Theorem prodge0 9178

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 8701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < 𝐴)
5		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < -𝐵)
6	1, 3, 4, 5	mulgt0d 8443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
7	1	recnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulneg2d 8733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
10	6, 9	breqtrd 4154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
11	10	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
12		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	lt0neg1d 8837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
14		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14, 12	remulcld 8350	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	lt0neg1d 8837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
17	11, 13, 16	3imtr4d 203	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
18	17	con3d 640	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (¬ (𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ 𝐵 < 0))
19		0red 8321	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
20	19, 15	lenltd 8438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
21	19, 12	lenltd 8438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
22	18, 20, 21	3imtr4d 203	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → 0 ≤ 𝐵))
23	22	impr 379	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355  -cneg 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494

This theorem is referenced by:  prodge02  9179  prodge0i  9233  oexpneg  12627  evennn02n  12632