Theorem snct 31933

Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
snct	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 9018	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
2		peano1 7878	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
3	2	ne0ii 4337	. . . 4 ⊢ ω ≠ ∅
4		omex 9637	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	4	0sdom 9106	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
6	3, 5	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ ω
7		0sdom1dom 9237	. . 3 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ 1o ≼ ω)
8	6, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ 1o ≼ ω
9		endomtr 9007	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
10	1, 8, 9	sylancl 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  ωcom 7854  1_oc1o 8458   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-om 7855  df-1o 8465  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941

This theorem is referenced by:  prct  31934  oms0  33291