Theorem sdom0 9121

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5327, ax-un 7749. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom0 9117	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2		en0 9038	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	sylbb2 241	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4		iman 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6		brsdom 8994	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
7	5, 6	mtbir 326	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964   ≺ csdm 8965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969

This theorem is used by:  domunsn  9139  sdomsdomcardi  10045  canthp1lem1  10730  canthp1lem2  10731  rankcf  10855