Theorem strsetsid 11590

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strsetsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strsetsid	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strsetsid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		structex 11569	. . . 4 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
4		strsetsid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5		strsetsid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		isstructim 11571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
8	7	simp3d 958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
9	7	simp1d 956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	9	simp1d 956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		fzssnn 9545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
13	8, 12	sstrd 3038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
14	13, 4	sseldd 3029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
15	5, 3, 14	strnfvnd 11577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16		strsetsid.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
17		funfvex 5337	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
18	16, 4, 17	syl2anc 404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
19	15, 18	eqeltrd 2165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ V)
20		setsvala 11588	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
21	3, 4, 19, 20	syl3anc 1175	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
22	15	opeq2d 3637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
23	22	sneqd 3465	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
24	23	uneq2d 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25		nnssz 8830	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
26	13, 25	syl6ss 3040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27		zdceq 8885	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
28	27	rgen2a 2430	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29		ssralv 3088	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
30	29	ralimdv 2443	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31		ssralv 3088	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
32	30, 31	syld 45	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
33	26, 28, 32	mpisyl 1381	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34		funresdfunsndc 6281	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
35	33, 16, 4, 34	syl3anc 1175	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
36	21, 24, 35	3eqtrrd 2126	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 781   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  Vcvv 2622   ∖ cdif 2999   ∪ cun 3000   ⊆ wss 3002  ∅c0 3289  {csn 3452  ⟨cop 3455   class class class wbr 3853  dom cdm 4454   ↾ cres 4456  Fun wfun 5024  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668   ≤ cle 7586  ℕcn 8485  ℤcz 8813  ...cfz 9487   Struct cstr 11553  ndxcnx 11554   sSet csts 11555  Slot cslot 11556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-struct 11559  df-slot 11561  df-sets 11564

This theorem is referenced by: (None)