Theorem sdom0 9100

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5338, ax-un 7738. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom0 9096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2		en0 9017	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	sylbb2 241	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4		iman 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6		brsdom 8973	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
7	5, 6	mtbir 326	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943   ≺ csdm 8944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948

This theorem is used by:  domunsn  9118  sdomsdomcardi  9969  canthp1lem1  10648  canthp1lem2  10649  rankcf  10773