MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom0 9149
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5364, ax-un 7756. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdom0 ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 dom0 9143 . . . 4 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2 en0 9059 . . . 4 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
31, 2sylbb2 238 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4 iman 401 . . 3 ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
53, 4mpbi 230 . 2 ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6 brsdom 9016 . 2 (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
75, 6mtbir 323 1 ¬ 𝐴 ≺ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  c0 4332   class class class wbr 5142  cen 8983  cdom 8984  csdm 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989
This theorem is referenced by:  domunsn  9168  sdomsdomcardi  10012  canthp1lem1  10693  canthp1lem2  10694  rankcf  10818
  Copyright terms: Public domain W3C validator