Theorem fvexg 5602

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4948	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4490	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4187	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3167  ∪ cuni 3852  ran crn 4680  ‘cfv 5276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-cnv 4687  df-dm 4689  df-rn 4690  df-iota 5237  df-fv 5284

This theorem is referenced by:  fvex  5603  ovexg  5985  rdgivallem  6474  frecabex  6491  mapsnconst  6788  cc2lem  7385  addvalex  7964  uzennn  10588  seq1g  10615  seqp1g  10618  seqclg  10624  seqm1g  10626  seqfeq4g  10683  lswwrd  11047  ccatlen  11059  ccatval2  11062  ccatvalfn  11065  eqs1  11090  swrdlen  11113  swrdfv  11114  swrdwrdsymbg  11125  swrdswrd  11164  absval  11356  climmpt  11655  strnfvnd  12896  prdsex  13145  prdsval  13149  prdsbaslemss  13150  prdsbas  13152  prdsplusgfval  13160  prdsmulrfval  13162  pwsplusgval  13171  pwsmulrval  13172  imasex  13181  imasival  13182  imasbas  13183  imasplusg  13184  imasmulr  13185  imasaddfnlemg  13190  imasaddvallemg  13191  gsumfzval  13267  gsumval2  13273  gsumsplit1r  13274  gsumprval  13275  gsumfzz  13371  gsumwsubmcl  13372  gsumfzcl  13375  grpsubval  13422  mulgval  13502  mulgfng  13504  mulgnngsum  13507  znval  14442  znle  14443  znbaslemnn  14445  znbas  14450  znzrhval  14453  znzrhfo  14454  znleval  14459  iscnp4  14734  cnpnei  14735