Theorem 1sdom2 9204

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7732, see 1sdom2ALT 9205. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7732. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8464	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8461	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9092	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9202	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9201	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8456	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5116	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8967	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 723	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  {csn 4589   class class class wbr 5109  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1o 8449  df-2o 8450  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942

This theorem is referenced by:  pm54.43  9983  prdom2  9986  canthp1lem1  10632  canthp1  10634  1nprm  16732