Theorem srngbased 11766

Description: The base set of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngbased	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem srngbased

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngstr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
2		srngstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		srngstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		srngstrd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
5		srngstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
6	1, 2, 3, 4, 5	srngstrd 11765	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
7		basendxnn 11698	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4079	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
9	7, 2, 8	sylancr 406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
10		tpid1g 3574	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11		elun1 3182	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
12	9, 10, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
13	12, 1	syl6eleqr 2188	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
14	6, 2, 13	opelstrbas 11740	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∪ cun 3011  {csn 3466  {ctp 3468  ⟨cop 3469  ‘cfv 5049  1c1 7448  ℕcn 8520  4c4 8573  ndxcnx 11640  Basecbs 11643  +_gcplusg 11705  ._rcmulr 11706  *_𝑟cstv 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-tp 3474  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645  df-ndx 11646  df-slot 11647  df-base 11649  df-plusg 11718  df-mulr 11719  df-starv 11720

This theorem is referenced by: (None)