ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmulnn GIF version

Theorem modqmulnn 10344
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmulnn ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)))

Proof of Theorem modqmulnn
StepHypRef Expression
1 nnq 9635 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
213ad2ant1 1018 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
3 flqcl 10275 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
4 zq 9628 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„š)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„š)
653ad2ant2 1019 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„š)
7 qmulcl 9639 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„š)
82, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„š)
9 qre 9627 . . . 4 ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
108, 9syl 14 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
11 simp2 998 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
12 qmulcl 9639 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
132, 11, 12syl2anc 411 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
1413flqcld 10279 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
1514zred 9377 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
16 nnmulcl 8942 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
17 nnq 9635 . . . . . . 7 ((๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š)
1816, 17syl 14 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š)
19183adant2 1016 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š)
20 qre 9627 . . . . 5 ((๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
2119, 20syl 14 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
22 simp1 997 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2322nncnd 8935 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
24 simp3 999 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
2524nncnd 8935 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2622nnap0d 8967 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ # 0)
2724nnap0d 8967 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ # 0)
2823, 25, 26, 27mulap0d 8617 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) # 0)
29 0z 9266 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
30 zq 9628 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„š
32 qapne 9641 . . . . . . . . 9 (((๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง 0 โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) # 0 โ†” (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0))
3319, 31, 32sylancl 413 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) # 0 โ†” (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0))
3428, 33mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0)
35 qdivcl 9645 . . . . . . 7 (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„š)
368, 19, 34, 35syl3anc 1238 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„š)
3736flqcld 10279 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
3837zred 9377 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„)
3921, 38remulcld 7990 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))) โˆˆ โ„)
40 nnnn0 9185 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
41 flqmulnn0 10301 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
4240, 41sylan 283 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
4322, 11, 42syl2anc 411 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
4410, 15, 39, 43lesub1dd 8520 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
4522nnred 8934 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4624nnred 8934 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4722nngt0d 8965 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘)
4824nngt0d 8965 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘€)
4945, 46, 47, 48mulgt0d 8082 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘ ยท ๐‘€))
50 modqval 10326 . . 3 (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง 0 < (๐‘ ยท ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
518, 19, 49, 50syl3anc 1238 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
52 zq 9628 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š)
5314, 52syl 14 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š)
54 modqval 10326 . . . 4 (((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง 0 < (๐‘ ยท ๐‘€)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
5553, 19, 49, 54syl3anc 1238 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
56163adant2 1016 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
57 flqdiv 10323 . . . . . . 7 (((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
5813, 56, 57syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
59 flqdiv 10323 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
60593adant1 1015 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
613zcnd 9378 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6211, 61syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6362, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8776 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€))
6463fveq2d 5521 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)))
65 qcn 9636 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6611, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6766, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8776 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = (๐ด / ๐‘€))
6867fveq2d 5521 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
6960, 64, 683eqtr4rd 2221 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
7058, 69eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
7170oveq2d 5893 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))) = ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))))
7271oveq2d 5893 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
7355, 72eqtrd 2210 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
7444, 51, 733brtr4d 4037 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  โ„šcq 9621  โŒŠcfl 10270   mod cmo 10324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator