Theorem modqdi 10341

Description: Distribute multiplication over a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqdi	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem modqdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1016	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		qcn 9586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 993	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		qcn 9586	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simp3l 1020	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℚ)
8		simp3r 1021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
9	8	gt0ne0d 8424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
10		qdivcl 9595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
11	4, 7, 9, 10	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
12	11	flqcld 10226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
13		zq 9578	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
15		qmulcl 9589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
16	7, 14, 15	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
17		qcn 9586	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
19	3, 6, 18	subdid 8326	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
20		qcn 9586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
21	7, 20	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		qre 9577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
23	7, 22	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23, 8	gt0ap0d 8541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 # 0)
25		qre 9577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simp1r 1017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐴)
28	26, 27	gt0ap0d 8541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 # 0)
29	6, 21, 3, 24, 28	divcanap5d 8727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
30	29	fveq2d 5498	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))) = (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))
31	30	oveq2d 5867	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))
32	12	zcnd 9328	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
33	3, 21, 32	mulassd 7936	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) = (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
34	31, 33	eqtr2d 2204	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))))
35	34	oveq2d 5867	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
36	19, 35	eqtrd 2203	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
37		modqval 10273	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
38	4, 7, 8, 37	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
39	38	oveq2d 5867	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
40		qmulcl 9589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
41	1, 4, 40	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
42		qmulcl 9589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
43	1, 7, 42	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
44	26, 23, 27, 8	mulgt0d 8035	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐴 · 𝐶))
45		modqval 10273	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
46	41, 43, 44, 45	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
47	36, 39, 46	3eqtr4d 2213	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  ℝcr 7766  0cc0 7767   · cmul 7772   < clt 7947   − cmin 8083   / cdiv 8582  ℤcz 9205  ℚcq 9571  ⌊cfl 10217   mod cmo 10271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604  df-fl 10219  df-mod 10272

This theorem is referenced by: (None)