Theorem fvexg 5654

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5650	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4995	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4534	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4226	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  ∪ cuni 3891  ran crn 4724  ‘cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fvex  5655  ovexg  6047  rdgivallem  6542  frecabex  6559  mapsnconst  6858  cc2lem  7478  addvalex  8057  uzennn  10691  seq1g  10718  seqp1g  10721  seqclg  10727  seqm1g  10729  seqfeq4g  10786  lswwrd  11153  ccatlen  11165  ccatval2  11168  ccatvalfn  11171  ccatalpha  11183  eqs1  11198  swrdlen  11226  swrdfv  11227  swrdwrdsymbg  11238  swrdswrd  11279  absval  11555  climmpt  11854  strnfvnd  13095  prdsex  13345  prdsval  13349  prdsbaslemss  13350  prdsbas  13352  prdsplusgfval  13360  prdsmulrfval  13362  pwsplusgval  13371  pwsmulrval  13372  imasex  13381  imasival  13382  imasbas  13383  imasplusg  13384  imasmulr  13385  imasaddfnlemg  13390  imasaddvallemg  13391  gsumfzval  13467  gsumval2  13473  gsumsplit1r  13474  gsumprval  13475  gsumfzz  13571  gsumwsubmcl  13572  gsumfzcl  13575  grpsubval  13622  mulgval  13702  mulgfng  13704  mulgnngsum  13707  znval  14643  znle  14644  znbaslemnn  14646  znbas  14651  znzrhval  14654  znzrhfo  14655  znleval  14660  iscnp4  14935  cnpnei  14936  wlkvtxiedg  16156  wlkvtxiedgg  16157  wlk1walkdom  16170  wlklenvclwlk  16184