Theorem areambl 26844

Description: The fibers of a measurable region are finitely measurable subsets of ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areambl	⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))

Proof of Theorem areambl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmarea 26843	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
2	1	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ))
3		sneq 4595	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
4	3	imaeq2d 6020	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆 “ {𝑥}) = (𝑆 “ {𝐴}))
5	4	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ)))
6	5	rspccva 3584	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ))
7	2, 6	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ))
8		volf 25406	. . 3 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9		ffn 6670	. . 3 ⊢ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
10		elpreima 7012	. . 3 ⊢ (vol Fn dom vol → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. 2 ⊢ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))
12	7, 11	sylib 218	1 ⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  {csn 4585   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  [,]cicc 13285  volcvol 25340  𝐿¹cibl 25494  areacarea 26841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-sum 15629  df-ovol 25341  df-vol 25342  df-itg 25500  df-area 26842

This theorem is referenced by:  areaf  26847