Theorem sdom1 8854

Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sdom1	⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 8750	. . . . 5 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
2	1	con2i 141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ 1o ≼ 𝐴)
3		0sdom1dom 8852	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
4	2, 3	sylnibr 332	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5		relsdom 8611	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
6	5	brrelex1i 5590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 ∈ V)
7		0sdomg 8753	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	necon2bbid 2975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 = ∅)
11		1n0 8199	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
12		1oex 8193	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
13	12	0sdom 8755	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
14	11, 13	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 1o
15		breq1 5042	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
16	14, 15	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
17	10, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  Vcvv 3398  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  1_oc1o 8173   ≼ cdom 8602   ≺ csdm 8603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7623  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607

This theorem is referenced by:  modom  8855  frgpcyg  20492