Theorem setsslnid 13462

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsslid.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
setsslnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
setsslnid.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
setsslnid	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsslnid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		setsresg 13448	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
3	1, 2	mp3an2 1366	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
4	3	fveq1d 5700	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
5		setsslid.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
7	6	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
8		setsslnid.n	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
9		eldifsn 3841	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
10	7, 8, 9	mpbir2an 955	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
11		fvres 5722	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
13		fvres 5722	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
15	4, 12, 14	3eqtr3g 2294	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
16	5	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
17		setsex 13442	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
18	1, 17	mp3an2 1366	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
19	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
20	16, 18, 19	strnfvnd 13430	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
21		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ 𝐴)
22	16, 21, 19	strnfvnd 13430	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
23	15, 20, 22	3eqtr4rd 2282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  {csn 3709  ⟨cop 3712   ↾ cres 4778  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℕcn 9313  ndxcnx 13407   sSet csts 13408  Slot cslot 13409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-slot 13414  df-sets 13417

This theorem is used by:  resseqnbasd  13486  mgpbasg  14331  mgpscag  14333  mgptsetg  14334  mgpdsg  14336  opprsllem  14488  rmodislmod  14797  sralemg  14884  srascag  14888  sravscag  14889  zlmlemg  15072  zlmsca  15076  znbaslemnn  15083  setsmsbasg  15705  setsmsdsg  15706  setsvtx  16497