Theorem sdom0 9147

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5371, ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom0 9141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2		en0 9057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	sylbb2 238	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
4		iman 401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ≈ ∅) ↔ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅)
6		brsdom 9014	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ¬ 𝐴 ≈ ∅))
7	5, 6	mtbir 323	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987

This theorem is referenced by:  domunsn  9166  sdomsdomcardi  10009  canthp1lem1  10690  canthp1lem2  10691  rankcf  10815