Theorem 1sdom2 9248

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7729, see 1sdom2ALT 9249. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7729. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8496	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8491	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9121	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9246	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 230	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9245	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8487	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5126	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8989	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 711	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119  1_oc1o 8473  2_oc2o 8474   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957   ≺ csdm 8958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-1o 8480  df-2o 8481  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962

This theorem is referenced by:  pm54.43  10015  pr2neOLD  10019  prdom2  10020  canthp1lem1  10666  canthp1  10668  1nprm  16698