Theorem fvexg 5694

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 5027	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4565	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4254	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  ∪ cuni 3919  ran crn 4755  ‘cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fvex  5695  ovexg  6092  suppval1  6452  suppimacnvfn  6459  suppssrst  6474  suppssrgst  6475  rdgivallem  6625  frecabex  6642  mapsnconst  6942  mapsnend  7065  cc2lem  7596  addvalex  8175  uzennn  10825  seq1g  10852  seqp1g  10855  seqclg  10861  seqm1g  10863  seqfeq4g  10920  lswwrd  11299  ccatlen  11311  ccatval2  11314  ccatvalfn  11317  ccatalpha  11329  eqs1  11344  swrdlen  11372  swrdfv  11373  swrdwrdsymbg  11384  swrdswrd  11425  absval  11714  climmpt  12013  strnfvnd  13319  imasex  13572  imasival  13573  imasbas  13574  imasplusg  13575  imasmulr  13576  imasaddfnlemg  13581  imasaddvallemg  13582  gsumfzval  13657  gsumval2  13663  gsumsplit1r  13664  gsumprval  13665  gsumfzz  13753  gsumwsubmcl  13754  gsumfzcl  13757  grpsubval  13804  mulgval  13878  mulgfng  13880  mulgnngsum  13883  prdsex  14117  prdsval  14118  prdsbaslemss  14119  prdsbas  14121  prdsplusgfval  14129  prdsmulrfval  14131  pwsplusgval  14153  pwsmulrval  14154  znval  14913  znle  14914  znbaslemnn  14916  znbas  14921  znzrhval  14924  znzrhfo  14925  znleval  14930  iscnp4  15212  cnpnei  15213  uhgrspansubgrlem  16400  wlkvtxiedg  16469  wlkvtxiedgg  16470  wlk1walkdom  16483  wlklenvclwlk  16497  trlsegvdeglem3  16586  trlsegvdeglem5  16588  eupth2lem3fi  16600  depindlem1  16630