Theorem snct 32803

Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
snct	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 8963	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
2		peano1 7834	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
3	2	ne0ii 4285	. . . 4 ⊢ ω ≠ ∅
4		omex 9558	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	4	0sdom 9040	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
6	3, 5	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≺ ω
7		0sdom1dom 9150	. . 3 ⊢ (∅ ≺ ω ↔ 1o ≼ ω)
8	6, 7	mpbi 230	. 2 ⊢ 1o ≼ ω
9		endomtr 8953	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
10	1, 8, 9	sylancl 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086  ωcom 7811  1_oc1o 8392   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-om 7812  df-1o 8399  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890

This theorem is referenced by:  prct  32804  oms0  34460