Theorem sigapildsys 34728

Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}

Assertion

Ref	Expression
sigapildsys	⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigapildsys

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2	1	sigapisys 34721	. . 3 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
3		dynkin.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
4	3	sigaldsys 34725	. . 3 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝐿
5	2, 4	ssini 4184	. 2 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ (𝑃 ∩ 𝐿)
6		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
7	6	elin1d 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ 𝑃)
8	1	ispisys 34718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
9	7, 8	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
10	9	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
11	10	elpwid 4565	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
12		dif0 4326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
13	6	elin2d 4150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ 𝐿)
14	3	isldsys 34722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
15	13, 14	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
16	15	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
17	16	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
18	16	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∅ ∈ 𝑡)
19		difeq2 4067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ ∅))
20		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑡 = 𝑡)
21	19, 20	eleq12d 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
22	21	rspcv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
23	18, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
24	17, 23	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡)
25	12, 24	eqeltrrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑂 ∈ 𝑡)
26		unieq 4877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 = ∪ ∅)
27		uni0 4895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ∅ = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 = ∅)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝑥 = ∅)
30	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ∈ 𝑡)
31	29, 30	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
32		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
33	32	0sdom 9105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ≺ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ ∅)
34	33	bilanri 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑥)
35		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ω)
36		nnenom 14091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ≈ ω
37	36	ensymi 9009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ≈ ℕ
38		domentr 9018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
39	35, 37, 38	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ℕ)
40		fodomr 9125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
41	34, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
42		fveq2 6873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑖))
43	42	iundisj 25830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
44		fofn 6786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → 𝑓 Fn ℕ)
45		fniunfv 7239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Fn ℕ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
47		forn 6787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
48	47	unieqd 4879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ ran 𝑓 = ∪ 𝑥)
49	46, 48	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑥)
50	43, 49	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) = ∪ 𝑥)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) = ∪ 𝑥)
52		fvex 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓‘𝑛) ∈ V
53		difexg 5290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ V → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ V)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ V
55	54	dfiun3 5948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
56		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
57		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
58		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
59	58	nfrn 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
60	57, 59	nfel 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
61	56, 60	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))))
62		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
63		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑖((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥)
64		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑖𝑦
65		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑖ℕ
66		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑓‘𝑛)
67		nfiu1 4985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑖∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)
68	66, 67	nfdif 4076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
69	65, 68	nfmpt 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
70	69	nfrn 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑖ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
71	64, 70	nfel 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
72	63, 71	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑖(((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))))
73		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ ℕ
74	72, 73	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
75	64, 68	nfeq 2935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
76	74, 75	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑖(((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
77	6	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
78		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
79	78	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
80	79	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑥 ⊆ 𝑡)
81		fof 6784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝑥 → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
82	81	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
83		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑛 ∈ ℕ)
84	82, 83	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑥)
85	80, 84	sseldd 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑡)
86		fzofi 14085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1..^𝑛) ∈ Fin
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (1..^𝑛) ∈ Fin)
88	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑥 ⊆ 𝑡)
89	82	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
90		fzossnn 13814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1..^𝑛) ⊆ ℕ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
92	91	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
93	89, 92	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑖) ∈ 𝑥)
94	88, 93	sseldd 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑖) ∈ 𝑡)
95	1, 3, 76, 77, 85, 87, 94	sigapildsyslem 34727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ 𝑡)
96	62, 95	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑦 ∈ 𝑡)
97		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
98	97, 54	elrnmpti 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
99	98	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))
100	61, 96, 99	r19.29af 3271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))) → 𝑦 ∈ 𝑡)
101	100	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → 𝑦 ∈ 𝑡))
102	101	ssrdv 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ⊆ 𝑡)
103		nnex 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
104	103	mptex 7217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ V
105	104	rnex 7905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ V
106		elpwg 4559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ V → (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ⊆ 𝑡))
107	105, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ⊆ 𝑡)
108	102, 107	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡)
109	16	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
110	109	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
111		nnct 14092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ ≼ ω
112		mptct 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ≼ ω → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω)
113	111, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω
114		rnct 10575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω)
115	113, 114	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω)
116	42	iundisj2 25831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))
117		disjrnmpt 33112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)
118	116, 117	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)
119		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (𝑥 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω))
120		disjeq1 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦))
121	119, 120	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)))
122		unieq 4877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → ∪ 𝑥 = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))))
123	122	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡))
124	121, 123	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)))
125	124	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)))
126	125	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡))
127	126	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)) ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)))𝑦)) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)
128	108, 110, 115, 118, 127	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖))) ∈ 𝑡)
129	55, 128	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑖)) ∈ 𝑡)
130	51, 129	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
131	41, 130	exlimddv 1968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
132	31, 131	pm2.61dane 3042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
133	132	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
134	133	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
135	25, 17, 134	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
136	11, 135	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
137		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ∈ V
138		issiga 34677	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ V → (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))))
139	137, 138	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
140	136, 139	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) → 𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
141	140	ssriv 3934	. 2 ⊢ (𝑃 ∩ 𝐿) ⊆ (sigAlgebra‘𝑂)
142	5, 141	eqssi 3946	1 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5648   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  –onto→wfo 6525  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ωcom 7860   ≈ cen 8948   ≼ cdom 8949   ≺ csdm 8950  Fincfn 8951  ficfi 9380  1c1 11172  ℕcn 12304  ..^cfzo 13756  sigAlgebracsiga 34673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-acn 9994  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-siga 34674

This theorem is used by:  dynkin  34733