Theorem areambl 27085

Description: The fibers of a measurable region are finitely measurable subsets of ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areambl	⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))

Proof of Theorem areambl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmarea 27084	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
2	1	simp2bi 1162	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ))
3		sneq 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
4	3	imaeq2d 6060	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆 “ {𝑥}) = (𝑆 “ {𝐴}))
5	4	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ)))
6	5	rspccva 3589	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ))
7	2, 6	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ))
8		volf 25653	. . 3 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9		ffn 6703	. . 3 ⊢ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
10		elpreima 7051	. . 3 ⊢ (vol Fn dom vol → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. 2 ⊢ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))
12	7, 11	sylib 221	1 ⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  +∞cpnf 11236  [,]cicc 13371  volcvol 25587  𝐿¹cibl 25741  areacarea 27082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-sum 15734  df-ovol 25588  df-vol 25589  df-itg 25747  df-area 27083

This theorem is referenced by:  areaf  27088