Theorem afvelrn 42837

Description: A function's value belongs to its range, analogous to fvelrn 6700. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvelrn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem afvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6259	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
2	1	anim1i 614	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹))
3	2	ancomd 462	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
4		df-dfat 42788	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
5	3, 4	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 defAt 𝐴)
6		afvfundmfveq 42807	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
7	6	eqcomd 2799	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
9		fvelrn 6700	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
10	8, 9	eqeltrrd 2882	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  {csn 4466  dom cdm 5435  ran crn 5436   ↾ cres 5437  Fun wfun 6211  ‘cfv 6217   defAt wdfat 42785  '''cafv 42786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-br 4957  df-opab 5019  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-fv 6225  df-aiota 42755  df-dfat 42788  df-afv 42789

This theorem is referenced by:  fnafvelrn  42838