Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blhalf GIF version

Theorem blhalf 12614
 Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simplr 520 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑌𝑋)
3 simprr 522 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))
4 simprl 521 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
54rehalfcld 8989 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
65rexrd 7838 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7 elbl 12597 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
81, 2, 6, 7syl3anc 1217 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
93, 8mpbid 146 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2)))
109simpld 111 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍𝑋)
11 xmetcl 12558 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
121, 2, 10, 11syl3anc 1217 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
139simprd 113 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))
1412, 6, 13xrltled 9614 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2))
155recnd 7817 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
1615, 15pncand 8097 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) − (𝑅 / 2)) = (𝑅 / 2))
174recnd 7817 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
18172halvesd 8988 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
1918oveq1d 5796 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) − (𝑅 / 2)) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
2016, 19eqtr3d 2175 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
2114, 20breqtrd 3961 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))
22 blss2 12613 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
231, 2, 10, 5, 4, 21, 22syl33anc 1232 1 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3075   class class class wbr 3936  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℝcr 7642   + caddc 7646  ℝ*cxr 7822   < clt 7823   ≤ cle 7824   − cmin 7956   / cdiv 8455  2c2 8794  ∞Metcxmet 12186  ballcbl 12188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-2 8802  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-bl 12196 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator