Theorem sdom0 9149

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5364, ax-un 7756. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom0 9143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2		en0 9059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	sylbb2 238	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4		iman 401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6		brsdom 9016	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
7	5, 6	mtbir 323	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∅c0 4332   class class class wbr 5142   ≈ cen 8983   ≼ cdom 8984   ≺ csdm 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989

This theorem is referenced by:  domunsn  9168  sdomsdomcardi  10012  canthp1lem1  10693  canthp1lem2  10694  rankcf  10818