Theorem fvexg 5648

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
2		fvssunirng 5644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹)
4		rnexg 4989	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
5		uniexg 4530	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ∪ ran 𝐹 ∈ V)
7		ssexg 4223	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ ran 𝐹 ∧ ∪ ran 𝐹 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∪ cuni 3888  ran crn 4720  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvex  5649  ovexg  6041  rdgivallem  6533  frecabex  6550  mapsnconst  6849  cc2lem  7460  addvalex  8039  uzennn  10666  seq1g  10693  seqp1g  10696  seqclg  10702  seqm1g  10704  seqfeq4g  10761  lswwrd  11126  ccatlen  11138  ccatval2  11141  ccatvalfn  11144  eqs1  11169  swrdlen  11192  swrdfv  11193  swrdwrdsymbg  11204  swrdswrd  11245  absval  11520  climmpt  11819  strnfvnd  13060  prdsex  13310  prdsval  13314  prdsbaslemss  13315  prdsbas  13317  prdsplusgfval  13325  prdsmulrfval  13327  pwsplusgval  13336  pwsmulrval  13337  imasex  13346  imasival  13347  imasbas  13348  imasplusg  13349  imasmulr  13350  imasaddfnlemg  13355  imasaddvallemg  13356  gsumfzval  13432  gsumval2  13438  gsumsplit1r  13439  gsumprval  13440  gsumfzz  13536  gsumwsubmcl  13537  gsumfzcl  13540  grpsubval  13587  mulgval  13667  mulgfng  13669  mulgnngsum  13672  znval  14608  znle  14609  znbaslemnn  14611  znbas  14616  znzrhval  14619  znzrhfo  14620  znleval  14625  iscnp4  14900  cnpnei  14901  wlkvtxiedg  16066  wlkvtxiedgg  16067  wlk1walkdom  16080  wlklenvclwlk  16094