Theorem modqdi 10581

Description: Distribute multiplication over a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqdi	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem modqdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1026	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		qcn 9797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 1003	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		qcn 9797	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simp3l 1030	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℚ)
8		simp3r 1031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
9	8	gt0ne0d 8627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
10		qdivcl 9806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
11	4, 7, 9, 10	syl3anc 1252	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
12	11	flqcld 10464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
13		zq 9789	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
15		qmulcl 9800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
16	7, 14, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
17		qcn 9797	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
19	3, 6, 18	subdid 8528	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
20		qcn 9797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
21	7, 20	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		qre 9788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
23	7, 22	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23, 8	gt0ap0d 8744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 # 0)
25		qre 9788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simp1r 1027	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐴)
28	26, 27	gt0ap0d 8744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 # 0)
29	6, 21, 3, 24, 28	divcanap5d 8932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
30	29	fveq2d 5607	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))) = (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))
31	30	oveq2d 5990	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))
32	12	zcnd 9538	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
33	3, 21, 32	mulassd 8138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) = (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
34	31, 33	eqtr2d 2243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))))
35	34	oveq2d 5990	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
36	19, 35	eqtrd 2242	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
37		modqval 10513	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
38	4, 7, 8, 37	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
39	38	oveq2d 5990	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
40		qmulcl 9800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
41	1, 4, 40	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
42		qmulcl 9800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
43	1, 7, 42	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
44	26, 23, 27, 8	mulgt0d 8237	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐴 · 𝐶))
45		modqval 10513	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
46	41, 43, 44, 45	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
47	36, 39, 46	3eqtr4d 2252	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  ℝcr 7966  0cc0 7967   · cmul 7972   < clt 8149   − cmin 8285   / cdiv 8787  ℤcz 9414  ℚcq 9782  ⌊cfl 10455   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by: (None)