Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapildsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapildsys 33717
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
Assertion
Ref Expression
sigapildsys (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = (𝑃 ∩ 𝐿)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   𝑂,𝑠,π‘₯   π‘₯,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
21sigapisys 33710 . . 3 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
3 dynkin.l . . . 4 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
43sigaldsys 33714 . . 3 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝐿
52, 4ssini 4227 . 2 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† (𝑃 ∩ 𝐿)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
76elin1d 4194 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
81ispisys 33707 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑃 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fiβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑))
97, 8sylib 217 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fiβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑))
109simpld 494 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110elpwid 4607 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
12 dif0 4368 . . . . . . 7 (𝑂 βˆ– βˆ…) = 𝑂
136elin2d 4195 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
143isldsys 33711 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
1615simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
1716simp2d 1141 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
1816simp1d 1140 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
19 difeq2 4112 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) = (𝑂 βˆ– βˆ…))
20 eqidd 2728 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ 𝑑 = 𝑑)
2119, 20eleq12d 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ↔ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑))
2221rspcv 3603 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑))
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑))
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑)
2512, 24eqeltrrid 2833 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑂 ∈ 𝑑)
26 unieq 4914 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ βˆ…)
27 uni0 4933 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ βˆ… = βˆ…
2826, 27eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆ…)
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆ…)
3018ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
3129, 30eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
32 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘₯ ∈ V
33320sdom 9123 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… β‰Ί π‘₯ ↔ π‘₯ β‰  βˆ…)
3433biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  βˆ… β†’ βˆ… β‰Ί π‘₯)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί π‘₯)
36 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
37 nnenom 13969 . . . . . . . . . . . . 13 β„• β‰ˆ Ο‰
3837ensymi 9016 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ β‰ˆ β„•
39 domentr 9025 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
4036, 38, 39sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
41 fodomr 9144 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ… β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
4235, 40, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘–))
4443iundisj 25464 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
45 fofn 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓 Fn β„•)
46 fniunfv 7251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
48 forn 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
4948unieqd 4916 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ ran 𝑓 = βˆͺ π‘₯)
5047, 49eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ π‘₯)
5144, 50eqtr3id 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) = βˆͺ π‘₯)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) = βˆͺ π‘₯)
53 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘“β€˜π‘›) ∈ V
54 difexg 5323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ V β†’ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ V)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ V
5655dfiun3 5963 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
57 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑛((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
58 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑛𝑦
59 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
6059nfrn 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
6158, 60nfel 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑛 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
6257, 61nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑛(((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
64 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑖((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
65 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑖𝑦
66 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑖ℕ
67 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑖(π‘“β€˜π‘›)
68 nfiu1 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑖βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)
6967, 68nfdif 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑖((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
7066, 69nfmpt 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
7170nfrn 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑖ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
7265, 71nfel 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑖 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
7364, 72nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑖(((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
74 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ β„•
7573, 74nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑖((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•)
7665, 69nfeq 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑖 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
7775, 76nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑖(((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
786ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
79 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
8079ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
8180elpwid 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑)
82 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
8382ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
84 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
8583, 84ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ π‘₯)
8681, 85sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝑑)
87 fzofi 13963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1..^𝑛) ∈ Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (1..^𝑛) ∈ Fin)
8981adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑)
9083adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
91 fzossnn 13705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^𝑛) βŠ† β„•
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (1..^𝑛) βŠ† β„•)
9392sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
9490, 93ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ π‘₯)
9589, 94sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ 𝑑)
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 33716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ 𝑑)
9763, 96eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)
98 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) β†’ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
99 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
10099, 55elrnmpti 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
10198, 100sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
10262, 97, 101r19.29af 3260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)
103102ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑))
104103ssrdv 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) βŠ† 𝑑)
105 nnex 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• ∈ V
106105mptex 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ V
107106rnex 7912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ V
108 elpwg 4601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ V β†’ (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) βŠ† 𝑑))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) βŠ† 𝑑)
110104, 109sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑)
11116simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
112111ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
113 nnct 13970 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• β‰Ό Ο‰
114 mptct 10553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„• β‰Ό Ο‰ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰
116 rnct 10540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰)
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰)
11843iundisj2 25465 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
119 disjrnmpt 32360 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)
121 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰))
122 disjeq1 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦))
123121, 122anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ↔ (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)))
124 unieq 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
125124eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑 ↔ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑))
126123, 125imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑) ↔ ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)))
127126rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)))
128127imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑))
129128imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)) ∧ (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)
13156, 130eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ 𝑑)
13252, 131eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
13342, 132exlimddv 1931 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
13431, 133pm2.61dane 3024 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
135134ex 412 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
136135ralrimiva 3141 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
13725, 17, 1363jca 1126 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
13811, 137jca 511 . . . 4 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
139 vex 3473 . . . . 5 𝑑 ∈ V
140 issiga 33667 . . . . 5 (𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))))
141139, 140ax-mp 5 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
142138, 141sylibr 233 . . 3 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
143142ssriv 3982 . 2 (𝑃 ∩ 𝐿) βŠ† (sigAlgebraβ€˜π‘‚)
1445, 143eqssi 3994 1 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = (𝑃 ∩ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903  βˆͺ ciun 4991  Disj wdisj 5107   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Ο‰com 7864   β‰ˆ cen 8952   β‰Ό cdom 8953   β‰Ί csdm 8954  Fincfn 8955  ficfi 9425  1c1 11131  β„•cn 12234  ..^cfzo 13651  sigAlgebracsiga 33663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-siga 33664
This theorem is referenced by:  dynkin  33722
  Copyright terms: Public domain W3C validator