Theorem sdom1OLD 9259

Description: Obsolete version of sdom1 9258 as of 12-Dec-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sdom1OLD	⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9115	. . . . 5 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
2	1	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ 1o ≼ 𝐴)
3		0sdom1dom 9254	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
4	2, 3	sylnibr 329	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5		relsdom 8962	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
6	5	brrelex1i 5728	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 ∈ V)
7		0sdomg 9120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	necon2bbid 2979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 = ∅)
11		1n0 8502	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
12		1oex 8490	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
13	12	0sdom 9123	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
14	11, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 1o
15		breq1 5145	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
16	14, 15	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
17	10, 16	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  Vcvv 3469  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  1_oc1o 8473   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-suc 6369  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958

This theorem is referenced by: (None)