MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sdom2 9276
Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7755, see 1sdom2ALT 9277. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7755. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
1sdom2 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2
StepHypRef Expression
1 2on0 8522 . . . 4 2o ≠ ∅
2 2oex 8517 . . . . 5 2o ∈ V
320sdom 9147 . . . 4 (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
41, 3mpbir 231 . . 3 ∅ ≺ 2o
5 0sdom1dom 9274 . . 3 (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
64, 5mpbi 230 . 2 1o ≼ 2o
7 snnen2o 9273 . . 3 ¬ {∅} ≈ 2o
8 df1o2 8513 . . . 4 1o = {∅}
98breq1i 5150 . . 3 (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
107, 9mtbir 323 . 2 ¬ 1o ≈ 2o
11 brsdom 9015 . 2 (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
126, 10, 11mpbir2an 711 1 1o ≺ 2o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wne 2940  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  1oc1o 8499  2oc2o 8500  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988
This theorem is referenced by:  pm54.43  10041  pr2neOLD  10045  prdom2  10046  canthp1lem1  10692  canthp1  10694  1nprm  16716
  Copyright terms: Public domain W3C validator