Theorem 1sdom2 9246

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7729, see 1sdom2ALT 9247. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7729. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8488	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8483	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9113	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9244	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 229	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9243	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8479	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5155	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8977	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 708	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2939  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  1_oc1o 8465  2_oc2o 8466   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943   ≺ csdm 8944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8472  df-2o 8473  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948

This theorem is referenced by:  pm54.43  10002  pr2neOLD  10006  prdom2  10007  canthp1lem1  10653  canthp1  10655  1nprm  16623