MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  areambl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areambl 26908
Description: The fibers of a measurable region are finitely measurable subsets of . (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
areambl ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))

Proof of Theorem areambl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmarea 26907 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
21simp2bi 1143 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ))
3 sneq 4640 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
43imaeq2d 6066 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆 “ {𝑥}) = (𝑆 “ {𝐴}))
54eleq1d 2813 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ) ↔ (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (vol “ ℝ)))
65rspccva 3608 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (vol “ ℝ))
72, 6sylan 578 . 2 ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (vol “ ℝ))
8 volf 25476 . . 3 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9 ffn 6725 . . 3 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
10 elpreima 7070 . . 3 (vol Fn dom vol → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ)))
118, 9, 10mp2b 10 . 2 ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))
127, 11sylib 217 1 ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057  wss 3947  {csn 4630  cmpt 5233   × cxp 5678  ccnv 5679  dom cdm 5680  cima 5683   Fn wfn 6546  wf 6547  cfv 6551  (class class class)co 7424  cr 11143  0cc0 11144  +∞cpnf 11281  [,]cicc 13365  volcvol 25410  𝐿1cibl 25564  areacarea 26905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-sum 15671  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-itg 25570  df-area 26906
This theorem is referenced by:  areaf  26911
  Copyright terms: Public domain W3C validator