Theorem 1sdom2 9204

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7730, see 1sdom2ALT 9205. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7730. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8464	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8461	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9092	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9202	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9201	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8456	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5117	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8967	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 723	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  {csn 4591   class class class wbr 5110  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-1o 8449  df-2o 8450  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942

This theorem is referenced by:  pm54.43  9983  prdom2  9986  canthp1lem1  10633  canthp1  10635  1nprm  16733