Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifnp1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fwddifnp1 35670
Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnp1.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fwddifnp1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
fwddifnp1.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
fwddifnp1.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
fwddifnp1.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifnp1 (πœ‘ β†’ (((𝑁 + 1) β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜(𝑋 + 1)) βˆ’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜
Proof of Theorem fwddifnp1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fwddifnp1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 elfzelz 13507 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
3 bcpasc 14286 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) + (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑁 + 1)Cπ‘˜))
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) + (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑁 + 1)Cπ‘˜))
54oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁Cπ‘˜) + (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (((𝑁 + 1)Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
6 bccl 14287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑁Cπ‘˜) ∈ β„•0)
71, 2, 6syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁Cπ‘˜) ∈ β„•0)
87nn0cnd 12538 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁Cπ‘˜) ∈ β„‚)
9 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€)
11 bccl 14287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
121, 10, 11syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
1312nn0cnd 12538 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
148, 13addcomd 11420 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) + (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) + (𝑁Cπ‘˜)))
1514oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁Cπ‘˜) + (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) + (𝑁Cπ‘˜)) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
16 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1817nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
19 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
2018, 2, 19syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
21 m1expcl 14057 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜) ∈ β„€ β†’ (-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) ∈ β„€)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) ∈ β„€)
2322zcnd 12671 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) ∈ β„‚)
24 fwddifnp1.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
26 fwddifnp1.5 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
2725, 26ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)) ∈ β„‚)
2823, 27mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) ∈ β„‚)
2913, 8, 28adddird 11243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) + (𝑁Cπ‘˜)) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
3015, 29eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁Cπ‘˜) + (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
311adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3231nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
3433zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
35 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
3632, 34, 35subsub3d 11605 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = ((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜))
3736eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)))
3837oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) = (-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))))
3938oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
4039oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
4132, 35, 34addsubd 11596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜) = ((𝑁 βˆ’ π‘˜) + 1))
4241oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) = (-1↑((𝑁 βˆ’ π‘˜) + 1)))
43 neg1cn 12330 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ β„‚
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ -1 ∈ β„‚)
45 neg1ne0 12332 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 β‰  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ -1 β‰  0)
471nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
48 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
4947, 2, 48syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
5044, 46, 49expp1zd 14125 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑((𝑁 βˆ’ π‘˜) + 1)) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· -1))
5142, 50eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· -1))
52 m1expcl 14057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) ∈ β„€)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) ∈ β„€)
5453zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) ∈ β„‚)
5554, 44mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· -1) = (-1 Β· (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜))))
5654mulm1d 11670 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1 Β· (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜))) = -(-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)))
5751, 55, 563eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) = -(-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)))
5857oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = (-(-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
5954, 27mulneg1d 11671 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-(-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = -((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
6058, 59eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = -((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
6160oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· -((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
6254, 27mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) ∈ β„‚)
638, 62mulneg2d 11672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· -((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = -((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
6461, 63eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = -((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
6540, 64oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))) = (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + -((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
66 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„€)
6747, 10, 66syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„€)
68 m1expcl 14057 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„€ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„€)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„€)
7069zcnd 12671 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
7170, 27mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) ∈ β„‚)
7213, 71mulcld 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ β„‚)
738, 62mulcld 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ β„‚)
7472, 73negsubd 11581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + -((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))) = (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) βˆ’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
7530, 65, 743eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁Cπ‘˜) + (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) βˆ’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
765, 75eqtr3d 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑁 + 1)Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) βˆ’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
7776sumeq2dv 15655 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) βˆ’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
78 fzfid 13944 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7978, 72, 73fsumsub 15740 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) βˆ’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
80 nn0uz 12868 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8117, 80eleqtrdi 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
82 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (0 βˆ’ 1))
8382oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑁C(0 βˆ’ 1)))
8482oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1)))
8584oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) = (-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))))
86 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + 0))
8786fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))
8885, 87oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))))
8983, 88oveq12d 7423 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = ((𝑁C(0 βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
9081, 72, 89fsum1p 15705 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (((𝑁C(0 βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
91 df-neg 11451 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 βˆ’ 1)
9291oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑁C-1) = (𝑁C(0 βˆ’ 1))
93 bcneg1 35239 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁C-1) = 0)
941, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁C-1) = 0)
9592, 94eqtr3id 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁C(0 βˆ’ 1)) = 0)
9695oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁C(0 βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = (0 Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
97 0z 12573 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„€
98 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„€
99 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (0 βˆ’ 1) ∈ β„€)
10097, 98, 99mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 βˆ’ 1) ∈ β„€
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 βˆ’ 1) ∈ β„€)
10247, 101zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
103 m1expcl 14057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1)) ∈ β„€ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) ∈ β„€)
105104zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
106 eluzfz1 13514 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10781, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10826ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
10986eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 0 β†’ ((𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110109rspcva 3604 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111107, 108, 110syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
11224, 111ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 0)) ∈ β„‚)
113105, 112mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))) ∈ β„‚)
114113mul02d 11416 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = 0)
11596, 114eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁C(0 βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = 0)
116115oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑁C(0 βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (0 βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))) = (0 + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
117 fzfid 13944 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118 olc 865 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) β†’ (π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119 elfzp12 13586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
12081, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121120biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122118, 121sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123122, 72syldan 590 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ β„‚)
124117, 123fsumcl 15685 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ β„‚)
125124addlidd 11419 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
12690, 116, 1253eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
127 fwddifnp1.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
128127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
129 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
130 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
131130zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
132131adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
133128, 129, 132ppncand 11615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑋 + π‘˜))
134133fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))
135134oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1)))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
136135oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1))))) = ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
137136sumeq2dv 15655 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
138 1zzd 12597 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
139 0zd 12574 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
140 elfzelz 13507 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
141 bccl 14287 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑁C𝑗) ∈ β„•0)
142141nn0cnd 12538 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑁C𝑗) ∈ β„‚)
1431, 140, 142syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁C𝑗) ∈ β„‚)
144 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑗) ∈ β„€)
14547, 140, 144syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑗) ∈ β„€)
146 m1expcl 14057 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 βˆ’ 𝑗) ∈ β„€ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„€)
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„€)
148147zcnd 12671 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚)
14924adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
150127adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
151 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 1 ∈ β„‚)
152140zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
153152adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
154150, 151, 153addassd 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
155151, 153addcomd 11420 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
156155oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
157154, 156eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
158 fzp1elp1 13560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
159 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
160159eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
161160rspccv 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
162108, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
163162imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
164158, 163sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
165157, 164eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
166149, 165ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ β„‚)
167148, 166mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ β„‚)
168143, 167mulcld 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁C𝑗) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ β„‚)
169 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (𝑁C𝑗) = (𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)))
170 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑗) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)))
171170oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) = (-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))))
172 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1)))
173172fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1))))
174171, 173oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1)))))
175169, 174oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((𝑁C𝑗) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1))))))
176138, 139, 47, 168, 175fsumshft 15732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1))))))
177 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑁C𝑗) = (𝑁Cπ‘˜))
178 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑗) = (𝑁 βˆ’ π‘˜))
179178oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) = (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)))
180 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + π‘˜))
181180fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))
182179, 181oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜))))
183177, 182oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑁C𝑗) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))))
184183cbvsumv 15648 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ 𝑗)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜))))
185176, 184eqtr3di 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + (π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))))
186126, 137, 1853eqtr2d 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))))
1871, 80eleqtrdi 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
188 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁Cπ‘˜) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) = (𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1)))
190189oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) = (-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))))
191 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192191fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193190, 192oveq12d 7423 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194188, 193oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195187, 73, 194fsump1 15708 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196 bcval 14269 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!β€˜π‘) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (!β€˜(𝑁 + 1)))), 0))
1971, 18, 196syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!β€˜π‘) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (!β€˜(𝑁 + 1)))), 0))
198 fzp1nel 13591 . . . . . . . . . 10 Β¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199198iffalsei 4533 . . . . . . . . 9 if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!β€˜π‘) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (!β€˜(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200197, 199eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201200oveq1d 7420 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁C(𝑁 + 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
20247, 18zsubcld 12675 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1)) ∈ β„€)
203 m1expcl 14057 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1)) ∈ β„€ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) ∈ β„€)
204203zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1)) ∈ β„€ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) ∈ β„‚)
205202, 204syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) ∈ β„‚)
206 eluzfz2 13515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20781, 206syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208191eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑁 + 1) β†’ ((𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209208rspcv 3602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210207, 108, 209sylc 65 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
21124, 210ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ β„‚)
212205, 211mulcld 11238 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ β„‚)
213212mul02d 11416 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214201, 213eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁C(𝑁 + 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215214oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 + 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + 0))
216 fzfid 13944 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
217 fzelp1 13559 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218217, 73sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ β„‚)
219216, 218fsumcl 15685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ β„‚)
220219addridd 11418 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) + 0) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
221195, 215, 2203eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
222186, 221oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
22377, 79, 2223eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
224 fwddifnp1.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
22517, 224, 24, 127, 26fwddifnval 35668 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑁 + 1) β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)Cπ‘˜) Β· ((-1↑((𝑁 + 1) βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
226 peano2cn 11390 . . . . 5 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (𝑋 + 1) ∈ β„‚)
227127, 226syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 1) ∈ β„‚)
228127adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
229 1cnd 11213 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 1 ∈ β„‚)
230 elfzelz 13507 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
231230zcnd 12671 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
232231adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
233228, 229, 232addassd 11240 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑋 + 1) + π‘˜) = (𝑋 + (1 + π‘˜)))
234229, 232addcomd 11420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (1 + π‘˜) = (π‘˜ + 1))
235234oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + (1 + π‘˜)) = (𝑋 + (π‘˜ + 1)))
236233, 235eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑋 + 1) + π‘˜) = (𝑋 + (π‘˜ + 1)))
237 fzp1elp1 13560 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 + 1) = (π‘˜ + 1))
239238eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (π‘˜ + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240239anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241238oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (π‘˜ + 1)))
242241eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (π‘˜ + 1)) ∈ 𝐴))
243240, 242imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑋 + (π‘˜ + 1)) ∈ 𝐴)))
244243, 163chvarvv 1994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑋 + (π‘˜ + 1)) ∈ 𝐴)
245237, 244sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + (π‘˜ + 1)) ∈ 𝐴)
246236, 245eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑋 + 1) + π‘˜) ∈ 𝐴)
2471, 224, 24, 227, 246fwddifnval 35668 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜(𝑋 + 1)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))))
248217, 26sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
2491, 224, 24, 127, 248fwddifnval 35668 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
250247, 249oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜(𝑋 + 1)) βˆ’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜((𝑋 + 1) + π‘˜)))) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))))
251223, 225, 2503eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (((𝑁 + 1) β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜(𝑋 + 1)) βˆ’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  Ccbc 14267  Ξ£csu 15638   β–³n cfwddifn 35665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-fwddifn 35666
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator