Theorem srngbased 13561

Description: The base set of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngbased	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem srngbased

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngstr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
2		srngstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		srngstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		srngstrd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
5		srngstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
6	1, 2, 3, 4, 5	srngstrd 13560	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
7		basendxnn 13467	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4370	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
9	7, 2, 8	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
10		tpid1g 3825	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11		elun1 3396	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
12	9, 10, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
13	12, 1	eleqtrrdi 2332	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
14	6, 2, 13	opelstrbas 13529	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  {ctp 3711  ⟨cop 3712  ‘cfv 5380  1c1 8187  ℕcn 9314  4c4 9367  ndxcnx 13408  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  ._rcmulr 13492  *_𝑟cstv 13493

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-starv 13506

This theorem is used by: (None)