Theorem fvexg 5691

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 5024	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4562	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4251	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213  ∪ cuni 3916  ran crn 4752  ‘cfv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-cnv 4759  df-dm 4761  df-rn 4762  df-iota 5314  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  fvex  5692  ovexg  6086  suppval1  6441  suppimacnvfn  6448  suppssrst  6463  suppssrgst  6464  rdgivallem  6614  frecabex  6631  mapsnconst  6931  mapsnend  7054  cc2lem  7585  addvalex  8164  uzennn  10805  seq1g  10832  seqp1g  10835  seqclg  10841  seqm1g  10843  seqfeq4g  10900  lswwrd  11279  ccatlen  11291  ccatval2  11294  ccatvalfn  11297  ccatalpha  11309  eqs1  11324  swrdlen  11352  swrdfv  11353  swrdwrdsymbg  11364  swrdswrd  11405  absval  11694  climmpt  11993  strnfvnd  13253  prdsex  13503  prdsval  13507  prdsbaslemss  13508  prdsbas  13510  prdsplusgfval  13518  prdsmulrfval  13520  pwsplusgval  13529  pwsmulrval  13530  imasex  13539  imasival  13540  imasbas  13541  imasplusg  13542  imasmulr  13543  imasaddfnlemg  13548  imasaddvallemg  13549  gsumfzval  13625  gsumval2  13631  gsumsplit1r  13632  gsumprval  13633  gsumfzz  13729  gsumwsubmcl  13730  gsumfzcl  13733  grpsubval  13780  mulgval  13860  mulgfng  13862  mulgnngsum  13865  znval  14833  znle  14834  znbaslemnn  14836  znbas  14841  znzrhval  14844  znzrhfo  14845  znleval  14850  iscnp4  15132  cnpnei  15133  uhgrspansubgrlem  16320  wlkvtxiedg  16389  wlkvtxiedgg  16390  wlk1walkdom  16403  wlklenvclwlk  16417  trlsegvdeglem3  16506  trlsegvdeglem5  16508  eupth2lem3fi  16520  depindlem1  16550