Theorem 0sdom 9147

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
0sdom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0sdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0sdomg 9144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ≺ csdm 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988

This theorem is referenced by:  1sdom2  9276  sdom1  9278  sdom1OLD  9279  marypha1lem  9473  konigthlem  10608  pwcfsdom  10623  cfpwsdom  10624  rankcf  10817  r1tskina  10822  1stcfb  23453  snct  32725  sigapildsys  34163  modelaxreplem1  44995