Theorem strsetsid 12548

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strsetsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strsetsid	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strsetsid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		structex 12527	. . . 4 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
4		strsetsid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5		strsetsid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		isstructim 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
8	7	simp3d 1013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
9	7	simp1d 1011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	9	simp1d 1011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		fzssnn 10100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
13	8, 12	sstrd 3180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
14	13, 4	sseldd 3171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
15	5, 3, 14	strnfvnd 12535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16		strsetsid.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
17		funfvex 5551	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
18	16, 4, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
19	15, 18	eqeltrd 2266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ V)
20		setsvala 12546	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
21	3, 4, 19, 20	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
22	15	opeq2d 3800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
23	22	sneqd 3620	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
24	23	uneq2d 3304	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25		nnssz 9301	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
26	13, 25	sstrdi 3182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27		zdceq 9359	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
28	27	rgen2a 2544	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29		ssralv 3234	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
30	29	ralimdv 2558	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31		ssralv 3234	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
32	30, 31	syld 45	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
33	26, 28, 32	mpisyl 1457	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34		funresdfunsndc 6532	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
35	33, 16, 4, 34	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
36	21, 24, 35	3eqtrrd 2227	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  Vcvv 2752   ∖ cdif 3141   ∪ cun 3142   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  {csn 3607  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018  dom cdm 4644   ↾ cres 4646  Fun wfun 5229  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897   ≤ cle 8024  ℕcn 8950  ℤcz 9284  ...cfz 10040   Struct cstr 12511  ndxcnx 12512   sSet csts 12513  Slot cslot 12514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-struct 12517  df-slot 12519  df-sets 12522

This theorem is referenced by:  strressid  12586