Theorem snct 32727

Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
snct	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 9084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
2		peano1 7927	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
3	2	ne0ii 4367	. . . 4 ⊢ ω ≠ ∅
4		omex 9712	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	4	0sdom 9173	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
6	3, 5	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≺ ω
7		0sdom1dom 9301	. . 3 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ 1o ≼ ω)
8	6, 7	mpbi 230	. 2 ⊢ 1o ≼ ω
9		endomtr 9072	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
10	1, 8, 9	sylancl 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  ωcom 7903  1_oc1o 8515   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006

This theorem is referenced by:  prct  32728  oms0  34262