Theorem sigapildsys 34126

Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}

Assertion

Ref	Expression
sigapildsys	⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigapildsys

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2	1	sigapisys 34119	. . 3 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
3		dynkin.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
4	3	sigaldsys 34123	. . 3 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝐿
5	2, 4	ssini 4261	. 2 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ (𝑃 ∩ 𝐿)
6		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
7	6	elin1d 4227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ 𝑃)
8	1	ispisys 34116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
9	7, 8	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
10	9	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
11	10	elpwid 4631	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
12		dif0 4400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
13	6	elin2d 4228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ 𝐿)
14	3	isldsys 34120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
15	13, 14	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
16	15	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
17	16	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
18	16	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∅ ∈ 𝑡)
19		difeq2 4143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ ∅))
20		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑡 = 𝑡)
21	19, 20	eleq12d 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
22	21	rspcv 3631	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
23	18, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
24	17, 23	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡)
25	12, 24	eqeltrrid 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑂 ∈ 𝑡)
26		unieq 4942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 = ∪ ∅)
27		uni0 4959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ∅ = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 = ∅)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝑥 = ∅)
30	18	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ∈ 𝑡)
31	29, 30	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
32		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ∈ V
33	32	0sdom 9173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ≺ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ ∅)
34	33	biimpri 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ∅ ≺ 𝑥)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑥)
36		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ω)
37		nnenom 14031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ≈ ω
38	37	ensymi 9064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ≈ ℕ
39		domentr 9073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
40	36, 38, 39	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ℕ)
41		fodomr 9194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
42	35, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
43		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑖))
44	43	iundisj 25602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
45		fofn 6836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → 𝑓 Fn ℕ)
46		fniunfv 7284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Fn ℕ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
48		forn 6837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
49	48	unieqd 4944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ ran 𝑓 = ∪ 𝑥)
50	47, 49	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑥)
51	44, 50	eqtr3id 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) = ∪ 𝑥)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) = ∪ 𝑥)
53		fvex 6933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓‘𝑛) ∈ V
54		difexg 5347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ V → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ V)
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ V
56	55	dfiun3 5992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
57		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
58		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
59		nfmpt1 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
60	59	nfrn 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
61	58, 60	nfel 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
62	57, 61	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))))
63		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
64		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑖((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
65		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑖𝑦
66		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑖ℕ
67		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑓‘𝑛)
68		nfiu1 5050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑖∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)
69	67, 68	nfdif 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
70	66, 69	nfmpt 5273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
71	70	nfrn 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑖ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
72	65, 71	nfel 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
73	64, 72	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑖(((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))))
74		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ ℕ
75	73, 74	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
76	65, 69	nfeq 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
77	75, 76	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑖(((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
78	6	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
79		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
80	79	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
81	80	elpwid 4631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑥 ⊆ 𝑡)
82		fof 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
83	82	ad4antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
84		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑛 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑥)
86	81, 85	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑡)
87		fzofi 14025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1..^𝑛) ∈ Fin
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (1..^𝑛) ∈ Fin)
89	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑥 ⊆ 𝑡)
90	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
91		fzossnn 13765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1..^𝑛) ⊆ ℕ
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
93	92	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
94	90, 93	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑖) ∈ 𝑥)
95	89, 94	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑖) ∈ 𝑡)
96	1, 3, 77, 78, 86, 88, 95	sigapildsyslem 34125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ 𝑡)
97	63, 96	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑦 ∈ 𝑡)
98		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))))
99		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
100	99, 55	elrnmpti 5985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
101	98, 100	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
102	62, 97, 101	r19.29af 3274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) → 𝑦 ∈ 𝑡)
103	102	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑦 ∈ 𝑡))
104	103	ssrdv 4014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ⊆ 𝑡)
105		nnex 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
106	105	mptex 7260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ V
107	106	rnex 7950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ V
108		elpwg 4625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ V → (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ⊆ 𝑡))
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ⊆ 𝑡)
110	104, 109	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡)
111	16	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
112	111	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
113		nnct 14032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ ≼ ω
114		mptct 10607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ≼ ω → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω)
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω
116		rnct 10594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω)
117	115, 116	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω)
118	43	iundisj2 25603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
119		disjrnmpt 32607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)
120	118, 119	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)
121		breq1 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (𝑥 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω))
122		disjeq1 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦))
123	121, 122	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)))
124		unieq 4942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → ∪ 𝑥 = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))))
125	124	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡))
126	123, 125	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)))
127	126	rspcv 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)))
128	127	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡))
129	128	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)) ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)
130	110, 112, 117, 120, 129	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)
131	56, 130	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ 𝑡)
132	52, 131	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
133	42, 132	exlimddv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
134	31, 133	pm2.61dane 3035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
135	134	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
136	135	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
137	25, 17, 136	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
138	11, 137	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
139		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ∈ V
140		issiga 34076	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ V → (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))))
141	139, 140	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
142	138, 141	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
143	142	ssriv 4012	. 2 ⊢ (𝑃 ∩ 𝐿) ⊆ (sigAlgebra‘𝑂)
144	5, 143	eqssi 4025	1 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003  ficfi 9479  1c1 11185  ℕcn 12293  ..^cfzo 13711  sigAlgebracsiga 34072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-siga 34073

This theorem is referenced by:  dynkin  34131