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Theorem r1tskina 10822
Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1tskina (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
3 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4 onwf 9870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 On ⊆ (𝑅1 “ On)
54sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ On → 𝐴 (𝑅1 “ On))
6 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7 rankr1c 9861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
86, 7mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
109simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11 r1fnon 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅1 Fn On
1211fndmi 6672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom 𝑅1 = On
1312eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
14 rankonid 9869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
1513, 14bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1𝐴))
1715, 16sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1𝐴))
1810, 17neleqtrd 2863 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴))
20 onssr1 9871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
2113, 20sylbir 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
22 tsken 10794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2321, 22sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2423ord 865 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2519, 24mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴))
262, 3, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴))
27 carden2b 10007 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1𝐴)))
29 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
30 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
3121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
3231sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴))
33 tsksdom 10796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1𝐴))
3430, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1𝐴))
35 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
3625ensymd 9045 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
3730, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
38 sdomentr 9151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ≺ (𝑅1𝐴) ∧ (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥𝐴)
3934, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4039ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
41 iscard 10015 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴))
4229, 40, 41sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
4428, 43eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) = 𝐴)
45 r10 9808 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1‘∅) = ∅
46 on0eln0 6440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4746biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
48 r1sdom 9814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1𝐴))
4947, 48syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1𝐴))
5045, 49eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1𝐴))
51 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1𝐴) ∈ V
52510sdom 9147 . . . . . . . . . 10 (∅ ≺ (𝑅1𝐴) ↔ (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
5350, 52sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
5453adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
55 tskcard 10821 . . . . . . . 8 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) ∈ Inacc)
562, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) ∈ Inacc)
5744, 56eqeltrrd 2842 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
5857ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
591, 58biimtrrid 243 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
6059orrd 864 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
6160ex 412 . 2 (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
62 fveq2 6906 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
6362, 45eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = ∅)
64 0tsk 10795 . . . 4 ∅ ∈ Tarski
6563, 64eqeltrdi 2849 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
66 inatsk 10818 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
6765, 66jaoi 858 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
6861, 67impbid1 225 1 (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333   cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cima 5688  Oncon0 6384  suc csuc 6386  cfv 6561  cen 8982  csdm 8984  𝑅1cr1 9802  rankcrnk 9803  cardccrd 9975  Inacccina 10723  Tarskictsk 10788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-smo 8386  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-aleph 9980  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-wina 10724  df-ina 10725  df-tsk 10789
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