Theorem strsetsid 13437

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strsetsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strsetsid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strsetsid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strsetsid.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strsetsid	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem strsetsid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strsetsid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		structex 13416	. . . 4 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
4		strsetsid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5		strsetsid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		isstructim 13418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)))
8	7	simp3d 1042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
9	7	simp1d 1040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	9	simp1d 1040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		fzssnn 10485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ ℕ)
13	8, 12	sstrd 3258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℕ)
14	13, 4	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
15	5, 3, 14	strnfvnd 13424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
16		strsetsid.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
17		funfvex 5712	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
18	16, 4, 17	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) ∈ V)
19	15, 18	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ V)
20		setsvala 13435	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
21	3, 4, 19, 20	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
22	15	opeq2d 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
23	22	sneqd 3722	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
24	23	uneq2d 3383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
25		nnssz 9666	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
26	13, 25	sstrdi 3260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ⊆ ℤ)
27		zdceq 9725	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 𝑦)
28	27	rgen2a 2604	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦
29		ssralv 3312	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
30	29	ralimdv 2618	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
31		ssralv 3312	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
32	30, 31	syld 45	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 ⊆ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦))
33	26, 28, 32	mpisyl 1496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦)
34		funresdfunsndc 6779	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑆∀𝑦 ∈ dom 𝑆DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
35	33, 16, 4, 34	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
36	21, 24, 35	3eqtrrd 2276	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  dom cdm 4774   ↾ cres 4776  Fun wfun 5371  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  ℤcz 9649  ...cfz 10422   Struct cstr 13400  ndxcnx 13401   sSet csts 13402  Slot cslot 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13406  df-slot 13408  df-sets 13411

This theorem is used by:  strressid  13478