Theorem fvexg 5651

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5647	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4992	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4531	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4223	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∪ cuni 3888  ran crn 4721  ‘cfv 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4728  df-dm 4730  df-rn 4731  df-iota 5281  df-fv 5329

This theorem is referenced by:  fvex  5652  ovexg  6044  rdgivallem  6538  frecabex  6555  mapsnconst  6854  cc2lem  7468  addvalex  8047  uzennn  10675  seq1g  10702  seqp1g  10705  seqclg  10711  seqm1g  10713  seqfeq4g  10770  lswwrd  11136  ccatlen  11148  ccatval2  11151  ccatvalfn  11154  ccatalpha  11166  eqs1  11181  swrdlen  11205  swrdfv  11206  swrdwrdsymbg  11217  swrdswrd  11258  absval  11533  climmpt  11832  strnfvnd  13073  prdsex  13323  prdsval  13327  prdsbaslemss  13328  prdsbas  13330  prdsplusgfval  13338  prdsmulrfval  13340  pwsplusgval  13349  pwsmulrval  13350  imasex  13359  imasival  13360  imasbas  13361  imasplusg  13362  imasmulr  13363  imasaddfnlemg  13368  imasaddvallemg  13369  gsumfzval  13445  gsumval2  13451  gsumsplit1r  13452  gsumprval  13453  gsumfzz  13549  gsumwsubmcl  13550  gsumfzcl  13553  grpsubval  13600  mulgval  13680  mulgfng  13682  mulgnngsum  13685  znval  14621  znle  14622  znbaslemnn  14624  znbas  14629  znzrhval  14632  znzrhfo  14633  znleval  14638  iscnp4  14913  cnpnei  14914  wlkvtxiedg  16117  wlkvtxiedgg  16118  wlk1walkdom  16131  wlklenvclwlk  16145