Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snct 31684
Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
snct (𝐴𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct
StepHypRef Expression
1 ensn1g 8969 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
2 peano1 7829 . . . . 5 ∅ ∈ ω
32ne0ii 4301 . . . 4 ω ≠ ∅
4 omex 9587 . . . . 5 ω ∈ V
540sdom 9057 . . . 4 (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
63, 5mpbir 230 . . 3 ∅ ≺ ω
7 0sdom1dom 9188 . . 3 (∅ ≺ ω ↔ 1o ≼ ω)
86, 7mpbi 229 . 2 1o ≼ ω
9 endomtr 8958 . 2 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
101, 8, 9sylancl 587 1 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2940  c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109  ωcom 7806  1oc1o 8409  cen 8886  cdom 8887  csdm 8888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-om 7807  df-1o 8416  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892
This theorem is referenced by:  prct  31685  oms0  32961
  Copyright terms: Public domain W3C validator