MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sdom 9107
Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
0sdom.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
0sdom (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0sdom
StepHypRef Expression
1 0sdom.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 0sdomg 9104 . 2 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
31, 2ax-mp 5 1 (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  c0 4323   class class class wbr 5149  csdm 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942
This theorem is referenced by:  1sdom2  9240  sdom1  9242  sdom1OLD  9243  marypha1lem  9428  konigthlem  10563  pwcfsdom  10578  cfpwsdom  10579  rankcf  10772  r1tskina  10777  1stcfb  22949  snct  31938  sigapildsys  33160
  Copyright terms: Public domain W3C validator