Theorem 0sdom 9028

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
0sdom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0sdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0sdomg 9026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437  ∅c0 4282   class class class wbr 5093   ≺ csdm 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878

This theorem is referenced by:  1sdom2  9139  sdom1  9141  marypha1lem  9324  konigthlem  10466  pwcfsdom  10481  cfpwsdom  10482  rankcf  10675  r1tskina  10680  1stcfb  23361  snct  32699  sigapildsys  34196  modelaxreplem1  45095