MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval 14265
Description: Value of the binomial coefficient, ๐‘ choose ๐พ. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 โ‰ค ๐พ โ‰ค ๐‘ does not hold. See bcval2 14266 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))

Proof of Theorem bcval
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7410 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (0...๐‘›) = (0...๐‘))
21eleq2d 2811 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)))
3 fveq2 6882 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘))
4 fvoveq1 7425 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
54oveq1d 7417 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)))
63, 5oveq12d 7420 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))))
72, 6ifbieq1d 4545 . 2 (๐‘› = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›), ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0) = if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0))
8 eleq1 2813 . . 3 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†” ๐พ โˆˆ (0...๐‘)))
9 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐พ))
109fveq2d 6886 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
11 fveq2 6882 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜๐พ))
1210, 11oveq12d 7420 . . . 4 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))
1312oveq2d 7418 . . 3 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
148, 13ifbieq1d 4545 . 2 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
15 df-bc 14264 . 2 C = (๐‘› โˆˆ โ„•0, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›), ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0))
16 ovex 7435 . . 3 ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) โˆˆ V
17 c0ex 11207 . . 3 0 โˆˆ V
1816, 17ifex 4571 . 2 if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ V
197, 14, 15, 18ovmpo 7561 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4521  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  ...cfz 13485  !cfa 14234  Ccbc 14263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-mulcl 11169  ax-i2m1 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-bc 14264
This theorem is referenced by:  bcval2  14266  bcval3  14267  bcneg1  35228  bccolsum  35231  fwddifnp1  35659
  Copyright terms: Public domain W3C validator