MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom0 9059
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5325, ax-un 7677. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdom0 ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 dom0 9053 . . . 4 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2 en0 8964 . . . 4 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
31, 2sylbb2 237 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4 iman 403 . . 3 ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
53, 4mpbi 229 . 2 ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6 brsdom 8922 . 2 (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
75, 6mtbir 323 1 ¬ 𝐴 ≺ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  c0 4287   class class class wbr 5110  cen 8887  cdom 8888  csdm 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893
This theorem is referenced by:  domunsn  9078  sdomsdomcardi  9914  canthp1lem1  10595  canthp1lem2  10596  rankcf  10720
  Copyright terms: Public domain W3C validator