Theorem fvexg 5622

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5618	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4965	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4507	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4202	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   ⊆ wss 3177  ∪ cuni 3867  ran crn 4697  ‘cfv 5294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-cnv 4704  df-dm 4706  df-rn 4707  df-iota 5254  df-fv 5302

This theorem is referenced by:  fvex  5623  ovexg  6008  rdgivallem  6497  frecabex  6514  mapsnconst  6811  cc2lem  7420  addvalex  7999  uzennn  10625  seq1g  10652  seqp1g  10655  seqclg  10661  seqm1g  10663  seqfeq4g  10720  lswwrd  11084  ccatlen  11096  ccatval2  11099  ccatvalfn  11102  eqs1  11127  swrdlen  11150  swrdfv  11151  swrdwrdsymbg  11162  swrdswrd  11203  absval  11478  climmpt  11777  strnfvnd  13018  prdsex  13268  prdsval  13272  prdsbaslemss  13273  prdsbas  13275  prdsplusgfval  13283  prdsmulrfval  13285  pwsplusgval  13294  pwsmulrval  13295  imasex  13304  imasival  13305  imasbas  13306  imasplusg  13307  imasmulr  13308  imasaddfnlemg  13313  imasaddvallemg  13314  gsumfzval  13390  gsumval2  13396  gsumsplit1r  13397  gsumprval  13398  gsumfzz  13494  gsumwsubmcl  13495  gsumfzcl  13498  grpsubval  13545  mulgval  13625  mulgfng  13627  mulgnngsum  13630  znval  14565  znle  14566  znbaslemnn  14568  znbas  14573  znzrhval  14576  znzrhfo  14577  znleval  14582  iscnp4  14857  cnpnei  14858