Theorem 0sdom 9120

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
0sdom	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0sdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0sdomg 9118	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ≺ csdm 8965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969

This theorem is used by:  1sdom2  9232  sdom1  9234  marypha1lem  9418  konigthlem  10646  pwcfsdom  10661  cfpwsdom  10662  rankcf  10855  r1tskina  10860  1stcfb  23756  snct  33298  sigapildsys  34788  modelaxreplem1  45946