Theorem r1tskina 10700

Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1tskina	⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2937	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2		simplr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
3		simpll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4		onwf 9749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
5	4	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7		rankr1c 9740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
8	6, 7	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
10	9	simpld 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11		r1fnon 9686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅1 Fn On
12	11	fndmi 6593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom 𝑅1 = On
13	12	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
14		rankonid 9748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	bitr3i 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
16		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
17	15, 16	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1‘𝐴))
18	10, 17	neleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
19	18	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴))
20		onssr1 9750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
21	13, 20	sylbir 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
22		tsken 10672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
23	21, 22	sylan2 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
24	23	ord 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
25	19, 24	mt3d 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
26	2, 3, 25	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴))
27		carden2b 9886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ (𝑅1‘𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1‘𝐴)))
29		simpl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
30		simplr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
31	21	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
32	31	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
33		tsksdom 10674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
34	30, 32, 33	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴))
35		simpll 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
36	25	ensymd 8946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
37	30, 35, 36	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴)
38		sdomentr 9043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ≺ (𝑅1‘𝐴) ∧ (𝑅1‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
39	34, 37, 38	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
40	39	ralrimiva 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
41		iscard 9894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
42	29, 40, 41	sylanbrc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
43	42	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
44	28, 43	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
45		r10 9687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
46		on0eln0 6371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
47	46	biimpar 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
48		r1sdom 9693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
49	47, 48	syldan 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1‘𝐴))
50	45, 49	eqbrtrrid 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1‘𝐴))
51		fvex 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
52	51	0sdom 9040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≺ (𝑅1‘𝐴) ↔ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
53	50, 52	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
54	53	adantlr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅)
55		tskcard 10699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1‘𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
56	2, 54, 55	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ Inacc)
57	44, 56	eqeltrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
58	57	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
59	1, 58	biimtrrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
60	59	orrd 870	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
61	60	ex 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
62		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
63	62, 45	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
64		0tsk 10673	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Tarski
65	63, 64	eqeltrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
66		inatsk 10696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
67	65, 66	jaoi 864	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski)
68	61, 67	impbid1 227	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑅1‘𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5075  dom cdm 5621   “ cima 5624  Oncon0 6314  suc csuc 6316  ‘cfv 6489   ≈ cen 8884   ≺ csdm 8886  𝑅₁cr1 9681  rankcrnk 9682  cardccrd 9854  Inacccina 10601  Tarskictsk 10666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-ac2 10380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-smo 8280  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-har 9466  df-r1 9683  df-rank 9684  df-card 9858  df-aleph 9859  df-cf 9860  df-acn 9861  df-ac 10033  df-wina 10602  df-ina 10603  df-tsk 10667

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