Theorem 0sdomg 9095

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5338, ax-un 7734. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 9093	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2		brsdom 8972	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
3	2	baib 544	. . 3 ⊢ (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5		en0r 9018	. . 3 ⊢ (∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
6	5	necon3bbii 3005	. 2 ⊢ (¬ ∅ ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
7	4, 6	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287   class class class wbr 5110   ≈ cen 8941   ≼ cdom 8942   ≺ csdm 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947

This theorem is referenced by:  0sdom  9097  fodomr  9117  pwdom  9118  0sdom1dom  9207  1sdom2dom  9215  infn0ALT  9264  fodomfir  9288  fodomfib  9289  domwdom  9537  iunfictbso  10099  djulepw  10177  fin45  10377  fodomb  10511  brdom3  10513  gchxpidm  10655  inar1  10761  csdfil  24032  ovoliunnul  25647  carsgclctunlem3  34688  domalom  38028  ovoliunnfl  38291  voliunnfl  38293  volsupnfl  38294  sdomne0  44119  sdomne0d  44120  ensucne0OLD  44236  nnfoctb  45748  caragenunicl  47218