MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sdomg 9055
Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5325, ax-un 7677. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
0sdomg (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomg
StepHypRef Expression
1 0domg 9051 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2 brsdom 8922 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
32baib 537 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
41, 3syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5 en0r 8967 . . 3 (∅ ≈ 𝐴𝐴 = ∅)
65necon3bbii 2992 . 2 (¬ ∅ ≈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
74, 6bitrdi 287 1 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wcel 2107  wne 2944  c0 4287   class class class wbr 5110  cen 8887  cdom 8888  csdm 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893
This theorem is referenced by:  0sdom  9058  fodomr  9079  pwdom  9080  0sdom1dom  9189  sdom1OLD  9194  1sdom2dom  9198  infn0ALT  9259  fodomfib  9277  domwdom  9517  iunfictbso  10057  djulepw  10135  fin45  10335  fodomb  10469  brdom3  10471  gchxpidm  10612  inar1  10718  csdfil  23261  ovoliunnul  24887  carsgclctunlem3  32960  domalom  35904  ovoliunnfl  36149  voliunnfl  36151  volsupnfl  36152  sdomne0  41759  sdomne0d  41760  ensucne0OLD  41876  nnfoctb  43329  caragenunicl  44839
  Copyright terms: Public domain W3C validator