Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strsetsid GIF version

Theorem strsetsid 12001
 Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strsetsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s (𝜑𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strsetsid (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strsetsid.s . . . 4 (𝜑𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 structex 11980 . . . 4 (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
4 strsetsid.d . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5 strsetsid.e . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6 isstructim 11982 . . . . . . . . 9 (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
71, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
87simp3d 995 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
97simp1d 993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁))
109simp1d 993 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 fzssnn 9855 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
138, 12sstrd 3107 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
1413, 4sseldd 3098 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
155, 3, 14strnfvnd 11988 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16 strsetsid.f . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝑆)
17 funfvex 5438 . . . . 5 ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
1816, 4, 17syl2anc 408 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
1915, 18eqeltrd 2216 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑆) ∈ V)
20 setsvala 11999 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
213, 4, 19, 20syl3anc 1216 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
2215opeq2d 3712 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
2322sneqd 3540 . . 3 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
2423uneq2d 3230 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25 nnssz 9078 . . . . 5 ℕ ⊆ ℤ
2613, 25sstrdi 3109 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27 zdceq 9133 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2827rgen2a 2486 . . . 4 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29 ssralv 3161 . . . . . 6 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3029ralimdv 2500 . . . . 5 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31 ssralv 3161 . . . . 5 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3230, 31syld 45 . . . 4 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3326, 28, 32mpisyl 1422 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34 funresdfunsndc 6402 . . 3 ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
3533, 16, 4, 34syl3anc 1216 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
3621, 24, 353eqtrrd 2177 1 (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 819   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686   ∖ cdif 3068   ∪ cun 3069   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  dom cdm 4539   ↾ cres 4541  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ≤ cle 7808  ℕcn 8727  ℤcz 9061  ...cfz 9797   Struct cstr 11964  ndxcnx 11965   sSet csts 11966  Slot cslot 11967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-struct 11970  df-slot 11972  df-sets 11975 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator