Theorem fvexg 5714

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 5047	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4585	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4272	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3935  ran crn 4775  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvex  5715  ovexg  6119  suppval1  6479  suppimacnvfn  6486  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  rdgivallem  6652  frecabex  6669  mapsnconst  6976  mapsnend  7099  cc2lem  7632  addvalex  8211  uzennn  10873  seq1g  10900  seqp1g  10903  seqclg  10909  seqm1g  10911  seqfeq4g  10968  lswwrd  11351  ccatlen  11363  ccatval2  11366  ccatvalfn  11369  ccatalpha  11381  eqs1  11396  swrdlen  11424  swrdfv  11425  swrdwrdsymbg  11436  swrdswrd  11477  absval  11767  climmpt  12066  strnfvnd  13372  imasex  13626  imasival  13627  imasbas  13628  imasplusg  13629  imasmulr  13630  imasaddfnlemg  13635  imasaddvallemg  13636  gzsumfzval  13711  gzsumval2  13714  gzsumsplit1r  13715  gzsumwsubmcl  13801  gzsumcl  13804  grpsubval  13851  mulgval  13925  mulgfng  13927  mulgnngzsum  13930  prdsex  14172  prdsval  14173  prdsbaslemss  14174  prdsbas  14176  prdsplusgfval  14184  prdsmulrfval  14186  pwsplusgval  14208  pwsmulrval  14209  znval  14971  znle  14972  znbaslemnn  14974  znbas  14979  znzrhval  14982  znzrhfo  14983  znleval  14988  iscnp4  15319  cnpnei  15320  uhgrspansubgrlem  16521  wlkvtxiedg  16590  wlkvtxiedgg  16591  wlk1walkdom  16604  wlklenvclwlk  16618  trlsegvdeglem3  16707  trlsegvdeglem5  16709  eupth2lem3fi  16721  depindlem1  16751