Theorem fvexg 5661

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5657	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4999	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4538	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4229	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ⊆ wss 3199  ∪ cuni 3894  ran crn 4728  ‘cfv 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-cnv 4735  df-dm 4737  df-rn 4738  df-iota 5288  df-fv 5336

This theorem is referenced by:  fvex  5662  ovexg  6057  rdgivallem  6552  frecabex  6569  mapsnconst  6868  cc2lem  7490  addvalex  8069  uzennn  10704  seq1g  10731  seqp1g  10734  seqclg  10740  seqm1g  10742  seqfeq4g  10799  lswwrd  11169  ccatlen  11181  ccatval2  11184  ccatvalfn  11187  ccatalpha  11199  eqs1  11214  swrdlen  11242  swrdfv  11243  swrdwrdsymbg  11254  swrdswrd  11295  absval  11584  climmpt  11883  strnfvnd  13125  prdsex  13375  prdsval  13379  prdsbaslemss  13380  prdsbas  13382  prdsplusgfval  13390  prdsmulrfval  13392  pwsplusgval  13401  pwsmulrval  13402  imasex  13411  imasival  13412  imasbas  13413  imasplusg  13414  imasmulr  13415  imasaddfnlemg  13420  imasaddvallemg  13421  gsumfzval  13497  gsumval2  13503  gsumsplit1r  13504  gsumprval  13505  gsumfzz  13601  gsumwsubmcl  13602  gsumfzcl  13605  grpsubval  13652  mulgval  13732  mulgfng  13734  mulgnngsum  13737  znval  14674  znle  14675  znbaslemnn  14677  znbas  14682  znzrhval  14685  znzrhfo  14686  znleval  14691  iscnp4  14971  cnpnei  14972  uhgrspansubgrlem  16156  wlkvtxiedg  16225  wlkvtxiedgg  16226  wlk1walkdom  16239  wlklenvclwlk  16253  trlsegvdeglem3  16342  trlsegvdeglem5  16344  eupth2lem3fi  16356  depindlem1  16386