Theorem r1tskina 10804

Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1tskina	⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2932	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
3		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4		onwf 9852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
5	4	sseli 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7		rankr1c 9843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11		r1fnon 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅1 Fn On
12	11	fndmi 6652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom 𝑅1 = On
13	12	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
14		rankonid 9851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
16		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
17	15, 16	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
18	10, 17	neleqtrd 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
20		onssr1 9853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
21	13, 20	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
22		tsken 10776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
23	21, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
24	23	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
25	19, 24	mt3d 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
26	2, 3, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
27		carden2b 9989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
29		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
30		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
31	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
32	31	sselda 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
33		tsksdom 10778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
35		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
36	25	ensymd 9027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
37	30, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
38		sdomentr 9133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴) ∧ (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
40	39	ralrimiva 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
41		iscard 9997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
42	29, 40, 41	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
44	28, 43	eqtr3d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
45		r10 9790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
46		on0eln0 6420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
47	46	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
48		r1sdom 9796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
49	47, 48	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
50	45, 49	eqbrtrrid 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1‘𝐴))
51		fvex 6899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
52	51	0sdom 9129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≺ (𝑅1‘𝐴) ↔ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
53	50, 52	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
54	53	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
55		tskcard 10803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
56	2, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
57	44, 56	eqeltrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
59	1, 58	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
60	59	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
61	60	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
62		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
63	62, 45	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
64		0tsk 10777	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Tarski
65	63, 64	eqeltrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
66		inatsk 10800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
67	65, 66	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
68	61, 67	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ∪ cuni 4887   class class class wbr 5123  dom cdm 5665   “ cima 5668  Oncon0 6363  suc csuc 6365  ‘cfv 6541   ≈ cen 8964   ≺ csdm 8966  𝑅₁cr1 9784  rankcrnk 9785  cardccrd 9957  Inacccina 10705  Tarskictsk 10770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-ac2 10485

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-smo 8368  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-oi 9532  df-har 9579  df-r1 9786  df-rank 9787  df-card 9961  df-aleph 9962  df-cf 9963  df-acn 9964  df-ac 10138  df-wina 10706  df-ina 10707  df-tsk 10771

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