Theorem strsetsid 13031

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strsetsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strsetsid	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strsetsid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		structex 13010	. . . 4 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
4		strsetsid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5		strsetsid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		isstructim 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
8	7	simp3d 1016	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
9	7	simp1d 1014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	9	simp1d 1014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		fzssnn 10232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
13	8, 12	sstrd 3214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
14	13, 4	sseldd 3205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
15	5, 3, 14	strnfvnd 13018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16		strsetsid.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
17		funfvex 5620	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
18	16, 4, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
19	15, 18	eqeltrd 2286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ V)
20		setsvala 13029	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
21	3, 4, 19, 20	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
22	15	opeq2d 3843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
23	22	sneqd 3659	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
24	23	uneq2d 3338	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25		nnssz 9431	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
26	13, 25	sstrdi 3216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27		zdceq 9490	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
28	27	rgen2a 2564	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29		ssralv 3268	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
30	29	ralimdv 2578	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31		ssralv 3268	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
32	30, 31	syld 45	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
33	26, 28, 32	mpisyl 1469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34		funresdfunsndc 6622	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
35	33, 16, 4, 34	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
36	21, 24, 35	3eqtrrd 2247	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 838   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  Vcvv 2779   ∖ cdif 3174   ∪ cun 3175   ⊆ wss 3177  ∅c0 3471  {csn 3646  ⟨cop 3649   class class class wbr 4062  dom cdm 4696   ↾ cres 4698  Fun wfun 5288  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ≤ cle 8150  ℕcn 9078  ℤcz 9414  ...cfz 10172   Struct cstr 12994  ndxcnx 12995   sSet csts 12996  Slot cslot 12997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-slot 13002  df-sets 13005

This theorem is referenced by:  strressid  13070