Theorem 0sdomg 9100

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5362, ax-un 7721. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 9096	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2		brsdom 8967	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
3	2	baib 536	. . 3 ⊢ (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5		en0r 9012	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
6	5	necon3bbii 2988	. 2 ⊢ (¬ ∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
7	4, 6	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933   ≺ csdm 8934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938

This theorem is referenced by:  0sdom  9103  fodomr  9124  pwdom  9125  0sdom1dom  9234  sdom1OLD  9239  1sdom2dom  9243  infn0ALT  9304  fodomfib  9322  domwdom  9565  iunfictbso  10105  djulepw  10183  fin45  10383  fodomb  10517  brdom3  10519  gchxpidm  10660  inar1  10766  csdfil  23389  ovoliunnul  25015  carsgclctunlem3  33307  domalom  36273  ovoliunnfl  36518  voliunnfl  36520  volsupnfl  36521  sdomne0  42149  sdomne0d  42150  ensucne0OLD  42266  nnfoctb  43719  caragenunicl  45226