Theorem fvexg 5712

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5708	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 5045	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4583	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4270	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3933  ran crn 4773  ‘cfv 5375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-iota 5335  df-fv 5383

This theorem is referenced by:  fvex  5713  ovexg  6113  suppval1  6473  suppimacnvfn  6480  suppssrst  6495  suppssrgst  6496  rdgivallem  6646  frecabex  6663  mapsnconst  6970  mapsnend  7093  cc2lem  7626  addvalex  8205  uzennn  10856  seq1g  10883  seqp1g  10886  seqclg  10892  seqm1g  10894  seqfeq4g  10951  lswwrd  11334  ccatlen  11346  ccatval2  11349  ccatvalfn  11352  ccatalpha  11364  eqs1  11379  swrdlen  11407  swrdfv  11408  swrdwrdsymbg  11419  swrdswrd  11460  absval  11750  climmpt  12049  strnfvnd  13355  imasex  13609  imasival  13610  imasbas  13611  imasplusg  13612  imasmulr  13613  imasaddfnlemg  13618  imasaddvallemg  13619  gzsumfzval  13694  gzsumval2  13697  gzsumsplit1r  13698  gzsumwsubmcl  13784  gzsumcl  13787  grpsubval  13834  mulgval  13908  mulgfng  13910  mulgnngzsum  13913  prdsex  14155  prdsval  14156  prdsbaslemss  14157  prdsbas  14159  prdsplusgfval  14167  prdsmulrfval  14169  pwsplusgval  14191  pwsmulrval  14192  znval  14954  znle  14955  znbaslemnn  14957  znbas  14962  znzrhval  14965  znzrhfo  14966  znleval  14971  iscnp4  15302  cnpnei  15303  uhgrspansubgrlem  16500  wlkvtxiedg  16569  wlkvtxiedgg  16570  wlk1walkdom  16583  wlklenvclwlk  16597  trlsegvdeglem3  16686  trlsegvdeglem5  16688  eupth2lem3fi  16700  depindlem1  16730