Theorem rngsubdi 13763

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 8470 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdi 13868. (Revised by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rngsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngsubdi	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		rngsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		rngsubdi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6		rnggrp 13750	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngsubdi.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 7, 8	grpinvcld 13431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
10		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		rngsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	4, 10, 11	rngdi 13752	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
13	1, 2, 3, 9, 12	syl13anc 1252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
14	4, 11, 5, 1, 2, 8	rngmneg2 13760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍)))
15	14	oveq2d 5970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
16	13, 15	eqtrd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
17		rngsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
18	4, 10, 5, 17	grpsubval 13428	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
19	3, 8, 18	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
20	19	oveq2d 5970	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))))
21	4, 11	rngcl 13756	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 21	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
23	4, 11	rngcl 13756	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
24	1, 2, 8, 23	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	4, 10, 5, 17	grpsubval 13428	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
27	16, 20, 26	3eqtr4d 2249	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Basecbs 12882  +_gcplusg 12959  ._rcmulr 12960  Grpcgrp 13382  inv_gcminusg 13383  -_gcsg 13384  Rngcrng 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-0g 13140  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-sbg 13387  df-abl 13673  df-mgp 13733  df-rng 13745

This theorem is referenced by:  2idlcpblrng  14335