Theorem sdom1OLD 9209

Description: Obsolete version of sdom1 9208 as of 12-Dec-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sdom1OLD	⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9065	. . . . 5 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
2	1	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ 1o ≼ 𝐴)
3		0sdom1dom 9204	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
4	2, 3	sylnibr 328	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5		relsdom 8912	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
6	5	brrelex1i 5708	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 ∈ V)
7		0sdomg 9070	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	necon2bbid 2983	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 = ∅)
11		1n0 8454	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
12		1oex 8442	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
13	12	0sdom 9073	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
14	11, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 1o
15		breq1 5128	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
16	14, 15	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
17	10, 16	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3459  ∅c0 4302   class class class wbr 5125  1_oc1o 8425   ≼ cdom 8903   ≺ csdm 8904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3419  df-v 3461  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-suc 6343  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908

This theorem is referenced by: (None)