Theorem fvexg 5580

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4932	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4475	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4173	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ∪ cuni 3840  ran crn 4665  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fvex  5581  ovexg  5959  rdgivallem  6448  frecabex  6465  mapsnconst  6762  cc2lem  7349  addvalex  7928  uzennn  10545  seq1g  10572  seqp1g  10575  seqclg  10581  seqm1g  10583  seqfeq4g  10640  absval  11183  climmpt  11482  strnfvnd  12723  prdsex  12971  prdsval  12975  prdsbaslemss  12976  prdsbas  12978  prdsplusgfval  12986  prdsmulrfval  12988  pwsplusgval  12997  pwsmulrval  12998  imasex  13007  imasival  13008  imasbas  13009  imasplusg  13010  imasmulr  13011  imasaddfnlemg  13016  imasaddvallemg  13017  gsumfzval  13093  gsumval2  13099  gsumsplit1r  13100  gsumprval  13101  gsumfzz  13197  gsumwsubmcl  13198  gsumfzcl  13201  grpsubval  13248  mulgval  13328  mulgfng  13330  mulgnngsum  13333  znval  14268  znle  14269  znbaslemnn  14271  znbas  14276  znzrhval  14279  znzrhfo  14280  znleval  14285  iscnp4  14538  cnpnei  14539