MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigthlem 10608
Description: Lemma for konigth 10609. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
konigth.1 𝐴 ∈ V
konigth.2 𝑆 = 𝑖𝐴 (𝑀𝑖)
konigth.3 𝑃 = X𝑖𝐴 (𝑁𝑖)
konigth.4 𝐷 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
konigth.5 𝐸 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑒𝑖))
Assertion
Ref Expression
konigthlem (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → 𝑆𝑃)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑒,𝑓,𝑖   𝐷,𝑎,𝑒   𝐸,𝑎,𝑖   𝑀,𝑎,𝑓   𝑁,𝑎,𝑒,𝑓   𝑃,𝑎,𝑒,𝑓   𝑆,𝑎,𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐸(𝑒,𝑓)   𝑀(𝑒,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem konigthlem
StepHypRef Expression
1 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑖) ∈ V
2 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑎)‘𝑖) ∈ V
3 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) = (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))
42, 3fnmpti 6711 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) Fn (𝑀𝑖)
51mptex 7243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) ∈ V
6 konigth.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
76fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) ∈ V) → (𝐷𝑖) = (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
85, 7mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑖𝐴 → (𝐷𝑖) = (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
98fneq1d 6661 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝐴 → ((𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖) ↔ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) Fn (𝑀𝑖)))
104, 9mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑖𝐴 → (𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖))
11 fnrndomg 10576 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑖) ∈ V → ((𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖) → ran (𝐷𝑖) ≼ (𝑀𝑖)))
121, 10, 11mpsyl 68 . . . . . . . 8 (𝑖𝐴 → ran (𝐷𝑖) ≼ (𝑀𝑖))
13 domsdomtr 9152 . . . . . . . 8 ((ran (𝐷𝑖) ≼ (𝑀𝑖) ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ran (𝐷𝑖) ≺ (𝑁𝑖))
1412, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ran (𝐷𝑖) ≺ (𝑁𝑖))
15 sdomdif 9165 . . . . . . 7 (ran (𝐷𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅)
1716ralimiaa 3082 . . . . 5 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∀𝑖𝐴 ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅)
18 konigth.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
19 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝑁𝑖) ∈ V
2019difexi 5330 . . . . . 6 ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∈ V
2118, 20ac6c5 10522 . . . . 5 (∀𝑖𝐴 ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅ → ∃𝑒𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)))
22 equid 2011 . . . . . . 7 𝑓 = 𝑓
23 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑒𝑖) ∈ (𝑁𝑖))
24 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒𝑖) ∈ V
25 konigth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑒𝑖))
2625fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑒𝑖) ∈ V) → (𝐸𝑖) = (𝑒𝑖))
2724, 26mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝐴 → (𝐸𝑖) = (𝑒𝑖))
2827eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝐴 → ((𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖) ↔ (𝑒𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
2923, 28imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝐴 → ((𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
3029ralimia 3080 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ∀𝑖𝐴 (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖))
3124, 25fnmpti 6711 . . . . . . . . . . 11 𝐸 Fn 𝐴
3230, 31jctil 519 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
3318mptex 7243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝐴 ↦ (𝑒𝑖)) ∈ V
3425, 33eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝐸 ∈ V
3534elixp 8944 . . . . . . . . . 10 (𝐸X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ↔ (𝐸 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
3632, 35sylibr 234 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → 𝐸X𝑖𝐴 (𝑁𝑖))
37 konigth.3 . . . . . . . . 9 𝑃 = X𝑖𝐴 (𝑁𝑖)
3836, 37eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → 𝐸𝑃)
39 foelrn 7127 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝑆onto𝑃𝐸𝑃) → ∃𝑎𝑆 𝐸 = (𝑓𝑎))
4039expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑃 → (𝑓:𝑆onto𝑃 → ∃𝑎𝑆 𝐸 = (𝑓𝑎)))
41 konigth.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = 𝑖𝐴 (𝑀𝑖)
4241eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆𝑎 𝑖𝐴 (𝑀𝑖))
43 eliun 4995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ↔ ∃𝑖𝐴 𝑎 ∈ (𝑀𝑖))
4442, 43bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 ↔ ∃𝑖𝐴 𝑎 ∈ (𝑀𝑖))
45 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖))
46 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖 𝐸 = (𝑓𝑎)
4745, 46nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖(∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎))
48 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ¬ 𝑓 = 𝑓
4927ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝐸𝑖) = (𝑒𝑖))
50 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐸 = (𝑓𝑎) → (𝐸𝑖) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
518fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝐴 → ((𝐷𝑖)‘𝑎) = ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))‘𝑎))
523fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ∧ ((𝑓𝑎)‘𝑖) ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))‘𝑎) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
532, 52mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) → ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))‘𝑎) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
5451, 53sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
5554eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝑓𝑎)‘𝑖) = ((𝐷𝑖)‘𝑎))
5650, 55sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝐸𝑖) = ((𝐷𝑖)‘𝑎))
5749, 56eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝑒𝑖) = ((𝐷𝑖)‘𝑎))
58 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) ∈ ran (𝐷𝑖))
5910, 58sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) ∈ ran (𝐷𝑖))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) ∈ ran (𝐷𝑖))
6157, 60eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
62613adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
63 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)))
64 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → 𝑖𝐴)
65 rsp 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑖𝐴 → (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖))))
66 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ¬ (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
6765, 66syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑖𝐴 → ¬ (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖)))
6863, 64, 67sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ¬ (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
6962, 68pm2.21dd 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ¬ 𝑓 = 𝑓)
70693expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7170expd 415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → (𝑖𝐴 → (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7247, 48, 71rexlimd 3266 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → (∃𝑖𝐴 𝑎 ∈ (𝑀𝑖) → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7344, 72biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → (𝑎𝑆 → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7473ex 412 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸 = (𝑓𝑎) → (𝑎𝑆 → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7574com23 86 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑎𝑆 → (𝐸 = (𝑓𝑎) → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7675rexlimdv 3153 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (∃𝑎𝑆 𝐸 = (𝑓𝑎) → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7740, 76syl9r 78 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸𝑃 → (𝑓:𝑆onto𝑃 → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7838, 77mpd 15 . . . . . . 7 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑓:𝑆onto𝑃 → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7922, 78mt2i 137 . . . . . 6 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ¬ 𝑓:𝑆onto𝑃)
8079exlimiv 1930 . . . . 5 (∃𝑒𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ¬ 𝑓:𝑆onto𝑃)
8117, 21, 803syl 18 . . . 4 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ¬ 𝑓:𝑆onto𝑃)
8281nexdv 1936 . . 3 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝑆onto𝑃)
8310dom 9146 . . . . . . . 8 ∅ ≼ (𝑀𝑖)
84 domsdomtr 9152 . . . . . . . 8 ((∅ ≼ (𝑀𝑖) ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ∅ ≺ (𝑁𝑖))
8583, 84mpan 690 . . . . . . 7 ((𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∅ ≺ (𝑁𝑖))
86190sdom 9147 . . . . . . 7 (∅ ≺ (𝑁𝑖) ↔ (𝑁𝑖) ≠ ∅)
8785, 86sylib 218 . . . . . 6 ((𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → (𝑁𝑖) ≠ ∅)
8887ralimi 3083 . . . . 5 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
8937neeq1i 3005 . . . . . 6 (𝑃 ≠ ∅ ↔ X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
9019rgenw 3065 . . . . . . . . 9 𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V
91 ixpexg 8962 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V → X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V)
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . 8 X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V
9337, 92eqeltri 2837 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
94930sdom 9147 . . . . . 6 (∅ ≺ 𝑃𝑃 ≠ ∅)
9518, 19ac9 10523 . . . . . 6 (∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅ ↔ X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
9689, 94, 953bitr4i 303 . . . . 5 (∅ ≺ 𝑃 ↔ ∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
9788, 96sylibr 234 . . . 4 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∅ ≺ 𝑃)
9818, 1iunex 7993 . . . . . . 7 𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ∈ V
9941, 98eqeltri 2837 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
100 domtri 10596 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑃𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑃))
10193, 99, 100mp2an 692 . . . . 5 (𝑃𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑃)
102101biimpri 228 . . . 4 𝑆𝑃𝑃𝑆)
103 fodomr 9168 . . . 4 ((∅ ≺ 𝑃𝑃𝑆) → ∃𝑓 𝑓:𝑆onto𝑃)
10497, 102, 103syl2an 596 . . 3 ((∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) ∧ ¬ 𝑆𝑃) → ∃𝑓 𝑓:𝑆onto𝑃)
10582, 104mtand 816 . 2 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ¬ ¬ 𝑆𝑃)
106105notnotrd 133 1 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → 𝑆𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686   Fn wfn 6556  ontowfo 6559  cfv 6561  Xcixp 8937  cdom 8983  csdm 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156
This theorem is referenced by:  konigth  10609
  Copyright terms: Public domain W3C validator