MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom0 8637
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdom0 ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 relsdom 8504 . . . 4 Rel ≺
21brrelex1i 5601 . . 3 (𝐴 ≺ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3 0domg 8632 . . 3 (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ≺ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
5 domnsym 8631 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ∅)
65con2i 141 . 2 (𝐴 ≺ ∅ → ¬ ∅ ≼ 𝐴)
74, 6pm2.65i 195 1 ¬ 𝐴 ≺ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288   class class class wbr 5057  cdom 8495  csdm 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500
This theorem is referenced by:  domunsn  8655  sdomsdomcardi  9388  canthp1lem1  10062  canthp1lem2  10063  rankcf  10187
  Copyright terms: Public domain W3C validator