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Theorem r1tskina 10819
Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1tskina (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2938 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
3 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4 onwf 9867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 On ⊆ (𝑅1 “ On)
54sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ On → 𝐴 (𝑅1 “ On))
6 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7 rankr1c 9858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
86, 7mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
109simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11 r1fnon 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅1 Fn On
1211fndmi 6672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom 𝑅1 = On
1312eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
14 rankonid 9866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
1513, 14bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1𝐴))
1715, 16sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1𝐴))
1810, 17neleqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴))
20 onssr1 9868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
2113, 20sylbir 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
22 tsken 10791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2321, 22sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2423ord 864 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2519, 24mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴))
262, 3, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴))
27 carden2b 10004 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1𝐴)))
29 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
30 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
3121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
3231sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴))
33 tsksdom 10793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1𝐴))
3430, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1𝐴))
35 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
3625ensymd 9043 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
3730, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
38 sdomentr 9149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ≺ (𝑅1𝐴) ∧ (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥𝐴)
3934, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4039ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
41 iscard 10012 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴))
4229, 40, 41sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
4428, 43eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) = 𝐴)
45 r10 9805 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1‘∅) = ∅
46 on0eln0 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4746biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
48 r1sdom 9811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1𝐴))
4947, 48syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1𝐴))
5045, 49eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1𝐴))
51 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1𝐴) ∈ V
52510sdom 9145 . . . . . . . . . 10 (∅ ≺ (𝑅1𝐴) ↔ (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
5350, 52sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
5453adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
55 tskcard 10818 . . . . . . . 8 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) ∈ Inacc)
562, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) ∈ Inacc)
5744, 56eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
5857ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
591, 58biimtrrid 243 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
6059orrd 863 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
6160ex 412 . 2 (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
62 fveq2 6906 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
6362, 45eqtrdi 2790 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = ∅)
64 0tsk 10792 . . . 4 ∅ ∈ Tarski
6563, 64eqeltrdi 2846 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
66 inatsk 10815 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
6765, 66jaoi 857 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
6861, 67impbid1 225 1 (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962  c0 4338   cuni 4911   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  cima 5691  Oncon0 6385  suc csuc 6387  cfv 6562  cen 8980  csdm 8982  𝑅1cr1 9799  rankcrnk 9800  cardccrd 9972  Inacccina 10720  Tarskictsk 10785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-smo 8384  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-oi 9547  df-har 9594  df-r1 9801  df-rank 9802  df-card 9976  df-aleph 9977  df-cf 9978  df-acn 9979  df-ac 10153  df-wina 10721  df-ina 10722  df-tsk 10786
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