Theorem afvelrn 47645

Description: A function's value belongs to its range, analogous to fvelrn 7021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvelrn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem afvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6531	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
2	1	anim1i 622	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹))
3	2	ancomd 463	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
4		df-dfat 47596	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
5	3, 4	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 defAt 𝐴)
6		afvfundmfveq 47615	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
7	6	eqcomd 2747	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
9		fvelrn 7021	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
10	8, 9	eqeltrrd 2842	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4558  dom cdm 5621  ran crn 5622   ↾ cres 5623  Fun wfun 6483  ‘cfv 6489   defAt wdfat 47593  '''cafv 47594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-fv 6497  df-aiota 47562  df-dfat 47596  df-afv 47597

This theorem is referenced by:  fnafvelrn  47646