Theorem 1sdom2 9236

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7721, see 1sdom2ALT 9237. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7721. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8478	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8473	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9103	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9234	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 229	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9233	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8469	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5154	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 8967	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 709	1 ⊢ 1o ≺ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ≠ wne 2940  ∅c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933   ≺ csdm 8934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1o 8462  df-2o 8463  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938

This theorem is referenced by:  pm54.43  9992  pr2neOLD  9996  prdom2  9997  canthp1lem1  10643  canthp1  10645  1nprm  16612