Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | xblss2ps.1 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) |
2 | | xblss2ps.2 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋) |
3 | | xblss2ps.4 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ*) |
4 | | elblps 13184 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))) |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1233 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))) |
6 | 5 | simprbda 381 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
7 | 1 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) |
8 | | xblss2ps.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋) |
9 | 8 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑋) |
10 | | psmetcl 13120 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
11 | 7, 9, 6, 10 | syl3anc 1233 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
12 | 11 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
13 | | xblss2ps.6 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) |
14 | 13 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) |
15 | 14 | rexrd 7969 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈
ℝ*) |
16 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ∈
ℝ*) |
17 | 15, 16 | xaddcld 9841 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈
ℝ*) |
18 | 17 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈
ℝ*) |
19 | | xblss2ps.5 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈
ℝ*) |
20 | 19 | ad2antrr 485 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈
ℝ*) |
21 | 2 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝑋) |
22 | | psmetcl 13120 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
23 | 7, 21, 6, 22 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
24 | 15, 23 | xaddcld 9841 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) ∈
ℝ*) |
25 | | psmettri2 13122 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥))) |
26 | 7, 21, 9, 6, 25 | syl13anc 1235 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥))) |
27 | 5 | simplbda 382 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) |
28 | | xltadd2 9834 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*
∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))) |
29 | 23, 16, 14, 28 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))) |
30 | 27, 29 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)) |
31 | 11, 24, 17, 26, 30 | xrlelttrd 9767 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)) |
32 | 31 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)) |
33 | 19 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑆 ∈
ℝ*) |
34 | 16 | xnegcld 9812 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → -𝑒𝑅 ∈
ℝ*) |
35 | 33, 34 | xaddcld 9841 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
∈ ℝ*) |
36 | | xblss2ps.7 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)) |
37 | 36 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)) |
38 | | xleadd1a 9830 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅))
→ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅)) |
39 | 15, 35, 16, 37, 38 | syl31anc 1236 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅)) |
40 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅)) |
41 | | xnpcan 9829 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 ∈ ℝ)
→ ((𝑆
+𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆) |
42 | 33, 41 | sylan 281 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅) =
𝑆) |
43 | 40, 42 | breqtrd 4015 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ 𝑆) |
44 | 12, 18, 20, 32, 43 | xrltletrd 9768 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) |
45 | 11 | adantr 274 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
46 | 13 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) |
47 | | simpll 524 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝜑) |
48 | | simplr 525 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) |
49 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞) |
50 | 49 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) |
51 | 48, 50 | eleqtrd 2249 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) |
52 | | xblpnfps 13192 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))) |
53 | 1, 2, 52 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))) |
54 | 53 | simplbda 382 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) |
55 | 47, 51, 54 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) |
56 | 46, 55 | readdcld 7949 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ) |
57 | 56 | rexrd 7969 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) ∈
ℝ*) |
58 | | pnfxr 7972 |
. . . . . . . 8
⊢ +∞
∈ ℝ* |
59 | 58 | a1i 9 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → +∞ ∈
ℝ*) |
60 | 1 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) |
61 | 2 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑃 ∈ 𝑋) |
62 | 8 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑄 ∈ 𝑋) |
63 | 6 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
64 | 60, 61, 62, 63, 25 | syl13anc 1235 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥))) |
65 | 46, 55 | rexaddd 9811 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) = ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥))) |
66 | 64, 65 | breqtrd 4015 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥))) |
67 | | ltpnf 9737 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) < +∞) |
68 | 56, 67 | syl 14 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) + (𝑃𝐷𝑥)) < +∞) |
69 | 45, 57, 59, 66, 68 | xrlelttrd 9767 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) < +∞) |
70 | 19 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 ∈
ℝ*) |
71 | | xrpnfdc 9799 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑆 ∈ ℝ*
→ DECID 𝑆 = +∞) |
72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → DECID
𝑆 =
+∞) |
73 | | 0xr 7966 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
ℝ* |
74 | 73 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ∈
ℝ*) |
75 | | psmetge0 13125 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄)) |
76 | 7, 21, 9, 75 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄)) |
77 | 74, 15, 35, 76, 37 | xrletrd 9769 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)) |
78 | | ge0nemnf 9781 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅))
→ (𝑆
+𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞) |
79 | 35, 77, 78 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
≠ -∞) |
80 | 79 | adantr 274 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
≠ -∞) |
81 | | xaddmnf1 9805 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ*
∧ 𝑆 ≠ +∞)
→ (𝑆
+𝑒 -∞) = -∞) |
82 | 81 | ex 114 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑆 ∈ ℝ*
→ (𝑆 ≠ +∞
→ (𝑆
+𝑒 -∞) = -∞)) |
83 | 70, 82 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -∞) =
-∞)) |
84 | | xnegeq 9784 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑅 = +∞ →
-𝑒𝑅 =
-𝑒+∞) |
85 | 49, 84 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) →
-𝑒𝑅 =
-𝑒+∞) |
86 | | xnegpnf 9785 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
-𝑒+∞ = -∞ |
87 | 85, 86 | eqtrdi 2219 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) →
-𝑒𝑅 =
-∞) |
88 | 87 | oveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
(𝑆 +𝑒
-∞)) |
89 | 88 | eqeq1d 2179 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
-∞ ↔ (𝑆
+𝑒 -∞) = -∞)) |
90 | 83, 89 | sylibrd 168 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
-∞)) |
91 | 90 | a1d 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (DECID
𝑆 = +∞ → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
-∞))) |
92 | 91 | necon1ddc 2418 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (DECID
𝑆 = +∞ → ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
≠ -∞ → 𝑆 =
+∞))) |
93 | 72, 80, 92 | mp2d 47 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 = +∞) |
94 | 69, 93 | breqtrrd 4017 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) |
95 | | psmetge0 13125 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) |
96 | 7, 21, 6, 95 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) |
97 | 74, 23, 16, 96, 27 | xrlelttrd 9767 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 < 𝑅) |
98 | 74, 16, 97 | xrltled 9756 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ 𝑅) |
99 | | ge0nemnf 9781 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ*
∧ 0 ≤ 𝑅) →
𝑅 ≠
-∞) |
100 | 16, 98, 99 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ≠ -∞) |
101 | 16, 100 | jca 304 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠
-∞)) |
102 | | xrnemnf 9734 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 ≠ -∞)
↔ (𝑅 ∈ ℝ
∨ 𝑅 =
+∞)) |
103 | 101, 102 | sylib 121 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞)) |
104 | 44, 94, 103 | mpjaodan 793 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) |
105 | | elblps 13184 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))) |
106 | 7, 9, 33, 105 | syl3anc 1233 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))) |
107 | 6, 104, 106 | mpbir2and 939 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) |
108 | 107 | ex 114 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))) |
109 | 108 | ssrdv 3153 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) |