MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigthlem 10563
Description: Lemma for konigth 10564. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
konigth.1 𝐴 ∈ V
konigth.2 𝑆 = 𝑖𝐴 (𝑀𝑖)
konigth.3 𝑃 = X𝑖𝐴 (𝑁𝑖)
konigth.4 𝐷 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
konigth.5 𝐸 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑒𝑖))
Assertion
Ref Expression
konigthlem (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → 𝑆𝑃)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑒,𝑓,𝑖   𝐷,𝑎,𝑒   𝐸,𝑎,𝑖   𝑀,𝑎,𝑓   𝑁,𝑎,𝑒,𝑓   𝑃,𝑎,𝑒,𝑓   𝑆,𝑎,𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐸(𝑒,𝑓)   𝑀(𝑒,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem konigthlem
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑖) ∈ V
2 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑎)‘𝑖) ∈ V
3 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) = (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))
42, 3fnmpti 6694 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) Fn (𝑀𝑖)
51mptex 7225 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) ∈ V
6 konigth.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
76fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) ∈ V) → (𝐷𝑖) = (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
85, 7mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑖𝐴 → (𝐷𝑖) = (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)))
98fneq1d 6643 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝐴 → ((𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖) ↔ (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖)) Fn (𝑀𝑖)))
104, 9mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑖𝐴 → (𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖))
11 fnrndomg 10531 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑖) ∈ V → ((𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖) → ran (𝐷𝑖) ≼ (𝑀𝑖)))
121, 10, 11mpsyl 68 . . . . . . . 8 (𝑖𝐴 → ran (𝐷𝑖) ≼ (𝑀𝑖))
13 domsdomtr 9112 . . . . . . . 8 ((ran (𝐷𝑖) ≼ (𝑀𝑖) ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ran (𝐷𝑖) ≺ (𝑁𝑖))
1412, 13sylan 581 . . . . . . 7 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ran (𝐷𝑖) ≺ (𝑁𝑖))
15 sdomdif 9125 . . . . . . 7 (ran (𝐷𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅)
1716ralimiaa 3083 . . . . 5 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∀𝑖𝐴 ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅)
18 konigth.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
19 fvex 6905 . . . . . . 7 (𝑁𝑖) ∈ V
2019difexi 5329 . . . . . 6 ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∈ V
2118, 20ac6c5 10477 . . . . 5 (∀𝑖𝐴 ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ≠ ∅ → ∃𝑒𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)))
22 equid 2016 . . . . . . 7 𝑓 = 𝑓
23 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑒𝑖) ∈ (𝑁𝑖))
24 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒𝑖) ∈ V
25 konigth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸 = (𝑖𝐴 ↦ (𝑒𝑖))
2625fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝐴 ∧ (𝑒𝑖) ∈ V) → (𝐸𝑖) = (𝑒𝑖))
2724, 26mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝐴 → (𝐸𝑖) = (𝑒𝑖))
2827eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝐴 → ((𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖) ↔ (𝑒𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
2923, 28imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝐴 → ((𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
3029ralimia 3081 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ∀𝑖𝐴 (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖))
3124, 25fnmpti 6694 . . . . . . . . . . 11 𝐸 Fn 𝐴
3230, 31jctil 521 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
3318mptex 7225 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝐴 ↦ (𝑒𝑖)) ∈ V
3425, 33eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 𝐸 ∈ V
3534elixp 8898 . . . . . . . . . 10 (𝐸X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ↔ (𝐸 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐸𝑖) ∈ (𝑁𝑖)))
3632, 35sylibr 233 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → 𝐸X𝑖𝐴 (𝑁𝑖))
37 konigth.3 . . . . . . . . 9 𝑃 = X𝑖𝐴 (𝑁𝑖)
3836, 37eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → 𝐸𝑃)
39 foelrn 7108 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝑆onto𝑃𝐸𝑃) → ∃𝑎𝑆 𝐸 = (𝑓𝑎))
4039expcom 415 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑃 → (𝑓:𝑆onto𝑃 → ∃𝑎𝑆 𝐸 = (𝑓𝑎)))
41 konigth.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = 𝑖𝐴 (𝑀𝑖)
4241eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆𝑎 𝑖𝐴 (𝑀𝑖))
43 eliun 5002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ↔ ∃𝑖𝐴 𝑎 ∈ (𝑀𝑖))
4442, 43bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 ↔ ∃𝑖𝐴 𝑎 ∈ (𝑀𝑖))
45 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖))
46 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖 𝐸 = (𝑓𝑎)
4745, 46nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖(∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎))
48 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ¬ 𝑓 = 𝑓
4927ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝐸𝑖) = (𝑒𝑖))
50 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐸 = (𝑓𝑎) → (𝐸𝑖) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
518fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝐴 → ((𝐷𝑖)‘𝑎) = ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))‘𝑎))
523fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ∧ ((𝑓𝑎)‘𝑖) ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))‘𝑎) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
532, 52mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) → ((𝑎 ∈ (𝑀𝑖) ↦ ((𝑓𝑎)‘𝑖))‘𝑎) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
5451, 53sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) = ((𝑓𝑎)‘𝑖))
5554eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝑓𝑎)‘𝑖) = ((𝐷𝑖)‘𝑎))
5650, 55sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝐸𝑖) = ((𝐷𝑖)‘𝑎))
5749, 56eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝑒𝑖) = ((𝐷𝑖)‘𝑎))
58 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷𝑖) Fn (𝑀𝑖) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) ∈ ran (𝐷𝑖))
5910, 58sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) ∈ ran (𝐷𝑖))
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ((𝐷𝑖)‘𝑎) ∈ ran (𝐷𝑖))
6157, 60eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
62613adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
63 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)))
64 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → 𝑖𝐴)
65 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑖𝐴 → (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖))))
66 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ¬ (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
6765, 66syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑖𝐴 → ¬ (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖)))
6863, 64, 67sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ¬ (𝑒𝑖) ∈ ran (𝐷𝑖))
6962, 68pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎) ∧ (𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖))) → ¬ 𝑓 = 𝑓)
70693expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → ((𝑖𝐴𝑎 ∈ (𝑀𝑖)) → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7170expd 417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → (𝑖𝐴 → (𝑎 ∈ (𝑀𝑖) → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7247, 48, 71rexlimd 3264 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → (∃𝑖𝐴 𝑎 ∈ (𝑀𝑖) → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7344, 72biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) ∧ 𝐸 = (𝑓𝑎)) → (𝑎𝑆 → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7473ex 414 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸 = (𝑓𝑎) → (𝑎𝑆 → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7574com23 86 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑎𝑆 → (𝐸 = (𝑓𝑎) → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7675rexlimdv 3154 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (∃𝑎𝑆 𝐸 = (𝑓𝑎) → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7740, 76syl9r 78 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝐸𝑃 → (𝑓:𝑆onto𝑃 → ¬ 𝑓 = 𝑓)))
7838, 77mpd 15 . . . . . . 7 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → (𝑓:𝑆onto𝑃 → ¬ 𝑓 = 𝑓))
7922, 78mt2i 137 . . . . . 6 (∀𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ¬ 𝑓:𝑆onto𝑃)
8079exlimiv 1934 . . . . 5 (∃𝑒𝑖𝐴 (𝑒𝑖) ∈ ((𝑁𝑖) ∖ ran (𝐷𝑖)) → ¬ 𝑓:𝑆onto𝑃)
8117, 21, 803syl 18 . . . 4 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ¬ 𝑓:𝑆onto𝑃)
8281nexdv 1940 . . 3 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝑆onto𝑃)
8310dom 9106 . . . . . . . 8 ∅ ≼ (𝑀𝑖)
84 domsdomtr 9112 . . . . . . . 8 ((∅ ≼ (𝑀𝑖) ∧ (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖)) → ∅ ≺ (𝑁𝑖))
8583, 84mpan 689 . . . . . . 7 ((𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∅ ≺ (𝑁𝑖))
86190sdom 9107 . . . . . . 7 (∅ ≺ (𝑁𝑖) ↔ (𝑁𝑖) ≠ ∅)
8785, 86sylib 217 . . . . . 6 ((𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → (𝑁𝑖) ≠ ∅)
8887ralimi 3084 . . . . 5 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
8937neeq1i 3006 . . . . . 6 (𝑃 ≠ ∅ ↔ X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
9019rgenw 3066 . . . . . . . . 9 𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V
91 ixpexg 8916 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V → X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V)
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . 8 X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ∈ V
9337, 92eqeltri 2830 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
94930sdom 9107 . . . . . 6 (∅ ≺ 𝑃𝑃 ≠ ∅)
9518, 19ac9 10478 . . . . . 6 (∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅ ↔ X𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
9689, 94, 953bitr4i 303 . . . . 5 (∅ ≺ 𝑃 ↔ ∀𝑖𝐴 (𝑁𝑖) ≠ ∅)
9788, 96sylibr 233 . . . 4 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ∅ ≺ 𝑃)
9818, 1iunex 7955 . . . . . . 7 𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ∈ V
9941, 98eqeltri 2830 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
100 domtri 10551 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑃𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑃))
10193, 99, 100mp2an 691 . . . . 5 (𝑃𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑃)
102101biimpri 227 . . . 4 𝑆𝑃𝑃𝑆)
103 fodomr 9128 . . . 4 ((∅ ≺ 𝑃𝑃𝑆) → ∃𝑓 𝑓:𝑆onto𝑃)
10497, 102, 103syl2an 597 . . 3 ((∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) ∧ ¬ 𝑆𝑃) → ∃𝑓 𝑓:𝑆onto𝑃)
10582, 104mtand 815 . 2 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → ¬ ¬ 𝑆𝑃)
106105notnotrd 133 1 (∀𝑖𝐴 (𝑀𝑖) ≺ (𝑁𝑖) → 𝑆𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cdif 3946  c0 4323   ciun 4998   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  ontowfo 6542  cfv 6544  Xcixp 8891  cdom 8937  csdm 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111
This theorem is referenced by:  konigth  10564
  Copyright terms: Public domain W3C validator