Theorem r1tskina 10711

Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1tskina	⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2926	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
3		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4		onwf 9759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
5	4	sseli 3939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7		rankr1c 9750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11		r1fnon 9696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅1 Fn On
12	11	fndmi 6604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom 𝑅1 = On
13	12	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
14		rankonid 9758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
16		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
17	15, 16	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
18	10, 17	neleqtrd 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
20		onssr1 9760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
21	13, 20	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
22		tsken 10683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
23	21, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
24	23	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
25	19, 24	mt3d 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
26	2, 3, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
27		carden2b 9896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
29		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
30		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
31	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
32	31	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
33		tsksdom 10685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
35		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
36	25	ensymd 8953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
37	30, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
38		sdomentr 9052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴) ∧ (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
40	39	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
41		iscard 9904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
42	29, 40, 41	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
44	28, 43	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
45		r10 9697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
46		on0eln0 6377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
47	46	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
48		r1sdom 9703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
49	47, 48	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
50	45, 49	eqbrtrrid 5138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1‘𝐴))
51		fvex 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
52	51	0sdom 9049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≺ (𝑅1‘𝐴) ↔ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
53	50, 52	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
54	53	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
55		tskcard 10710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
56	2, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
57	44, 56	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
59	1, 58	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
60	59	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
61	60	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
62		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
63	62, 45	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
64		0tsk 10684	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Tarski
65	63, 64	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
66		inatsk 10707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
67	65, 66	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
68	61, 67	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102  dom cdm 5631   “ cima 5634  Oncon0 6320  suc csuc 6322  ‘cfv 6499   ≈ cen 8892   ≺ csdm 8894  𝑅₁cr1 9691  rankcrnk 9692  cardccrd 9864  Inacccina 10612  Tarskictsk 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-ac2 10392

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-smo 8292  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9439  df-har 9486  df-r1 9693  df-rank 9694  df-card 9868  df-aleph 9869  df-cf 9870  df-acn 9871  df-ac 10045  df-wina 10613  df-ina 10614  df-tsk 10678

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