Theorem rngcl 13976

Description: Closure of the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngcl	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	rngmgp 13968	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
3		sgrpmgm 13508	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
5	4	3ad2ant1 1044	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
6		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		rngcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 13958	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9	8	3ad2ant1 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10	6, 9	eleqtrd 2310	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		simp3 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11, 9	eleqtrd 2310	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	13, 14	mgmcl 13460	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	5, 10, 12, 15	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17		rngcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpplusgg 13956	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 6035	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
20	19	3ad2ant1 1044	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	16, 20, 9	3eltr4d 2315	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13100  +_gcplusg 13178  ._rcmulr 13179  Mgmcmgm 13455  Smgrpcsgrp 13502  mulGrpcmgp 13952  Rngcrng 13964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mgp 13953  df-rng 13965

This theorem is referenced by:  rnglz  13977  rngrz  13978  rngmneg1  13979  rngmneg2  13980  rngm2neg  13981  rngsubdi  13983  rngsubdir  13984  rngressid  13986  imasrng  13988  qusrng  13990  opprrng  14109  subrngmcl  14242  rnglidlmcl  14513  2idlcpblrng  14556  qusmulrng  14565