MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sdom2 9191
Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7677, see 1sdom2ALT 9192. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7677. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
1sdom2 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2
StepHypRef Expression
1 2on0 8433 . . . 4 2o ≠ ∅
2 2oex 8428 . . . . 5 2o ∈ V
320sdom 9058 . . . 4 (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
41, 3mpbir 230 . . 3 ∅ ≺ 2o
5 0sdom1dom 9189 . . 3 (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
64, 5mpbi 229 . 2 1o ≼ 2o
7 snnen2o 9188 . . 3 ¬ {∅} ≈ 2o
8 df1o2 8424 . . . 4 1o = {∅}
98breq1i 5117 . . 3 (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
107, 9mtbir 323 . 2 ¬ 1o ≈ 2o
11 brsdom 8922 . 2 (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
126, 10, 11mpbir2an 710 1 1o ≺ 2o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wne 2944  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  1oc1o 8410  2oc2o 8411  cen 8887  cdom 8888  csdm 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-1o 8417  df-2o 8418  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893
This theorem is referenced by:  pm54.43  9944  pr2neOLD  9948  prdom2  9949  canthp1lem1  10595  canthp1  10597  1nprm  16562
  Copyright terms: Public domain W3C validator