Theorem 1sdom2 9148

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7678, see 1sdom2ALT 9149. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7678. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8409	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8406	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9036	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 232	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9146	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 231	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9145	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8402	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5079	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 324	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8911	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 717	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  {csn 4555   class class class wbr 5072  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886

This theorem is referenced by:  pm54.43  9916  prdom2  9919  canthp1lem1  10566  canthp1  10568  1nprm  16639