Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snct 32725
Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
snct (𝐴𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct
StepHypRef Expression
1 ensn1g 9062 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
2 peano1 7910 . . . . 5 ∅ ∈ ω
32ne0ii 4344 . . . 4 ω ≠ ∅
4 omex 9683 . . . . 5 ω ∈ V
540sdom 9147 . . . 4 (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
63, 5mpbir 231 . . 3 ∅ ≺ ω
7 0sdom1dom 9274 . . 3 (∅ ≺ ω ↔ 1o ≼ ω)
86, 7mpbi 230 . 2 1o ≼ ω
9 endomtr 9052 . 2 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
101, 8, 9sylancl 586 1 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  wne 2940  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ωcom 7887  1oc1o 8499  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988
This theorem is referenced by:  prct  32726  oms0  34299
  Copyright terms: Public domain W3C validator