Theorem r1tskina 10691

Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1tskina	⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
3		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4		onwf 9740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
5	4	sseli 3927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7		rankr1c 9731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11		r1fnon 9677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅1 Fn On
12	11	fndmi 6594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom 𝑅1 = On
13	12	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
14		rankonid 9739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
16		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
17	15, 16	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
18	10, 17	neleqtrd 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
20		onssr1 9741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
21	13, 20	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
22		tsken 10663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
23	21, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
24	23	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
25	19, 24	mt3d 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
26	2, 3, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
27		carden2b 9877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
29		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
30		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
31	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
32	31	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
33		tsksdom 10665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
35		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
36	25	ensymd 8940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
37	30, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
38		sdomentr 9037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴) ∧ (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
40	39	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
41		iscard 9885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
42	29, 40, 41	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
44	28, 43	eqtr3d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
45		r10 9678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
46		on0eln0 6372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
47	46	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
48		r1sdom 9684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
49	47, 48	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
50	45, 49	eqbrtrrid 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1‘𝐴))
51		fvex 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
52	51	0sdom 9034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≺ (𝑅1‘𝐴) ↔ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
53	50, 52	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
54	53	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
55		tskcard 10690	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
56	2, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
57	44, 56	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
59	1, 58	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
60	59	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
61	60	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
62		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
63	62, 45	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
64		0tsk 10664	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Tarski
65	63, 64	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
66		inatsk 10687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
67	65, 66	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
68	61, 67	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096  dom cdm 5622   “ cima 5625  Oncon0 6315  suc csuc 6317  ‘cfv 6490   ≈ cen 8878   ≺ csdm 8880  𝑅₁cr1 9672  rankcrnk 9673  cardccrd 9845  Inacccina 10592  Tarskictsk 10657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-ac2 10371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-smo 8276  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-oi 9413  df-har 9460  df-r1 9674  df-rank 9675  df-card 9849  df-aleph 9850  df-cf 9851  df-acn 9852  df-ac 10024  df-wina 10593  df-ina 10594  df-tsk 10658

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