Theorem letrd 8397

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8356	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ℝcr 8126   ≤ cle 8309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltwlin 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9646  eluzuzle  9862  infregelbex  9930  fzdisj  10386  difelfzle  10468  infssuzex  10593  suprzubdc  10596  flqwordi  10648  btwnzge0  10660  fldiv4lem1div2uz2  10666  flqleceil  10679  modqltm1p1mod  10738  seq3split  10850  iseqf1olemqcl  10861  iseqf1olemnab  10863  iseqf1olemab  10864  seq3f1olemqsumkj  10873  seq3f1olemqsumk  10874  seq3f1olemqsum  10875  seqf1oglem1  10881  seqfeq4g  10893  bernneq  11022  bernneq3  11024  zzlesq  11070  nn0opthlem2d  11083  faclbnd  11103  facubnd  11107  seq3coll  11214  resqrexlemover  11695  resqrexlemdecn  11697  resqrexlemcalc3  11701  absle  11774  releabs  11781  maxleastb  11899  nn0maxcl  11910  climsqz  12020  climsqz2  12021  fsum3cvg3  12082  expcnvap0  12188  geolim2  12198  cvgratnnlemabsle  12213  cvgratnnlemfm  12215  cvgratnnlemrate  12216  cvgratz  12218  mertenslem2  12222  eftlub  12376  cos12dec  12454  divalglemnqt  12606  bitsfzo  12641  ncoprmgcdne1b  12786  prmdc  12827  isprm5lem  12838  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  pcmpt2  13042  pcfac  13048  4sqexercise2  13097  4sqlemsdc  13098  4sqlem11  13099  ennnfoneleminc  13162  ennnfonelemkh  13163  nninfdclemlt  13202  strleund  13316  strext  13318  gsumfzfsumlemm  14735  psrbaglesuppg  14821  suplociccex  15490  ivthinclemlopn  15501  ivthinclemuopn  15503  dveflem  15591  cosordlem  15714  rpabscxpbnd  15805  pellexlem2  15846  lgsdirprm  15907  lgsquadlem1  15950  2lgslem1c  15963  2sqlem8  15996