MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom0 8637
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdom0 ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 relsdom 8503 . . . 4 Rel ≺
21brrelex1i 5576 . . 3 (𝐴 ≺ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3 0domg 8632 . . 3 (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ≺ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
5 domnsym 8631 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ∅)
65con2i 141 . 2 (𝐴 ≺ ∅ → ¬ ∅ ≼ 𝐴)
74, 6pm2.65i 197 1 ¬ 𝐴 ≺ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2112  Vcvv 3444  c0 4246   class class class wbr 5033  cdom 8494  csdm 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499
This theorem is referenced by:  domunsn  8655  sdomsdomcardi  9388  canthp1lem1  10067  canthp1lem2  10068  rankcf  10192
  Copyright terms: Public domain W3C validator