Theorem afvelrn 48441

Description: A function's value belongs to its range, analogous to fvelrn 7097. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvelrn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem afvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6599	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
2	1	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹))
3	2	ancomd 467	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
4		df-dfat 48393	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
5	3, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 defAt 𝐴)
6		afvfundmfveq 48411	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
7	6	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
9		fvelrn 7097	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
10	8, 9	eqeltrrd 2865	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657  Fun wfun 6549  ‘cfv 6555   defAt wdfat 48390  '''cafv 48391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-fv 6563  df-aiota 48358  df-dfat 48393  df-afv 48394

This theorem is used by:  fnafvelrn  48442