Theorem areass 27333

Description: A measurable region is a subset of ℝ × ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areass	⊢ (𝑆 ∈ dom area → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem areass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmarea 27331	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
2	1	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  {csn 4588   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656   “ cima 5659  ‘cfv 6564  ℝcr 11236  volcvol 25828  𝐿¹cibl 25982  areacarea 27329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-fv 6572  df-sum 15895  df-itg 25988  df-area 27330

This theorem is used by: (None)