ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strsetsid GIF version

Theorem strsetsid 12497
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strsetsid.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strsetsid.s (πœ‘ β†’ 𝑆 Struct βŸ¨π‘€, π‘βŸ©)
strsetsid.f (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
strsetsid.d (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strsetsid (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩))

Proof of Theorem strsetsid
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strsetsid.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 Struct βŸ¨π‘€, π‘βŸ©)
2 structex 12476 . . . 4 (𝑆 Struct βŸ¨π‘€, π‘βŸ© β†’ 𝑆 ∈ V)
31, 2syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
4 strsetsid.d . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
5 strsetsid.e . . . . 5 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
6 isstructim 12478 . . . . . . . . 9 (𝑆 Struct βŸ¨π‘€, π‘βŸ© β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ dom 𝑆 βŠ† (𝑀...𝑁)))
71, 6syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ dom 𝑆 βŠ† (𝑀...𝑁)))
87simp3d 1011 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 βŠ† (𝑀...𝑁))
97simp1d 1009 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
109simp1d 1009 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
11 fzssnn 10070 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀...𝑁) βŠ† β„•)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) βŠ† β„•)
138, 12sstrd 3167 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 βŠ† β„•)
1413, 4sseldd 3158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
155, 3, 14strnfvnd 12484 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
16 strsetsid.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
17 funfvex 5534 . . . . 5 ((Fun 𝑆 ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) ∈ V)
1816, 4, 17syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) ∈ V)
1915, 18eqeltrd 2254 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) ∈ V)
20 setsvala 12495 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (πΈβ€˜π‘†) ∈ V) β†’ (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩}))
213, 4, 19, 20syl3anc 1238 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩}))
2215opeq2d 3787 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩ = ⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩)
2322sneqd 3607 . . 3 (πœ‘ β†’ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩} = {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩})
2423uneq2d 3291 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩}) = ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩}))
25 nnssz 9272 . . . . 5 β„• βŠ† β„€
2613, 25sstrdi 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 βŠ† β„€)
27 zdceq 9330 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ DECID π‘₯ = 𝑦)
2827rgen2a 2531 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ DECID π‘₯ = 𝑦
29 ssralv 3221 . . . . . 6 (dom 𝑆 βŠ† β„€ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ β„€ DECID π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑆DECID π‘₯ = 𝑦))
3029ralimdv 2545 . . . . 5 (dom 𝑆 βŠ† β„€ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ DECID π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑆DECID π‘₯ = 𝑦))
31 ssralv 3221 . . . . 5 (dom 𝑆 βŠ† β„€ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑆DECID π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘†βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑆DECID π‘₯ = 𝑦))
3230, 31syld 45 . . . 4 (dom 𝑆 βŠ† β„€ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ DECID π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘†βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑆DECID π‘₯ = 𝑦))
3326, 28, 32mpisyl 1446 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘†βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑆DECID π‘₯ = 𝑦)
34 funresdfunsndc 6509 . . 3 ((βˆ€π‘₯ ∈ dom π‘†βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝑆DECID π‘₯ = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆) β†’ ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩}) = 𝑆)
3533, 16, 4, 34syl3anc 1238 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx))⟩}) = 𝑆)
3621, 24, 353eqtrrd 2215 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), (πΈβ€˜π‘†)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2739   βˆ– cdif 3128   βˆͺ cun 3129   βŠ† wss 3131  βˆ…c0 3424  {csn 3594  βŸ¨cop 3597   class class class wbr 4005  dom cdm 4628   β†Ύ cres 4630  Fun wfun 5212  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ≀ cle 7995  β„•cn 8921  β„€cz 9255  ...cfz 10010   Struct cstr 12460  ndxcnx 12461   sSet csts 12462  Slot cslot 12463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466  df-slot 12468  df-sets 12471
This theorem is referenced by:  strressid  12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator