Theorem setsslnid 13070

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsslid.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
setsslnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
setsslnid.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
setsslnid	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsslnid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		setsresg 13056	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
3	1, 2	mp3an2 1359	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
4	3	fveq1d 5625	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
5		setsslid.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
7	6	elexi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
8		setsslnid.n	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
9		eldifsn 3794	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
10	7, 8, 9	mpbir2an 948	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
11		fvres 5647	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
13		fvres 5647	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
15	4, 12, 14	3eqtr3g 2285	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
16	5	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
17		setsex 13050	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
18	1, 17	mp3an2 1359	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
19	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
20	16, 18, 19	strnfvnd 13038	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
21		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ 𝐴)
22	16, 21, 19	strnfvnd 13038	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
23	15, 20, 22	3eqtr4rd 2273	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799   ∖ cdif 3194  {csn 3666  ⟨cop 3669   ↾ cres 4718  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℕcn 9098  ndxcnx 13015   sSet csts 13016  Slot cslot 13017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-slot 13022  df-sets 13025

This theorem is referenced by:  resseqnbasd  13092  mgpbasg  13875  mgpscag  13876  mgptsetg  13877  mgpdsg  13879  opprsllem  14023  rmodislmod  14300  sralemg  14387  srascag  14391  sravscag  14392  zlmlemg  14577  zlmsca  14581  znbaslemnn  14588  setsmsbasg  15138  setsmsdsg  15139  setsvtx  15837