Theorem letrd 8169

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 8128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltwlin 8011

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9413  eluzuzle  9628  infregelbex  9691  fzdisj  10146  difelfzle  10228  infssuzex  10342  suprzubdc  10345  flqwordi  10397  btwnzge0  10409  fldiv4lem1div2uz2  10415  flqleceil  10428  modqltm1p1mod  10487  seq3split  10599  iseqf1olemqcl  10610  iseqf1olemnab  10612  iseqf1olemab  10613  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsumk  10623  seq3f1olemqsum  10624  seqf1oglem1  10630  seqfeq4g  10642  bernneq  10771  bernneq3  10773  zzlesq  10819  nn0opthlem2d  10832  faclbnd  10852  facubnd  10856  seq3coll  10953  resqrexlemover  11194  resqrexlemdecn  11196  resqrexlemcalc3  11200  absle  11273  releabs  11280  maxleastb  11398  nn0maxcl  11409  climsqz  11519  climsqz2  11520  fsum3cvg3  11580  expcnvap0  11686  geolim2  11696  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemfm  11713  cvgratnnlemrate  11714  cvgratz  11716  mertenslem2  11720  eftlub  11874  cos12dec  11952  divalglemnqt  12104  bitsfzo  12139  ncoprmgcdne1b  12284  prmdc  12325  isprm5lem  12336  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  pcmpt2  12540  pcfac  12546  4sqexercise2  12595  4sqlemsdc  12596  4sqlem11  12597  ennnfoneleminc  12655  ennnfonelemkh  12656  nninfdclemlt  12695  strleund  12808  strext  12810  gsumfzfsumlemm  14221  psrbaglesuppg  14306  suplociccex  14969  ivthinclemlopn  14980  ivthinclemuopn  14982  dveflem  15070  cosordlem  15193  rpabscxpbnd  15284  lgsdirprm  15383  lgsquadlem1  15426  2lgslem1c  15439  2sqlem8  15472