ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltpnf GIF version

Theorem ltpnf 9596
Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltpnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . . 4 +∞ = +∞
2 orc 702 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
31, 2mpan2 422 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
43olcd 724 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5 rexr 7834 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 7841 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
7 ltxr 9591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancl 410 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 166 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  cr 7642   < cltrr 7647  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822   < clt 7823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-cnex 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-pnf 7825  df-xr 7827  df-ltxr 7828
This theorem is referenced by:  0ltpnf  9597  xrlttr  9610  xrltso  9611  xrlttri3  9612  nltpnft  9626  npnflt  9627  xrrebnd  9631  xrre  9632  xltnegi  9647  xltadd1  9688  xposdif  9694  elioc2  9748  elicc2  9750  ioomax  9760  ioopos  9762  elioopnf  9779  elicopnf  9781  qbtwnxr  10065  filtinf  10569  xrmaxltsup  11058  xblss2ps  12610
  Copyright terms: Public domain W3C validator