Theorem sdom1OLD 9245

Description: Obsolete version of sdom1 9244 as of 12-Dec-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sdom1OLD	⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9101	. . . . 5 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
2	1	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ 1o ≼ 𝐴)
3		0sdom1dom 9240	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
4	2, 3	sylnibr 328	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5		relsdom 8948	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
6	5	brrelex1i 5732	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 ∈ V)
7		0sdomg 9106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	necon2bbid 2984	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 = ∅)
11		1n0 8490	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
12		1oex 8478	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
13	12	0sdom 9109	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
14	11, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 1o
15		breq1 5151	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
16	14, 15	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
17	10, 16	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  1_oc1o 8461   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-suc 6370  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is referenced by: (None)