Theorem areass 26869

Description: A measurable region is a subset of ℝ × ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areass	⊢ (𝑆 ∈ dom area → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem areass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmarea 26867	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   “ cima 5641  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  volcvol 25364  𝐿¹cibl 25518  areacarea 26865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-fv 6519  df-sum 15653  df-itg 25524  df-area 26866

This theorem is referenced by: (None)