Theorem 1sdom2 9269

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7744, see 1sdom2ALT 9270. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7744. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8507	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8502	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9136	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9267	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 229	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9266	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8498	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5157	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 9000	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 709	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2936  ∅c0 4324  {csn 4630   class class class wbr 5150  1_oc1o 8484  2_oc2o 8485   ≈ cen 8965   ≼ cdom 8966   ≺ csdm 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-1o 8491  df-2o 8492  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971

This theorem is referenced by:  pm54.43  10030  pr2neOLD  10034  prdom2  10035  canthp1lem1  10681  canthp1  10683  1nprm  16655