Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapildsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapildsys 31506
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
Assertion
Ref Expression
sigapildsys (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
21sigapisys 31499 . . 3 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
3 dynkin.l . . . 4 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
43sigaldsys 31503 . . 3 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝐿
52, 4ssini 4193 . 2 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ (𝑃𝐿)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
76elin1d 4160 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡𝑃)
81ispisys 31496 . . . . . . . 8 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
97, 8sylib 221 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
109simpld 498 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110elpwid 4533 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
12 dif0 4315 . . . . . . 7 (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
136elin2d 4161 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡𝐿)
143isldsys 31500 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1513, 14sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1615simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
1716simp2d 1140 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
1816simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∅ ∈ 𝑡)
19 difeq2 4079 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑂𝑥) = (𝑂 ∖ ∅))
20 eqidd 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑡 = 𝑡)
2119, 20eleq12d 2910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2221rspcv 3604 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡)
2512, 24eqeltrrid 2921 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑂𝑡)
26 unieq 4835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
27 uni0 4852 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
2826, 27syl6eq 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
2928adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
3018ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ∈ 𝑡)
3129, 30eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥𝑡)
32 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
33320sdom 8647 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ≺ 𝑥𝑥 ≠ ∅)
3433biimpri 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ ∅ → ∅ ≺ 𝑥)
3534adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑥)
36 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ω)
37 nnenom 13354 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ≈ ω
3837ensymi 8557 . . . . . . . . . . . 12 ω ≈ ℕ
39 domentr 8566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
4036, 38, 39sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ℕ)
41 fodomr 8667 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ≺ 𝑥𝑥 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑥)
4235, 40, 41syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑥)
43 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑖))
4443iundisj 24161 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
45 fofn 6585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–onto𝑥𝑓 Fn ℕ)
46 fniunfv 7000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
48 forn 6586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
4948unieqd 4838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–onto𝑥 ran 𝑓 = 𝑥)
5047, 49eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑥)
5144, 50syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = 𝑥)
5251adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = 𝑥)
53 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓𝑛) ∈ V
54 difexg 5218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑛) ∈ V → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ V)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ V
5655dfiun3 5826 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
57 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥)
58 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛𝑦
59 nfmpt1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6059nfrn 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6158, 60nfel 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6257, 61nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
63 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
64 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥)
65 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑖𝑦
66 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑖
67 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑖(𝑓𝑛)
68 nfiu1 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑖 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)
6967, 68nfdif 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑖((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
7066, 69nfmpt 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑖(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7170nfrn 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑖ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7265, 71nfel 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7364, 72nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖(((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
74 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖 𝑛 ∈ ℕ
7573, 74nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
7665, 69nfeq 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
7775, 76nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖(((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
786ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
79 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
8079ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
8180elpwid 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥𝑡)
82 fof 6583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:ℕ–onto𝑥𝑓:ℕ⟶𝑥)
8382ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
84 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8583, 84ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑥)
8681, 85sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑡)
87 fzofi 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1..^𝑛) ∈ Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (1..^𝑛) ∈ Fin)
8981adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑥𝑡)
9083adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
91 fzossnn 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
9392sselda 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9490, 93ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑖) ∈ 𝑥)
9589, 94sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑖) ∈ 𝑡)
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 31505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ 𝑡)
9763, 96eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦𝑡)
98 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
99 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10099, 55elrnmpti 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10198, 100sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10262, 97, 101r19.29af 3322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → 𝑦𝑡)
103102ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦𝑡))
104103ssrdv 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡)
105 nnex 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
106105mptex 6979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V
107106rnex 7614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V
108 elpwg 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V → (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡)
110104, 109sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡)
11116simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
112111ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
113 nnct 13355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ≼ ω
114 mptct 9960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ≼ ω → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω
116 rnct 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
11843iundisj2 24162 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
119 disjrnmpt 30354 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)
121 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑥 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω))
122 disjeq1 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦))
123121, 122anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)))
124 unieq 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
125124eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ( 𝑥𝑡 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡))
126123, 125imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)))
127126rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)))
128127imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡))
129128imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)) ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)
13156, 130eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ 𝑡)
13252, 131eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . 10 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑥𝑡)
13342, 132exlimddv 1937 . . . . . . . . 9 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑡)
13431, 133pm2.61dane 3101 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑡)
135134ex 416 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))
136135ralrimiva 3177 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))
13725, 17, 1363jca 1125 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡)))
13811, 137jca 515 . . . 4 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))))
139 vex 3483 . . . . 5 𝑡 ∈ V
140 issiga 31456 . . . . 5 (𝑡 ∈ V → (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡)))))
141139, 140ax-mp 5 . . . 4 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))))
142138, 141sylibr 237 . . 3 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
143142ssriv 3957 . 2 (𝑃𝐿) ⊆ (sigAlgebra‘𝑂)
1445, 143eqssi 3969 1 (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  {crab 3137  Vcvv 3480  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  c0 4276  𝒫 cpw 4522   cuni 4824   ciun 4905  Disj wdisj 5018   class class class wbr 5053  cmpt 5133  ran crn 5544   Fn wfn 6340  wf 6341  ontowfo 6343  cfv 6345  (class class class)co 7151  ωcom 7576  cen 8504  cdom 8505  csdm 8506  Fincfn 8507  ficfi 8873  1c1 10538  cn 11636  ..^cfzo 13039  sigAlgebracsiga 31452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-ac2 9885  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9542  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-siga 31453
This theorem is referenced by:  dynkin  31511
  Copyright terms: Public domain W3C validator