MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 8512
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
StepHypRef Expression
1 domnsym 8438 . . . . 5 (1o𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
21con2i 137 . . . 4 (𝐴 ≺ 1o → ¬ 1o𝐴)
3 0sdom1dom 8510 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
42, 3sylnibr 321 . . 3 (𝐴 ≺ 1o → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5 relsdom 8312 . . . . 5 Rel ≺
65brrelex1i 5455 . . . 4 (𝐴 ≺ 1o𝐴 ∈ V)
7 0sdomg 8441 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
87necon2bbid 3005 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
96, 8syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 1o → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
104, 9mpbird 249 . 2 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
11 1n0 7920 . . . 4 1o ≠ ∅
12 1oex 7912 . . . . 5 1o ∈ V
13120sdom 8443 . . . 4 (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
1411, 13mpbir 223 . . 3 ∅ ≺ 1o
15 breq1 4929 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
1614, 15mpbiri 250 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
1710, 16impbii 201 1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2962  Vcvv 3410  c0 4173   class class class wbr 4926  1oc1o 7897  cdom 8303  csdm 8304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-om 7396  df-1o 7904  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308
This theorem is referenced by:  modom  8513  frgpcyg  20438
  Copyright terms: Public domain W3C validator