Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapildsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapildsys 31043
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
Assertion
Ref Expression
sigapildsys (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
21sigapisys 31036 . . 3 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
3 dynkin.l . . . 4 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
43sigaldsys 31040 . . 3 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝐿
52, 4ssini 4132 . 2 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ (𝑃𝐿)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
76elin1d 4100 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡𝑃)
81ispisys 31033 . . . . . . . 8 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
97, 8sylib 219 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
109simpld 495 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110elpwid 4469 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
12 dif0 4256 . . . . . . 7 (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
136elin2d 4101 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡𝐿)
143isldsys 31037 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1513, 14sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1615simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
1716simp2d 1136 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
1816simp1d 1135 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∅ ∈ 𝑡)
19 difeq2 4018 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑂𝑥) = (𝑂 ∖ ∅))
20 eqidd 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑡 = 𝑡)
2119, 20eleq12d 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2221rspcv 3555 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡)
2512, 24syl5eqelr 2888 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑂𝑡)
26 unieq 4757 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
27 uni0 4776 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
2826, 27syl6eq 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
3018ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ∈ 𝑡)
3129, 30eqeltrd 2883 . . . . . . . . 9 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥𝑡)
32 vex 3440 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
33320sdom 8500 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ≺ 𝑥𝑥 ≠ ∅)
3433biimpri 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ ∅ → ∅ ≺ 𝑥)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑥)
36 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ω)
37 nnenom 13203 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ≈ ω
3837ensymi 8412 . . . . . . . . . . . 12 ω ≈ ℕ
39 domentr 8421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
4036, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ℕ)
41 fodomr 8520 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ≺ 𝑥𝑥 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑥)
4235, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑥)
43 fveq2 6543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑖))
4443iundisj 23837 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
45 fofn 6465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–onto𝑥𝑓 Fn ℕ)
46 fniunfv 6876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
48 forn 6466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
4948unieqd 4759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–onto𝑥 ran 𝑓 = 𝑥)
5047, 49eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑥)
5144, 50syl5eqr 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = 𝑥)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = 𝑥)
53 fvex 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓𝑛) ∈ V
54 difexg 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑛) ∈ V → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ V)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ V
5655dfiun3 5723 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
57 nfv 1892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥)
58 nfcv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛𝑦
59 nfmpt1 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6059nfrn 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6158, 60nfel 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6257, 61nfan 1881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
64 nfv 1892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥)
65 nfcv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑖𝑦
66 nfcv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑖
67 nfcv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑖(𝑓𝑛)
68 nfiu1 4860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑖 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)
6967, 68nfdif 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑖((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
7066, 69nfmpt 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑖(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7170nfrn 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑖ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7265, 71nfel 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7364, 72nfan 1881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖(((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
74 nfv 1892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖 𝑛 ∈ ℕ
7573, 74nfan 1881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
7665, 69nfeq 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
7775, 76nfan 1881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖(((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
786ad7antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
79 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
8079ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
8180elpwid 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥𝑡)
82 fof 6463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:ℕ–onto𝑥𝑓:ℕ⟶𝑥)
8382ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
84 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8583, 84ffvelrnd 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑥)
8681, 85sseldd 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑡)
87 fzofi 13197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1..^𝑛) ∈ Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (1..^𝑛) ∈ Fin)
8981adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑥𝑡)
9083adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
91 fzossnn 12941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
9392sselda 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9490, 93ffvelrnd 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑖) ∈ 𝑥)
9589, 94sseldd 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑖) ∈ 𝑡)
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 31042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ 𝑡)
9763, 96eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦𝑡)
98 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
99 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10099, 55elrnmpti 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10198, 100sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10262, 97, 101r19.29af 3292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → 𝑦𝑡)
103102ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦𝑡))
104103ssrdv 3899 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡)
105 nnex 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
106105mptex 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V
107106rnex 7478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V
108 elpwg 4465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V → (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡)
110104, 109sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡)
11116simp3d 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
112111ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
113 nnct 13204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ≼ ω
114 mptct 9811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ≼ ω → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω
116 rnct 9798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
11843iundisj2 23838 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
119 disjrnmpt 30030 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)
121 breq1 4969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑥 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω))
122 disjeq1 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦))
123121, 122anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)))
124 unieq 4757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
125124eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ( 𝑥𝑡 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡))
126123, 125imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)))
127126rspcv 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)))
128127imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡))
129128imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)) ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)
13156, 130syl5eqel 2887 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ 𝑡)
13252, 131eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . 10 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑥𝑡)
13342, 132exlimddv 1913 . . . . . . . . 9 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑡)
13431, 133pm2.61dane 3072 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑡)
135134ex 413 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))
136135ralrimiva 3149 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))
13725, 17, 1363jca 1121 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡)))
13811, 137jca 512 . . . 4 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))))
139 vex 3440 . . . . 5 𝑡 ∈ V
140 issiga 30993 . . . . 5 (𝑡 ∈ V → (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡)))))
141139, 140ax-mp 5 . . . 4 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))))
142138, 141sylibr 235 . . 3 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
143142ssriv 3897 . 2 (𝑃𝐿) ⊆ (sigAlgebra‘𝑂)
1445, 143eqssi 3909 1 (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  {crab 3109  Vcvv 3437  cdif 3860  cin 3862  wss 3863  c0 4215  𝒫 cpw 4457   cuni 4749   ciun 4829  Disj wdisj 4934   class class class wbr 4966  cmpt 5045  ran crn 5449   Fn wfn 6225  wf 6226  ontowfo 6228  cfv 6230  (class class class)co 7021  ωcom 7441  cen 8359  cdom 8360  csdm 8361  Fincfn 8362  ficfi 8725  1c1 10389  cn 11491  ..^cfzo 12888  sigAlgebracsiga 30989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-ac2 9736  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-disj 4935  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-dju 9181  df-card 9219  df-acn 9222  df-ac 9393  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-siga 30990
This theorem is referenced by:  dynkin  31048
  Copyright terms: Public domain W3C validator