ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blhalf GIF version
Theorem blhalf 13947
Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) βŠ† (𝑍(ballβ€˜π‘€)𝑅))
Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simplr 528 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
3 simprr 531 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))
4 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
54rehalfcld 9167 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
65rexrd 8009 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7 elbl 13930 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2))))
81, 2, 6, 7syl3anc 1238 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2))))
93, 8mpbid 147 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2)))
109simpld 112 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
11 xmetcl 13891 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ∈ ℝ*)
121, 2, 10, 11syl3anc 1238 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ∈ ℝ*)
139simprd 114 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2))
1412, 6, 13xrltled 9801 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ≀ (𝑅 / 2))
155recnd 7988 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) ∈ β„‚)
1615, 15pncand 8271 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) βˆ’ (𝑅 / 2)) = (𝑅 / 2))
174recnd 7988 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
18172halvesd 9166 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
1918oveq1d 5892 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) βˆ’ (𝑅 / 2)) = (𝑅 βˆ’ (𝑅 / 2)))
2016, 19eqtr3d 2212 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) = (𝑅 βˆ’ (𝑅 / 2)))
2114, 20breqtrd 4031 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ≀ (𝑅 βˆ’ (𝑅 / 2)))
22 blss2 13946 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (π‘Œπ‘€π‘) ≀ (𝑅 βˆ’ (𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) βŠ† (𝑍(ballβ€˜π‘€)𝑅))
231, 2, 10, 5, 4, 21, 22syl33anc 1253 1 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) βŠ† (𝑍(ballβ€˜π‘€)𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3131   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„cr 7812   + caddc 7816  β„*cxr 7993   < clt 7994   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  2c2 8972  βˆžMetcxmet 13479  ballcbl 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-bl 13489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator