Theorem snct 32997

Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
snct	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 9018	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
2		peano1 7884	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
3	2	ne0ii 4305	. . . 4 ⊢ ω ≠ ∅
4		omex 9611	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	4	0sdom 9095	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
6	3, 5	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≺ ω
7		0sdom1dom 9205	. . 3 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ 1o ≼ ω)
8	6, 7	mpbi 233	. 2 ⊢ 1o ≼ ω
9		endomtr 9008	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
10	1, 8, 9	sylancl 597	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  {csn 4594   class class class wbr 5113  ωcom 7861  1_oc1o 8445   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940   ≺ csdm 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-om 7862  df-1o 8452  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945

This theorem is referenced by:  prct  32998  oms0  34631