Theorem prodge0 8806

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < 𝐴)
5		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < -𝐵)
6	1, 3, 4, 5	mulgt0d 8075	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
7	1	recnd 7981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 7981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulneg2d 8364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
10	6, 9	breqtrd 4028	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
11	10	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
12		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	lt0neg1d 8467	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
14		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14, 12	remulcld 7983	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	lt0neg1d 8467	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
17	11, 13, 16	3imtr4d 203	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
18	17	con3d 631	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (¬ (𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ 𝐵 < 0))
19		0red 7954	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
20	19, 15	lenltd 8070	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
21	19, 12	lenltd 8070	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
22	18, 20, 21	3imtr4d 203	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → 0 ≤ 𝐵))
23	22	impr 379	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871  ℝcr 7806  0cc0 7807   · cmul 7812   < clt 7987   ≤ cle 7988  -cneg 8124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126

This theorem is referenced by:  prodge02  8807  prodge0i  8861  oexpneg  11873  evennn02n  11878