Theorem setsslnid 13387

Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsslid.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
setsslnid.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
setsslnid.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
setsslnid	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsslnid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		setsresg 13373	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
3	1, 2	mp3an2 1366	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
4	3	fveq1d 5695	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
5		setsslid.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
7	6	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
8		setsslnid.n	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
9		eldifsn 3839	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
10	7, 8, 9	mpbir2an 955	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
11		fvres 5717	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
13		fvres 5717	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
15	4, 12, 14	3eqtr3g 2294	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
16	5	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
17		setsex 13367	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
18	1, 17	mp3an2 1366	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V)
19	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
20	16, 18, 19	strnfvnd 13355	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
21		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ 𝐴)
22	16, 21, 19	strnfvnd 13355	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
23	15, 20, 22	3eqtr4rd 2282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  {csn 3708  ⟨cop 3711   ↾ cres 4774  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℕcn 9287  ndxcnx 13332   sSet csts 13333  Slot cslot 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-slot 13339  df-sets 13342

This theorem is referenced by:  resseqnbasd  13410  mgpbasg  14207  mgpscag  14209  mgptsetg  14210  mgpdsg  14212  opprsllem  14362  rmodislmod  14671  sralemg  14758  srascag  14762  sravscag  14763  zlmlemg  14946  zlmsca  14950  znbaslemnn  14957  setsmsbasg  15563  setsmsdsg  15564  setsvtx  16275