Theorem fvexg 5714

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 5047	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4585	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4272	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3935  ran crn 4775  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvex  5715  ovexg  6119  suppval1  6479  suppimacnvfn  6486  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  rdgivallem  6652  frecabex  6669  mapsnconst  6976  mapsnend  7099  cc2lem  7632  addvalex  8211  uzennn  10875  seq1g  10902  seqp1g  10905  seqclg  10911  seqm1g  10913  seqfeq4g  10970  lswwrd  11353  ccatlen  11365  ccatval2  11368  ccatvalfn  11371  ccatalpha  11383  eqs1  11398  swrdlen  11426  swrdfv  11427  swrdwrdsymbg  11438  swrdswrd  11479  absval  11769  climmpt  12068  strnfvnd  13374  imasex  13628  imasival  13629  imasbas  13630  imasplusg  13631  imasmulr  13632  imasaddfnlemg  13637  imasaddvallemg  13638  gzsumfzval  13713  gzsumval2  13716  gzsumsplit1r  13717  gzsumwsubmcl  13803  gzsumcl  13806  grpsubval  13853  mulgval  13927  mulgfng  13929  mulgnngzsum  13932  prdsex  14174  prdsval  14175  prdsbaslemss  14176  prdsbas  14178  prdsplusgfval  14186  prdsmulrfval  14188  pwsplusgval  14210  pwsmulrval  14211  znval  14973  znle  14974  znbaslemnn  14976  znbas  14981  znzrhval  14984  znzrhfo  14985  znleval  14990  iscnp4  15321  cnpnei  15322  uhgrspansubgrlem  16529  wlkvtxiedg  16598  wlkvtxiedgg  16599  wlk1walkdom  16612  wlklenvclwlk  16626  trlsegvdeglem3  16715  trlsegvdeglem5  16717  eupth2lem3fi  16729  depindlem1  16759