Theorem 1sdom2 9303

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7770, see 1sdom2ALT 9304. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7770. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8538	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8533	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9173	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9301	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 230	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9300	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8529	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5173	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 9035	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 710	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-1o 8522  df-2o 8523  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006

This theorem is referenced by:  pm54.43  10070  pr2neOLD  10074  prdom2  10075  canthp1lem1  10721  canthp1  10723  1nprm  16726