Theorem fvexg 5658

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5654	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4997	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4536	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4228	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ∪ cuni 3893  ran crn 4726  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fvex  5659  ovexg  6052  rdgivallem  6547  frecabex  6564  mapsnconst  6863  cc2lem  7485  addvalex  8064  uzennn  10699  seq1g  10726  seqp1g  10729  seqclg  10735  seqm1g  10737  seqfeq4g  10794  lswwrd  11161  ccatlen  11173  ccatval2  11176  ccatvalfn  11179  ccatalpha  11191  eqs1  11206  swrdlen  11234  swrdfv  11235  swrdwrdsymbg  11246  swrdswrd  11287  absval  11563  climmpt  11862  strnfvnd  13104  prdsex  13354  prdsval  13358  prdsbaslemss  13359  prdsbas  13361  prdsplusgfval  13369  prdsmulrfval  13371  pwsplusgval  13380  pwsmulrval  13381  imasex  13390  imasival  13391  imasbas  13392  imasplusg  13393  imasmulr  13394  imasaddfnlemg  13399  imasaddvallemg  13400  gsumfzval  13476  gsumval2  13482  gsumsplit1r  13483  gsumprval  13484  gsumfzz  13580  gsumwsubmcl  13581  gsumfzcl  13584  grpsubval  13631  mulgval  13711  mulgfng  13713  mulgnngsum  13716  znval  14653  znle  14654  znbaslemnn  14656  znbas  14661  znzrhval  14664  znzrhfo  14665  znleval  14670  iscnp4  14945  cnpnei  14946  uhgrspansubgrlem  16130  wlkvtxiedg  16199  wlkvtxiedgg  16200  wlk1walkdom  16213  wlklenvclwlk  16227  trlsegvdeglem3  16316  trlsegvdeglem5  16318  eupth2lem3fi  16330  depindlem1  16346