Theorem 1sdom2 9186

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7713, see 1sdom2ALT 9187. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7713. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8446	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8443	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9074	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 233	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9184	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 232	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9183	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8438	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5104	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 325	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8949	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 721	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2956  ∅c0 4283  {csn 4579   class class class wbr 5097  1_oc1o 8424  2_oc2o 8425   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-1o 8431  df-2o 8432  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924

This theorem is referenced by:  pm54.43  9953  prdom2  9956  canthp1lem1  10604  canthp1  10606  1nprm  16704