Theorem r1tskina 10867

Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the stages of the cumulative hierarchy of sets that are Tarski classes are exactly the stages at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1tskina	⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
3		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4		onwf 9840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
5	4	sseli 3904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7		rankr1c 9830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
8	6, 7	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
9	5, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
10	9	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11		r1fnon 9773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅1 Fn On
12	11	fndmi 6643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom 𝑅1 = On
13	12	eleq2i 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
14		rankonid 9839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
16		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
17	15, 16	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
18	10, 17	neleqtrd 2882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
20		onssr1 9843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
21	13, 20	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
22		tsken 10839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
23	21, 22	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
24	23	ord 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
25	19, 24	mt3d 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
26	2, 3, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
27		carden2b 10048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
29		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
30		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
31	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
32	31	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
33		tsksdom 10841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
34	30, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
35		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
36	25	ensymd 9032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
37	30, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
38		sdomentr 9130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴) ∧ (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
39	34, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
40	39	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
41		iscard 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
42	29, 40, 41	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
43	42	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
44	28, 43	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
45		r10 9775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
46		on0eln0 6420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
47	46	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
48		r1sdom 9781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
49	47, 48	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
50	45, 49	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1‘𝐴))
51		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
52	51	0sdom 9127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≺ (𝑅1‘𝐴) ↔ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
53	50, 52	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
54	53	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
55		tskcard 10866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
56	2, 54, 55	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
57	44, 56	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
58	57	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
59	1, 58	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
60	59	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
61	60	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
62		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
63	62, 45	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
64		0tsk 10840	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Tarski
65	63, 64	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
66		inatsk 10863	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
67	65, 66	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
68	61, 67	impbid1 228	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  dom cdm 5650   “ cima 5653  Oncon0 6362  suc csuc 6364  ‘cfv 6538   ≈ cen 8970   ≺ csdm 8972  𝑅₁cr1 9766  rankcrnk 9767  cardccrd 10016  Inacccina 10768  Tarskictsk 10833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-ac2 10541

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-smo 8354  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-oi 9504  df-har 9551  df-r1 9768  df-rank 9769  df-card 10020  df-aleph 10021  df-cf 10022  df-acn 10023  df-ac 10195  df-wina 10769  df-ina 10770  df-tsk 10834

This theorem is used by: (None)