Theorem letrd 8303

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltwlin 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9548  eluzuzle  9764  infregelbex  9832  fzdisj  10287  difelfzle  10369  infssuzex  10494  suprzubdc  10497  flqwordi  10549  btwnzge0  10561  fldiv4lem1div2uz2  10567  flqleceil  10580  modqltm1p1mod  10639  seq3split  10751  iseqf1olemqcl  10762  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemab  10765  seq3f1olemqsumkj  10774  seq3f1olemqsumk  10775  seq3f1olemqsum  10776  seqf1oglem1  10782  seqfeq4g  10794  bernneq  10923  bernneq3  10925  zzlesq  10971  nn0opthlem2d  10984  faclbnd  11004  facubnd  11008  seq3coll  11107  resqrexlemover  11575  resqrexlemdecn  11577  resqrexlemcalc3  11581  absle  11654  releabs  11661  maxleastb  11779  nn0maxcl  11790  climsqz  11900  climsqz2  11901  fsum3cvg3  11962  expcnvap0  12068  geolim2  12078  cvgratnnlemabsle  12093  cvgratnnlemfm  12095  cvgratnnlemrate  12096  cvgratz  12098  mertenslem2  12102  eftlub  12256  cos12dec  12334  divalglemnqt  12486  bitsfzo  12521  ncoprmgcdne1b  12666  prmdc  12707  isprm5lem  12718  eulerthlemrprm  12806  eulerthlema  12807  pcmpt2  12922  pcfac  12928  4sqexercise2  12977  4sqlemsdc  12978  4sqlem11  12979  ennnfoneleminc  13037  ennnfonelemkh  13038  nninfdclemlt  13077  strleund  13191  strext  13193  gsumfzfsumlemm  14607  psrbaglesuppg  14692  suplociccex  15355  ivthinclemlopn  15366  ivthinclemuopn  15368  dveflem  15456  cosordlem  15579  rpabscxpbnd  15670  lgsdirprm  15769  lgsquadlem1  15812  2lgslem1c  15825  2sqlem8  15858