MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom0 9133
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5365, ax-un 7740. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdom0 ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 dom0 9127 . . . 4 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2 en0 9038 . . . 4 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
31, 2sylbb2 237 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4 iman 401 . . 3 ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
53, 4mpbi 229 . 2 ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6 brsdom 8996 . 2 (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
75, 6mtbir 323 1 ¬ 𝐴 ≺ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  c0 4323   class class class wbr 5148  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967
This theorem is referenced by:  domunsn  9152  sdomsdomcardi  9995  canthp1lem1  10676  canthp1lem2  10677  rankcf  10801
  Copyright terms: Public domain W3C validator