Theorem sdom0 9127

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5340, ax-un 7734. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom0 9121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2		en0 9037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	sylbb2 238	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4		iman 401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6		brsdom 8994	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
7	5, 6	mtbir 323	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967

This theorem is referenced by:  domunsn  9146  sdomsdomcardi  9990  canthp1lem1  10671  canthp1lem2  10672  rankcf  10796