Theorem 1sdom2 9274

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7754, see 1sdom2ALT 9275. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8521	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8516	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9146	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9272	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 230	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9271	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8512	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5155	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 9014	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 711	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987

This theorem is referenced by:  pm54.43  10039  pr2neOLD  10043  prdom2  10044  canthp1lem1  10690  canthp1  10692  1nprm  16713