MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 9193
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) Avoid ax-pow 5325, ax-un 7677. (Revised by BTernaryTau, 12-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 8424 . . . . . . 7 1o = {∅}
21breq2i 5118 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 1o𝐴 ≼ {∅})
3 brdomi 8905 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ {∅} → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→{∅})
4 f1cdmsn 7233 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
5 vex 3452 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
65ensn1 8968 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ≈ 1o
7 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥} → (𝐴 ≈ 1o ↔ {𝑥} ≈ 1o))
86, 7mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 ≈ 1o)
98exlimiv 1934 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 𝐴 ≈ 1o)
104, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 1o)
1110expcom 415 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴1-1→{∅} → 𝐴 ≈ 1o))
1211exlimdv 1937 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→{∅} → 𝐴 ≈ 1o))
133, 12syl5 34 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ≼ {∅} → 𝐴 ≈ 1o))
142, 13biimtrid 241 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ≼ 1o𝐴 ≈ 1o))
15 iman 403 . . . . 5 ((𝐴 ≼ 1o𝐴 ≈ 1o) ↔ ¬ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
1614, 15sylib 217 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
17 brsdom 8922 . . . 4 (𝐴 ≺ 1o ↔ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
1816, 17sylnibr 329 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
1918necon4ai 2976 . 2 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
20 1n0 8439 . . . 4 1o ≠ ∅
21 1oex 8427 . . . . 5 1o ∈ V
22210sdom 9058 . . . 4 (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
2320, 22mpbir 230 . . 3 ∅ ≺ 1o
24 breq1 5113 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
2523, 24mpbiri 258 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
2619, 25impbii 208 1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wne 2944  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  1-1wf1 6498  1oc1o 8410  cen 8887  cdom 8888  csdm 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-1o 8417  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893
This theorem is referenced by:  modom  9195  frgpcyg  20996
  Copyright terms: Public domain W3C validator