Theorem rngcl 13947

Description: Closure of the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngcl	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	rngmgp 13939	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
3		sgrpmgm 13480	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
5	4	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
6		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		rngcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 13929	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9	8	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10	6, 9	eleqtrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11, 9	eleqtrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	13, 14	mgmcl 13432	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	5, 10, 12, 15	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17		rngcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpplusgg 13927	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 6030	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
20	19	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	16, 20, 9	3eltr4d 2313	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  ._rcmulr 13151  Mgmcmgm 13427  Smgrpcsgrp 13474  mulGrpcmgp 13923  Rngcrng 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mgp 13924  df-rng 13936

This theorem is referenced by:  rnglz  13948  rngrz  13949  rngmneg1  13950  rngmneg2  13951  rngm2neg  13952  rngsubdi  13954  rngsubdir  13955  rngressid  13957  imasrng  13959  qusrng  13961  opprrng  14080  subrngmcl  14213  rnglidlmcl  14484  2idlcpblrng  14527  qusmulrng  14536