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Theorem xblss2 13908
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 13910 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else 𝑃 will not even be in the infinity ball around 𝑄. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xblss2.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
xblss2.3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
xblss2.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
xblss2.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
xblss2.6 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
xblss2.7 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
Assertion
Ref Expression
xblss2 (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
Proof of Theorem xblss2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xblss2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
3 xblss2.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
4 elbl 13894 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
65simprbda 383 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
71adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 xblss2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
98adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
10 xmetcl 13855 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
117, 9, 6, 10syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
1211adantr 276 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
13 xblss2.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1413adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1514rexrd 8007 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
163adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1715, 16xaddcld 9884 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
1817adantr 276 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
19 xblss2.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
2019ad2antrr 488 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
212adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
22 xmetcl 13855 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
237, 21, 6, 22syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2415, 23xaddcld 9884 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
25 xmettri2 13864 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1240 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
275simplbda 384 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)
28 xltadd2 9877 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
2923, 16, 14, 28syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
3027, 29mpbid 147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 9810 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3231adantr 276 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3319adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
3416xnegcld 9855 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ -𝑒𝑅 ∈ ℝ*)
3533, 34xaddcld 9884 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ*)
36 xblss2.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
3736adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
38 xleadd1a 9873 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
4039adantr 276 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
41 xnpcan 9872 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4233, 41sylan 283 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4340, 42breqtrd 4030 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ 𝑆)
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 9811 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
4527adantr 276 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)
4636ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
4719ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
48 xrpnfdc 9842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ ℝ* β†’ DECID 𝑆 = +∞)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ DECID 𝑆 = +∞)
50 0xr 8004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
5150a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
52 xmetge0 13868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
537, 21, 9, 52syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
5451, 15, 35, 53, 37xrletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
55 ge0nemnf 9824 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
5635, 54, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
5756adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
58 xaddmnf1 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞)
5958ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ ℝ* β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
6047, 59syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑅 = +∞)
62 xnegeq 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 = +∞ β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
6361, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
64 xnegpnf 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -𝑒+∞ = -∞
6563, 64eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -∞)
6665oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 +𝑒 -∞))
6766eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞ ↔ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
6860, 67sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞))
6968a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (DECID 𝑆 = +∞ β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞)))
7069necon1ddc 2425 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (DECID 𝑆 = +∞ β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞ β†’ 𝑆 = +∞)))
7149, 57, 70mp2d 47 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 = +∞)
7271, 65oveq12d 5893 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (+∞ +𝑒 -∞))
73 pnfaddmnf 9850 . . . . . . . . . 10 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
7472, 73eqtrdi 2226 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = 0)
7546, 74breqtrd 4030 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ 0)
7653biantrud 304 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))))
77 xrletri3 9804 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))))
7815, 50, 77sylancl 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))))
79 xmeteq0 13862 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
807, 21, 9, 79syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
8176, 78, 803bitr2d 216 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
8281adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
8375, 82mpbid 147 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑃 = 𝑄)
8483oveq1d 5890 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷π‘₯))
8561, 71eqtr4d 2213 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑅 = 𝑆)
8645, 84, 853brtr3d 4035 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
87 xmetge0 13868 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
887, 21, 6, 87syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
8951, 23, 16, 88, 27xrlelttrd 9810 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 < 𝑅)
9051, 16, 89xrltled 9799 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
91 ge0nemnf 9824 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
9216, 90, 91syl2anc 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
9316, 92jca 306 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞))
94 xrnemnf 9777 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
9593, 94sylib 122 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
9644, 86, 95mpjaodan 798 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
97 elbl 13894 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
987, 9, 33, 97syl3anc 1238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
996, 96, 98mpbir2and 944 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
10099ex 115 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
101100ssrdv 3162 1 (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„cr 7810  0cc0 7811  +∞cpnf 7989  -∞cmnf 7990  β„*cxr 7991   < clt 7992   ≀ cle 7993  -𝑒cxne 9769   +𝑒 cxad 9770  βˆžMetcxmet 13443  ballcbl 13445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-2 8978  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-bl 13453
This theorem is referenced by:  blss2  13910  ssbl  13929
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