Theorem letrd 7879

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 7840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1216	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 429	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ℝcr 7612   ≤ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltwlin 7726

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9327  fzdisj  9825  difelfzle  9904  flqwordi  10054  btwnzge0  10066  flqleceil  10083  modqltm1p1mod  10142  seq3split  10245  iseqf1olemqcl  10252  iseqf1olemnab  10254  iseqf1olemab  10255  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3f1olemqsumk  10265  seq3f1olemqsum  10266  bernneq  10405  bernneq3  10407  nn0opthlem2d  10460  faclbnd  10480  facubnd  10484  seq3coll  10578  resqrexlemover  10775  resqrexlemdecn  10777  resqrexlemcalc3  10781  absle  10854  releabs  10861  maxleastb  10979  climsqz  11097  climsqz2  11098  fsum3cvg3  11158  expcnvap0  11264  geolim2  11274  cvgratnnlemabsle  11289  cvgratnnlemfm  11291  cvgratnnlemrate  11292  cvgratz  11294  mertenslem2  11298  eftlub  11385  cos12dec  11463  divalglemnqt  11606  infssuzex  11631  ncoprmgcdne1b  11759  ennnfoneleminc  11913  ennnfonelemkh  11914  strleund  12036  suplociccex  12761  ivthinclemlopn  12772  ivthinclemuopn  12774  dveflem  12844  cosordlem  12919