Theorem setsslnid 12581

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsslid.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
setsslnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
setsslnid.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
setsslnid	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsslnid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		setsresg 12567	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
3	1, 2	mp3an2 1336	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
4	3	fveq1d 5543	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
5		setsslid.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
7	6	elexi 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
8		setsslnid.n	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
9		eldifsn 3741	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
10	7, 8, 9	mpbir2an 944	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
11		fvres 5565	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
13		fvres 5565	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
15	4, 12, 14	3eqtr3g 2245	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
16	5	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
17		setsex 12561	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
18	1, 17	mp3an2 1336	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
19	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
20	16, 18, 19	strnfvnd 12549	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
21		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ 𝐴)
22	16, 21, 19	strnfvnd 12549	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
23	15, 20, 22	3eqtr4rd 2233	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  Vcvv 2756   ∖ cdif 3145  {csn 3614  ⟨cop 3617   ↾ cres 4653  ‘cfv 5242  (class class class)co 5904  ℕcn 8960  ndxcnx 12526   sSet csts 12527  Slot cslot 12528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-nul 3442  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-slot 12533  df-sets 12536

This theorem is referenced by:  resseqnbasd  12602  mgpbasg  13315  mgpscag  13316  mgptsetg  13317  mgpdsg  13319  opprsllem  13461  rmodislmod  13710  sralemg  13797  srascag  13801  sravscag  13802  zlmlemg  13972  zlmsca  13976  znbaslemnn  13983  setsmsbasg  14500  setsmsdsg  14501