ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strsetsid GIF version

Theorem strsetsid 11590
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strsetsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s (𝜑𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strsetsid (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strsetsid.s . . . 4 (𝜑𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 structex 11569 . . . 4 (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
4 strsetsid.d . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5 strsetsid.e . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6 isstructim 11571 . . . . . . . . 9 (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
71, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
87simp3d 958 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
97simp1d 956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁))
109simp1d 956 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 fzssnn 9545 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
138, 12sstrd 3038 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
1413, 4sseldd 3029 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
155, 3, 14strnfvnd 11577 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16 strsetsid.f . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝑆)
17 funfvex 5337 . . . . 5 ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
1816, 4, 17syl2anc 404 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
1915, 18eqeltrd 2165 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑆) ∈ V)
20 setsvala 11588 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
213, 4, 19, 20syl3anc 1175 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
2215opeq2d 3637 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
2322sneqd 3465 . . 3 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
2423uneq2d 3157 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25 nnssz 8830 . . . . 5 ℕ ⊆ ℤ
2613, 25syl6ss 3040 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27 zdceq 8885 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2827rgen2a 2430 . . . 4 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29 ssralv 3088 . . . . . 6 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3029ralimdv 2443 . . . . 5 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31 ssralv 3088 . . . . 5 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3230, 31syld 45 . . . 4 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3326, 28, 32mpisyl 1381 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34 funresdfunsndc 6281 . . 3 ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
3533, 16, 4, 34syl3anc 1175 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
3621, 24, 353eqtrrd 2126 1 (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  DECID wdc 781  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  Vcvv 2622  cdif 2999  cun 3000  wss 3002  c0 3289  {csn 3452  cop 3455   class class class wbr 3853  dom cdm 4454  cres 4456  Fun wfun 5024  cfv 5030  (class class class)co 5668  cle 7586  cn 8485  cz 8813  ...cfz 9487   Struct cstr 11553  ndxcnx 11554   sSet csts 11555  Slot cslot 11556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-struct 11559  df-slot 11561  df-sets 11564
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator