MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sdom2 9239
Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7721, see 1sdom2ALT 9240. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7721. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
1sdom2 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2
StepHypRef Expression
1 2on0 8480 . . . 4 2o ≠ ∅
2 2oex 8475 . . . . 5 2o ∈ V
320sdom 9106 . . . 4 (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
41, 3mpbir 230 . . 3 ∅ ≺ 2o
5 0sdom1dom 9237 . . 3 (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
64, 5mpbi 229 . 2 1o ≼ 2o
7 snnen2o 9236 . . 3 ¬ {∅} ≈ 2o
8 df1o2 8471 . . . 4 1o = {∅}
98breq1i 5148 . . 3 (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
107, 9mtbir 323 . 2 ¬ 1o ≈ 2o
11 brsdom 8970 . 2 (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
126, 10, 11mpbir2an 708 1 1o ≺ 2o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wne 2934  c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  1oc1o 8457  2oc2o 8458  cen 8935  cdom 8936  csdm 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1o 8464  df-2o 8465  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941
This theorem is referenced by:  pm54.43  9995  pr2neOLD  9999  prdom2  10000  canthp1lem1  10646  canthp1  10648  1nprm  16621
  Copyright terms: Public domain W3C validator