MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sdomg 9104
Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5364, ax-un 7725. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
0sdomg (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomg
StepHypRef Expression
1 0domg 9100 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2 brsdom 8971 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
32baib 537 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
41, 3syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5 en0r 9016 . . 3 (∅ ≈ 𝐴𝐴 = ∅)
65necon3bbii 2989 . 2 (¬ ∅ ≈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
74, 6bitrdi 287 1 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wcel 2107  wne 2941  c0 4323   class class class wbr 5149  cen 8936  cdom 8937  csdm 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942
This theorem is referenced by:  0sdom  9107  fodomr  9128  pwdom  9129  0sdom1dom  9238  sdom1OLD  9243  1sdom2dom  9247  infn0ALT  9308  fodomfib  9326  domwdom  9569  iunfictbso  10109  djulepw  10187  fin45  10387  fodomb  10521  brdom3  10523  gchxpidm  10664  inar1  10770  csdfil  23398  ovoliunnul  25024  carsgclctunlem3  33319  domalom  36285  ovoliunnfl  36530  voliunnfl  36532  volsupnfl  36533  sdomne0  42164  sdomne0d  42165  ensucne0OLD  42281  nnfoctb  43734  caragenunicl  45240
  Copyright terms: Public domain W3C validator