ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltpnf GIF version

Theorem ltpnf 9460
Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltpnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . . 4 +∞ = +∞
2 orc 684 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
31, 2mpan2 419 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
43olcd 706 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5 rexr 7735 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 7742 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
7 ltxr 9455 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancl 407 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 166 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3895  cr 7546   < cltrr 7551  +∞cpnf 7721  -∞cmnf 7722  *cxr 7723   < clt 7724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-cnex 7636
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-pnf 7726  df-xr 7728  df-ltxr 7729
This theorem is referenced by:  0ltpnf  9461  xrlttr  9474  xrltso  9475  xrlttri3  9476  nltpnft  9490  npnflt  9491  xrrebnd  9495  xrre  9496  xltnegi  9511  xltadd1  9552  xposdif  9558  elioc2  9612  elicc2  9614  ioomax  9624  ioopos  9626  elioopnf  9643  elicopnf  9645  qbtwnxr  9928  filtinf  10431  xrmaxltsup  10919  xblss2ps  12393
  Copyright terms: Public domain W3C validator