Theorem rngansg 13630

Description: Every additive subgroup of a non-unital ring is normal. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rngansg	⊢ (𝑅 ∈ Rng → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem rngansg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 13615	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablnsg 13588	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  SubGrpcsubg 13421  NrmSGrpcnsg 13422  Abelcabl 13539  Rngcrng 13612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fv 5276  df-ov 5937  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-subg 13424  df-nsg 13425  df-cmn 13540  df-abl 13541  df-rng 13613

This theorem is referenced by: (None)