Theorem 1sdom2 9187

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7711, see 1sdom2ALT 9188. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7711. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8448	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8445	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9072	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9185	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 230	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9184	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8441	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5114	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8946	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 711	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1o 8434  df-2o 8435  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921

This theorem is referenced by:  pm54.43  9954  pr2neOLD  9958  prdom2  9959  canthp1lem1  10605  canthp1  10607  1nprm  16649