Theorem snct 30061

Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
snct	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 8308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
2		peano1 7365	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
3	2	ne0ii 4152	. . . 4 ⊢ ω ≠ ∅
4		omex 8839	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	4	0sdom 8381	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
6	3, 5	mpbir 223	. . 3 ⊢ ∅ ≺ ω
7		0sdom1dom 8448	. . 3 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ 1o ≼ ω)
8	6, 7	mpbi 222	. 2 ⊢ 1o ≼ ω
9		endomtr 8301	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
10	1, 8, 9	sylancl 580	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∅c0 4141  {csn 4398   class class class wbr 4888  ωcom 7345  1_oc1o 7838   ≈ cen 8240   ≼ cdom 8241   ≺ csdm 8242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-om 7346  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246

This theorem is referenced by:  prct  30062  oms0  30961