuppg  14651  suplociccex  15314  ivthinclemlopn  15325  ivthinclemuopn  15327  dveflem  15415  cosordlem  15538  rpabscxpbnd  15629  lgsdirprm  15728  lgsquadlem1  15771  2lgslem1c  15784  2sqlem8  15817