Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapildsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapildsys 33229
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
Assertion
Ref Expression
sigapildsys (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = (𝑃 ∩ 𝐿)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   𝑂,𝑠,π‘₯   π‘₯,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
21sigapisys 33222 . . 3 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝑃
3 dynkin.l . . . 4 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
43sigaldsys 33226 . . 3 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝐿
52, 4ssini 4231 . 2 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† (𝑃 ∩ 𝐿)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
76elin1d 4198 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
81ispisys 33219 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑃 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fiβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑))
97, 8sylib 217 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fiβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑))
109simpld 495 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110elpwid 4611 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂)
12 dif0 4372 . . . . . . 7 (𝑂 βˆ– βˆ…) = 𝑂
136elin2d 4199 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
143isldsys 33223 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
1615simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
1716simp2d 1143 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
1816simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
19 difeq2 4116 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) = (𝑂 βˆ– βˆ…))
20 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ 𝑑 = 𝑑)
2119, 20eleq12d 2827 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ↔ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑))
2221rspcv 3608 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑))
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑))
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ 𝑑)
2512, 24eqeltrrid 2838 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑂 ∈ 𝑑)
26 unieq 4919 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ βˆ…)
27 uni0 4939 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ βˆ… = βˆ…
2826, 27eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆ…)
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆ…)
3018ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
3129, 30eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
32 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘₯ ∈ V
33320sdom 9109 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… β‰Ί π‘₯ ↔ π‘₯ β‰  βˆ…)
3433biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰  βˆ… β†’ βˆ… β‰Ί π‘₯)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί π‘₯)
36 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
37 nnenom 13947 . . . . . . . . . . . . 13 β„• β‰ˆ Ο‰
3837ensymi 9002 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ β‰ˆ β„•
39 domentr 9011 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
4036, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
41 fodomr 9130 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ… β‰Ί π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
4235, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘–))
4443iundisj 25072 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
45 fofn 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓 Fn β„•)
46 fniunfv 7248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
48 forn 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
4948unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ ran 𝑓 = βˆͺ π‘₯)
5047, 49eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ π‘₯)
5144, 50eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) = βˆͺ π‘₯)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) = βˆͺ π‘₯)
53 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘“β€˜π‘›) ∈ V
54 difexg 5327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ V β†’ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ V)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ V
5655dfiun3 5965 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
57 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑛((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
58 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑛𝑦
59 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
6059nfrn 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
6158, 60nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑛 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
6257, 61nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑛(((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
64 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑖((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯)
65 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑖𝑦
66 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑖ℕ
67 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑖(π‘“β€˜π‘›)
68 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑖βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)
6967, 68nfdif 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑖((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
7066, 69nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
7170nfrn 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑖ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
7265, 71nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑖 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
7364, 72nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑖(((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
74 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑖 𝑛 ∈ β„•
7573, 74nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑖((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•)
7665, 69nfeq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑖 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
7775, 76nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑖(((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
786ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
79 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
8079ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
8180elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑)
82 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
8382ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
84 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
8583, 84ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ π‘₯)
8681, 85sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝑑)
87 fzofi 13941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1..^𝑛) ∈ Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (1..^𝑛) ∈ Fin)
8981adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑)
9083adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘₯)
91 fzossnn 13683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^𝑛) βŠ† β„•
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (1..^𝑛) βŠ† β„•)
9392sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
9490, 93ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ π‘₯)
9589, 94sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ 𝑑)
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 33228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ 𝑑)
9763, 96eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)
98 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) β†’ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
99 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
10099, 55elrnmpti 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
10198, 100sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))
10262, 97, 101r19.29af 3265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)
103102ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑))
104103ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) βŠ† 𝑑)
105 nnex 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• ∈ V
106105mptex 7227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ V
107106rnex 7905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ V
108 elpwg 4605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ V β†’ (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) βŠ† 𝑑))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) βŠ† 𝑑)
110104, 109sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑)
11116simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
112111ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
113 nnct 13948 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• β‰Ό Ο‰
114 mptct 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„• β‰Ό Ο‰ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰
116 rnct 10522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰)
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰)
11843iundisj2 25073 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))
119 disjrnmpt 31854 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)
121 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰))
122 disjeq1 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦))
123121, 122anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ↔ (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)))
124 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))))
125124eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑 ↔ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑))
126123, 125imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β†’ (((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑) ↔ ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)))
127126rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)))
128127imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑))
129128imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝒫 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)) ∧ (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)))𝑦)) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–))) ∈ 𝑑)
13156, 130eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘–)) ∈ 𝑑)
13252, 131eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–ontoβ†’π‘₯) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
13342, 132exlimddv 1938 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
13431, 133pm2.61dane 3029 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
135134ex 413 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
136135ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
13725, 17, 1363jca 1128 . . . . 5 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
13811, 137jca 512 . . . 4 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ (𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
139 vex 3478 . . . . 5 𝑑 ∈ V
140 issiga 33179 . . . . 5 (𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))))
141139, 140ax-mp 5 . . . 4 (𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑑 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
142138, 141sylibr 233 . . 3 (𝑑 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) β†’ 𝑑 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
143142ssriv 3986 . 2 (𝑃 ∩ 𝐿) βŠ† (sigAlgebraβ€˜π‘‚)
1445, 143eqssi 3998 1 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = (𝑃 ∩ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939   β‰Ί csdm 8940  Fincfn 8941  ficfi 9407  1c1 11113  β„•cn 12214  ..^cfzo 13629  sigAlgebracsiga 33175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-siga 33176
This theorem is referenced by:  dynkin  33234
  Copyright terms: Public domain W3C validator