Theorem strsetsid 13108

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strsetsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strsetsid	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strsetsid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		structex 13087	. . . 4 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
4		strsetsid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5		strsetsid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		isstructim 13089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
8	7	simp3d 1035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
9	7	simp1d 1033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	9	simp1d 1033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		fzssnn 10296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
13	8, 12	sstrd 3235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
14	13, 4	sseldd 3226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
15	5, 3, 14	strnfvnd 13095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16		strsetsid.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
17		funfvex 5652	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
18	16, 4, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
19	15, 18	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ V)
20		setsvala 13106	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
21	3, 4, 19, 20	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
22	15	opeq2d 3867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
23	22	sneqd 3680	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
24	23	uneq2d 3359	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25		nnssz 9489	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
26	13, 25	sstrdi 3237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27		zdceq 9548	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
28	27	rgen2a 2584	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29		ssralv 3289	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
30	29	ralimdv 2598	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31		ssralv 3289	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
32	30, 31	syld 45	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
33	26, 28, 32	mpisyl 1489	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34		funresdfunsndc 6669	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
35	33, 16, 4, 34	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
36	21, 24, 35	3eqtrrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2800   ∖ cdif 3195   ∪ cun 3196   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  {csn 3667  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  dom cdm 4723   ↾ cres 4725  Fun wfun 5318  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ≤ cle 8208  ℕcn 9136  ℤcz 9472  ...cfz 10236   Struct cstr 13071  ndxcnx 13072   sSet csts 13073  Slot cslot 13074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-struct 13077  df-slot 13079  df-sets 13082

This theorem is referenced by:  strressid  13147