Theorem afvelrn 44547

Description: A function's value belongs to its range, analogous to fvelrn 6936. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvelrn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem afvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6460	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))
2	1	anim1i 614	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹))
3	2	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
4		df-dfat 44498	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
5	3, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐹 defAt 𝐴)
6		afvfundmfveq 44517	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
7	6	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴))
9		fvelrn 6936	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
10	8, 9	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹'''𝐴) ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418   defAt wdfat 44495  '''cafv 44496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-fv 6426  df-aiota 44464  df-dfat 44498  df-afv 44499

This theorem is referenced by:  fnafvelrn  44548