Theorem afvelrn 47177

Description: A function's value belongs to its range, analogous to fvelrn 7071. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvelrn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem afvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6583	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
2	1	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹))
3	2	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
4		df-dfat 47128	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
5	3, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 defAt 𝐴)
6		afvfundmfveq 47147	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
7	6	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
9		fvelrn 7071	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
10	8, 9	eqeltrrd 2836	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4606  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536   defAt wdfat 47125  '''cafv 47126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544  df-aiota 47094  df-dfat 47128  df-afv 47129

This theorem is referenced by:  fnafvelrn  47178