Theorem 1sdom2 9160

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7690, see 1sdom2ALT 9161. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7690. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8421	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8418	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9048	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9158	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 230	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9157	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8414	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5107	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8923	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 712	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1o 8407  df-2o 8408  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898

This theorem is referenced by:  pm54.43  9925  prdom2  9928  canthp1lem1  10575  canthp1  10577  1nprm  16618