MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 9276
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) Avoid ax-pow 5371, ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 12-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 8512 . . . . . . 7 1o = {∅}
21breq2i 5156 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 1o𝐴 ≼ {∅})
3 brdomi 8998 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ {∅} → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→{∅})
4 f1cdmsn 7302 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
5 vex 3482 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
65ensn1 9060 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ≈ 1o
7 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥} → (𝐴 ≈ 1o ↔ {𝑥} ≈ 1o))
86, 7mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = {𝑥} → 𝐴 ≈ 1o)
98exlimiv 1928 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 𝐴 ≈ 1o)
104, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 1o)
1110expcom 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴1-1→{∅} → 𝐴 ≈ 1o))
1211exlimdv 1931 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→{∅} → 𝐴 ≈ 1o))
133, 12syl5 34 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ≼ {∅} → 𝐴 ≈ 1o))
142, 13biimtrid 242 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ≼ 1o𝐴 ≈ 1o))
15 iman 401 . . . . 5 ((𝐴 ≼ 1o𝐴 ≈ 1o) ↔ ¬ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
1614, 15sylib 218 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
17 brsdom 9014 . . . 4 (𝐴 ≺ 1o ↔ (𝐴 ≼ 1o ∧ ¬ 𝐴 ≈ 1o))
1816, 17sylnibr 329 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
1918necon4ai 2970 . 2 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
20 1n0 8525 . . . 4 1o ≠ ∅
21 1oex 8515 . . . . 5 1o ∈ V
22210sdom 9146 . . . 4 (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
2320, 22mpbir 231 . . 3 ∅ ≺ 1o
24 breq1 5151 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
2523, 24mpbiri 258 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
2619, 25impbii 209 1 (𝐴 ≺ 1o𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wne 2938  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  1-1wf1 6560  1oc1o 8498  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987
This theorem is referenced by:  modom  9278  frgpcyg  21610
  Copyright terms: Public domain W3C validator