Theorem fvexg 5618

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4962	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4504	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4199	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   ⊆ wss 3174  ∪ cuni 3864  ran crn 4694  ‘cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fvex  5619  ovexg  6001  rdgivallem  6490  frecabex  6507  mapsnconst  6804  cc2lem  7413  addvalex  7992  uzennn  10618  seq1g  10645  seqp1g  10648  seqclg  10654  seqm1g  10656  seqfeq4g  10713  lswwrd  11077  ccatlen  11089  ccatval2  11092  ccatvalfn  11095  eqs1  11120  swrdlen  11143  swrdfv  11144  swrdwrdsymbg  11155  swrdswrd  11196  absval  11427  climmpt  11726  strnfvnd  12967  prdsex  13216  prdsval  13220  prdsbaslemss  13221  prdsbas  13223  prdsplusgfval  13231  prdsmulrfval  13233  pwsplusgval  13242  pwsmulrval  13243  imasex  13252  imasival  13253  imasbas  13254  imasplusg  13255  imasmulr  13256  imasaddfnlemg  13261  imasaddvallemg  13262  gsumfzval  13338  gsumval2  13344  gsumsplit1r  13345  gsumprval  13346  gsumfzz  13442  gsumwsubmcl  13443  gsumfzcl  13446  grpsubval  13493  mulgval  13573  mulgfng  13575  mulgnngsum  13578  znval  14513  znle  14514  znbaslemnn  14516  znbas  14521  znzrhval  14524  znzrhfo  14525  znleval  14530  iscnp4  14805  cnpnei  14806