Theorem 1sdom2 9232

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7749, see 1sdom2ALT 9233. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7749. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8484	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8481	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9120	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9230	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9229	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8476	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5110	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8994	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 724	1 ⊢ 1o ≺ 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  1_oc1o 8462  2_oc2o 8463   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964   ≺ csdm 8965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1o 8469  df-2o 8470  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969

This theorem is used by:  pm54.43  10075  prdom2  10078  canthp1lem1  10730  canthp1  10732  1nprm  16847