Theorem 1sdom2 9239

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7751, see 1sdom2ALT 9240. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7751. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8491	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		2oex 8488	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
3	2	0sdom 9127	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 2o
5		0sdom1dom 9237	. . 3 ⊢ (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ 1o ≼ 2o
7		snnen2o 9236	. . 3 ⊢ ¬ {∅} ≈ 2o
8		df1o2 8483	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
9	8	breq1i 5109	. . 3 ⊢ (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
11		brsdom 9001	. 2 ⊢ (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
12	6, 10, 11	mpbir2an 724	1 ⊢ 1o ≺ 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  {csn 4583   class class class wbr 5102  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-1o 8476  df-2o 8477  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976

This theorem is used by:  pm54.43  10082  prdom2  10085  canthp1lem1  10737  canthp1  10739  1nprm  16854