Theorem 1sdom2 9277

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7783, see 1sdom2ALT 9278. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7783. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8529	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8526	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9165	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9275	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9274	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8521	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5115	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 9039	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 724	1 ⊢ 1o ≺ 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5108  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009   ≺ csdm 9010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-1o 8514  df-2o 8515  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014

This theorem is used by:  pm54.43  10121  prdom2  10124  canthp1lem1  10776  canthp1  10778  1nprm  16898