MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 8706
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
StepHypRef Expression
1 domnsym 8631 . . . . 5 (1o𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
21con2i 141 . . . 4 (𝐴 ≺ 1o → ¬ 1o𝐴)
3 0sdom1dom 8704 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
42, 3sylnibr 332 . . 3 (𝐴 ≺ 1o → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5 relsdom 8503 . . . . 5 Rel ≺
65brrelex1i 5576 . . . 4 (𝐴 ≺ 1o𝐴 ∈ V)
7 0sdomg 8634 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
87necon2bbid 3033 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
96, 8syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 1o → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
104, 9mpbird 260 . 2 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
11 1n0 8106 . . . 4 1o ≠ ∅
12 1oex 8097 . . . . 5 1o ∈ V
13120sdom 8636 . . . 4 (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
1411, 13mpbir 234 . . 3 ∅ ≺ 1o
15 breq1 5036 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
1614, 15mpbiri 261 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
1710, 16impbii 212 1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  c0 4246   class class class wbr 5033  1oc1o 8082  cdom 8494  csdm 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499
This theorem is referenced by:  modom  8707  frgpcyg  20268
  Copyright terms: Public domain W3C validator