MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sdom2 9246
Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. For a shorter proof requiring ax-un 7729, see 1sdom2ALT 9247. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.) Avoid ax-un 7729. (Revised by BTernaryTau, 8-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
1sdom2 1o ≺ 2o

Proof of Theorem 1sdom2
StepHypRef Expression
1 2on0 8488 . . . 4 2o ≠ ∅
2 2oex 8483 . . . . 5 2o ∈ V
320sdom 9113 . . . 4 (∅ ≺ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
41, 3mpbir 230 . . 3 ∅ ≺ 2o
5 0sdom1dom 9244 . . 3 (∅ ≺ 2o ↔ 1o ≼ 2o)
64, 5mpbi 229 . 2 1o ≼ 2o
7 snnen2o 9243 . . 3 ¬ {∅} ≈ 2o
8 df1o2 8479 . . . 4 1o = {∅}
98breq1i 5155 . . 3 (1o ≈ 2o ↔ {∅} ≈ 2o)
107, 9mtbir 323 . 2 ¬ 1o ≈ 2o
11 brsdom 8977 . 2 (1o ≺ 2o ↔ (1o ≼ 2o ∧ ¬ 1o ≈ 2o))
126, 10, 11mpbir2an 708 1 1o ≺ 2o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wne 2939  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  1oc1o 8465  2oc2o 8466  cen 8942  cdom 8943  csdm 8944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8472  df-2o 8473  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948
This theorem is referenced by:  pm54.43  10002  pr2neOLD  10006  prdom2  10007  canthp1lem1  10653  canthp1  10655  1nprm  16623
  Copyright terms: Public domain W3C validator