Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsslnid GIF version

Theorem setsslnid 12085
 Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
setsslid.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
setsslnid.n (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
setsslnid.d 𝐷 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
setsslnid ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslnid
StepHypRef Expression
1 setsslnid.d . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ
2 setsresg 12072 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
31, 2mp3an2 1304 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
43fveq1d 5435 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
5 setsslid.e . . . . . . 7 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
65simpri 112 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
76elexi 2703 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ∈ V
8 setsslnid.n . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
9 eldifsn 3660 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
107, 8, 9mpbir2an 927 . . . 4 (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
11 fvres 5457 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
13 fvres 5457 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
1410, 13ax-mp 5 . . 3 ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
154, 12, 143eqtr3g 2197 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
165simpli 110 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
17 setsex 12066 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
181, 17mp3an2 1304 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
196a1i 9 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2016, 18, 19strnfvnd 12054 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
21 simpl 108 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝑊𝐴)
2216, 21, 19strnfvnd 12054 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
2315, 20, 223eqtr4rd 2185 1 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2310  Vcvv 2691   ∖ cdif 3075  {csn 3534  ⟨cop 3537   ↾ cres 4553  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℕcn 8773  ndxcnx 12031   sSet csts 12032  Slot cslot 12033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-ral 2423  df-rex 2424  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fv 5143  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-slot 12038  df-sets 12041 This theorem is referenced by:  setsmsbasg  12723  setsmsdsg  12724
 Copyright terms: Public domain W3C validator