Theorem blhalf 14587

Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blhalf	⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simplr 528	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
3		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))
4		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 9232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 8071	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7		elbl 14570	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2)))
10	9	simpld 112	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 14531	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
13	9	simprd 114	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))
14	12, 6, 13	xrltled 9868	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2))
15	5	recnd 8050	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
16	15, 15	pncand 8333	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) − (𝑅 / 2)) = (𝑅 / 2))
17	4	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
18	17	2halvesd 9231	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
19	18	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) − (𝑅 / 2)) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
20	16, 19	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
21	14, 20	breqtrd 4056	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))
22		blss2 14586	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
23	1, 2, 10, 5, 4, 21, 22	syl33anc 1264	1 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873   + caddc 7877  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192   / cdiv 8693  2c2 9035  ∞Metcxmet 14035  ballcbl 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-bl 14045

This theorem is referenced by: (None)