ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strsetsid GIF version

Theorem strsetsid 12001
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strsetsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s (𝜑𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strsetsid (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strsetsid.s . . . 4 (𝜑𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 structex 11980 . . . 4 (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
4 strsetsid.d . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5 strsetsid.e . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6 isstructim 11982 . . . . . . . . 9 (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
71, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
87simp3d 995 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
97simp1d 993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁))
109simp1d 993 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 fzssnn 9855 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
138, 12sstrd 3107 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
1413, 4sseldd 3098 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
155, 3, 14strnfvnd 11988 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16 strsetsid.f . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝑆)
17 funfvex 5438 . . . . 5 ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
1816, 4, 17syl2anc 408 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
1915, 18eqeltrd 2216 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑆) ∈ V)
20 setsvala 11999 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
213, 4, 19, 20syl3anc 1216 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
2215opeq2d 3712 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
2322sneqd 3540 . . 3 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
2423uneq2d 3230 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25 nnssz 9078 . . . . 5 ℕ ⊆ ℤ
2613, 25sstrdi 3109 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27 zdceq 9133 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2827rgen2a 2486 . . . 4 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29 ssralv 3161 . . . . . 6 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3029ralimdv 2500 . . . . 5 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31 ssralv 3161 . . . . 5 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3230, 31syld 45 . . . 4 (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
3326, 28, 32mpisyl 1422 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34 funresdfunsndc 6402 . . 3 ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
3533, 16, 4, 34syl3anc 1216 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
3621, 24, 353eqtrrd 2177 1 (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  DECID wdc 819  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  Vcvv 2686  cdif 3068  cun 3069  wss 3071  c0 3363  {csn 3527  cop 3530   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  cres 4541  Fun wfun 5117  cfv 5123  (class class class)co 5774  cle 7808  cn 8727  cz 9061  ...cfz 9797   Struct cstr 11964  ndxcnx 11965   sSet csts 11966  Slot cslot 11967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-struct 11970  df-slot 11972  df-sets 11975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator