Theorem areambl 27019

Description: The fibers of a measurable region are finitely measurable subsets of ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areambl	⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))

Proof of Theorem areambl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmarea 27018	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑥}))) ∈ 𝐿1))
2	1	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ))
3		sneq 4658	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
4	3	imaeq2d 6089	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆 “ {𝑥}) = (𝑆 “ {𝐴}))
5	4	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ)))
6	5	rspccva 3634	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑥}) ∈ (◡vol “ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ))
7	2, 6	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ))
8		volf 25583	. . 3 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
9		ffn 6747	. . 3 ⊢ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
10		elpreima 7091	. . 3 ⊢ (vol Fn dom vol → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. 2 ⊢ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ (◡vol “ ℝ) ↔ ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))
12	7, 11	sylib 218	1 ⊢ ((𝑆 ∈ dom area ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑆 “ {𝐴}) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑆 “ {𝐴})) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  [,]cicc 13410  volcvol 25517  𝐿¹cibl 25671  areacarea 27016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-sum 15735  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-itg 25677  df-area 27017

This theorem is referenced by:  areaf  27022