Theorem bcval 14276

Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 ≤ 𝐾 ≤ 𝑁 does not hold. See bcval2 14277 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Proof of Theorem bcval

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
2	1	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
3		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
4		fvoveq1 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝑛 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝑘)))
5	4	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
6	3, 5	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
7	2, 6	ifbieq1d 4516	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
8		eleq1 2817	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
9		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝐾))
10	9	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝐾)))
11		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘𝑘) = (!‘𝐾))
12	10, 11	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
13	12	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
14	8, 13	ifbieq1d 4516	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
15		df-bc 14275	. 2 ⊢ C = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
16		ovex 7423	. . 3 ⊢ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ V
17		c0ex 11175	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
18	16, 17	ifex 4542	. 2 ⊢ if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ V
19	7, 14, 15, 18	ovmpo 7552	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475  !cfa 14245  Ccbc 14274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-bc 14275

This theorem is referenced by:  bcval2  14277  bcval3  14278  bcneg1  35730  bccolsum  35733  fwddifnp1  36160