MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 9248
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) Avoid ax-pow 5363, ax-un 7729. (Revised by BTernaryTau, 12-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 8479 . . . . . . 7 1o = {∅}
21breq2i 5156 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 1o𝐴 ≼ {∅})
3 brdomi 8960 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ {∅} → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→{∅})
4 f1cdmsn 7283 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
5 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
65ensn1 9023 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ≈ 1o
7 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥} → (𝐴 ≈ 1o ↔ {𝑥} ≈ 1o))
86, 7mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 ≈ 1o)
98exlimiv 1932 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 𝐴 ≈ 1o)
104, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 1o)
1110expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴1-1→{∅} → 𝐴 ≈ 1o))
1211exlimdv 1935 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→{∅} → 𝐴 ≈ 1o))
133, 12syl5 34 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ≼ {∅} → 𝐴 ≈ 1o))
142, 13biimtrid 241 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ≼ 1o𝐴 ≈ 1o))
15 iman 401 . . . . 5 ((𝐴 ≼ 1o𝐴 ≈ 1o) ↔ ¬ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
1614, 15sylib 217 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
17 brsdom 8977 . . . 4 (𝐴 ≺ 1o ↔ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
1816, 17sylnibr 329 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
1918necon4ai 2971 . 2 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
20 1n0 8494 . . . 4 1o ≠ ∅
21 1oex 8482 . . . . 5 1o ∈ V
22210sdom 9113 . . . 4 (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
2320, 22mpbir 230 . . 3 ∅ ≺ 1o
24 breq1 5151 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
2523, 24mpbiri 258 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
2619, 25impbii 208 1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wne 2939  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  1-1wf1 6540  1oc1o 8465  cen 8942  cdom 8943  csdm 8944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8472  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948
This theorem is referenced by:  modom  9250  frgpcyg  21439
  Copyright terms: Public domain W3C validator