Theorem sdom1OLD 9194

Description: Obsolete version of sdom1 9193 as of 12-Dec-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sdom1OLD	⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9050	. . . . 5 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1o)
2	1	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ 1o ≼ 𝐴)
3		0sdom1dom 9189	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
4	2, 3	sylnibr 328	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5		relsdom 8897	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
6	5	brrelex1i 5693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 ∈ V)
7		0sdomg 9055	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	necon2bbid 2983	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 1o → 𝐴 = ∅)
11		1n0 8439	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
12		1oex 8427	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
13	12	0sdom 9058	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 1o ↔ 1o ≠ ∅)
14	11, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 1o
15		breq1 5113	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1o ↔ ∅ ≺ 1o))
16	14, 15	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1o)
17	10, 16	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≺ 1o ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3446  ∅c0 4287   class class class wbr 5110  1_oc1o 8410   ≼ cdom 8888   ≺ csdm 8889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-suc 6328  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893

This theorem is referenced by: (None)