MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom0 8380
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdom0 ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 relsdom 8248 . . . 4 Rel ≺
21brrelex1i 5406 . . 3 (𝐴 ≺ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3 0domg 8375 . . 3 (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ≺ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
5 domnsym 8374 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ∅)
65con2i 137 . 2 (𝐴 ≺ ∅ → ¬ ∅ ≼ 𝐴)
74, 6pm2.65i 186 1 ¬ 𝐴 ≺ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2107  Vcvv 3398  c0 4141   class class class wbr 4886  cdom 8239  csdm 8240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244
This theorem is referenced by:  domunsn  8398  sdomsdomcardi  9130  canthp1lem1  9809  canthp1lem2  9810  rankcf  9934
  Copyright terms: Public domain W3C validator