Theorem fwddifnp1 37026

Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifnp1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fwddifnp1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifnp1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifnp1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
fwddifnp1.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifnp1	⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fwddifnp1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fwddifnp1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 13663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		bcpasc 14472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
5	4	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6		bccl 14473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
9		peano2zm 12746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
10	2, 9	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11		bccl 14473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
12	1, 10, 11	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
14	8, 13	addcomd 11519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)))
15	14	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
16		peano2nn0 12653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
19		zsubcl 12745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
20	18, 2, 19	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
21		m1expcl 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ → ( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
24		fwddifnp1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26		fwddifnp1.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
27	25, 26	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) ∈ ℂ)
28	23, 27	mulcld 11336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
29	13, 8, 28	adddird 11341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
30	15, 29	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
31	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	2	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
35		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
36	32, 34, 35	subsub3d 11706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
37	36	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
38	37	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
39	38	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
40	39	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
41	32, 35, 34	addsubd 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
42	41	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ( -1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)))
43		neg1cn 12312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
45		neg1ne0 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ≠ 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ≠ 0)
47	1	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48		zsubcl 12745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
49	47, 2, 48	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
50	44, 46, 49	expp1zd 14305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
51	42, 50	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
52		m1expcl 14236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → ( -1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
53	49, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
55	54, 44	mulcomd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1) = ( -1 · ( -1↑(𝑁 − 𝑘))))
56	54	mulm1d 11775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1 · ( -1↑(𝑁 − 𝑘))) = -( -1↑(𝑁 − 𝑘)))
57	51, 55, 56	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = -( -1↑(𝑁 − 𝑘)))
58	57	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ( -( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
59	54, 27	mulneg1d 11776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -(( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
60	58, 59	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -(( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
61	60	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C𝑘) · -(( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
62	54, 27	mulcld 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
63	8, 62	mulneg2d 11777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · -(( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
64	61, 63	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
65	40, 64	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
66		zsubcl 12745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
67	47, 10, 66	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
68		m1expcl 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ → ( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
71	70, 27	mulcld 11336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
72	13, 71	mulcld 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
73	8, 62	mulcld 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
74	72, 73	negsubd 11682	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
75	30, 65, 74	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
76	5, 75	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
77	76	sumeq2dv 15878	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
78		fzfid 14123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
79	78, 72, 73	fsumsub 15963	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
80		nn0uz 13010	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
81	17, 80	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
82		oveq1 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
83	82	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
84	82	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = (𝑁 − (0 − 1)))
85	84	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = ( -1↑(𝑁 − (0 − 1))))
86		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
87	86	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
88	85, 87	oveq12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
89	83, 88	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(0 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
90	81, 72, 89	fsum1p 15928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(0 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
91		df-neg 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
92	91	oveq2i 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁C -1) = (𝑁C(0 − 1))
93		bcneg1 36597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C -1) = 0)
94	1, 93	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C -1) = 0)
95	92, 94	eqtr3id 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
96	95	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (0 · (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
97		0z 12711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
98		1z 12733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
99		zsubcl 12745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
100	97, 98, 99	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
102	47, 101	zsubcld 12815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ)
103		m1expcl 14236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ → ( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
105	104	zcnd 12811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℂ)
106		eluzfz1 13671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
107	81, 106	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
108	26	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
109	86	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110	109	rspcva 3574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111	107, 108, 110	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
112	24, 111	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) ∈ ℂ)
113	105, 112	mulcld 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))) ∈ ℂ)
114	113	mul02d 11515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
115	96, 114	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
116	115	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C(0 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
117		fzfid 14123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118		olc 882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119		elfzp12 13744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
120	81, 119	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121	120	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122	118, 121	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123	122, 72	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
124	117, 123	fsumcl 15908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
125	124	addlidd 11518	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
126	90, 116, 125	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
127		fwddifnp1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
128	127	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
129		1cnd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
130		elfzelz 13663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
131	130	zcnd 12811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
132	131	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133	128, 129, 132	ppncand 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + 𝑘))
134	133	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))
135	134	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))) = (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
136	135	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
137	136	sumeq2dv 15878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
138		1zzd 12734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
139		0zd 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
140		elfzelz 13663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
141		bccl 14473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℕ0)
142	141	nn0cnd 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
143	1, 140, 142	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
144		zsubcl 12745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
145	47, 140, 144	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
146		m1expcl 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ → ( -1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
147	145, 146	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ( -1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
148	147	zcnd 12811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ( -1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℂ)
149	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
150	127	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
151		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
152	140	zcnd 12811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
153	152	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
154	150, 151, 153	addassd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
155	151, 153	addcomd 11519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
156	155	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
157	154, 156	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
158		fzp1elp1 13718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
159		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
160	159	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
161	160	rspccv 3573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
162	108, 161	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
163	162	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
164	158, 163	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
165	157, 164	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
166	149, 165	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ ℂ)
167	148, 166	mulcld 11336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ ℂ)
168	143, 167	mulcld 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ ℂ)
169		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171	170	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ( -1↑(𝑁 − 𝑗)) = ( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
172		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))
173	172	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))
174	171, 173	oveq12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))))
175	169, 174	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
176	138, 139, 47, 168, 175	fsumshft 15955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
177		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C𝑗) = (𝑁C𝑘))
178		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − 𝑘))
179	178	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ( -1↑(𝑁 − 𝑗)) = ( -1↑(𝑁 − 𝑘)))
180		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + 𝑘))
181	180	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))
182	179, 181	oveq12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
183	177, 182	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C𝑗) · (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
184	183	cbvsumv 15872	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · (( -1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
185	176, 184	eqtr3di 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
186	126, 137, 185	3eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
187	1, 80	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
188		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189		oveq2 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 + 1)))
190	189	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ( -1↑(𝑁 − 𝑘)) = ( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))))
191		oveq2 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192	191	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193	190, 192	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194	188, 193	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195	187, 73, 194	fsump1 15931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196		bcval 14455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
197	1, 18, 196	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
198		fzp1nel 13752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199	198	iffalsei 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200	197, 199	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201	200	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 · (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
202	47, 18	zsubcld 12815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
203		m1expcl 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → ( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
204	203	zcnd 12811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → ( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
205	202, 204	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
206		eluzfz2 13672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
207	81, 206	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208	191	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209	208	rspcv 3572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210	207, 108, 209	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
211	24, 210	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
212	205, 211	mulcld 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
213	212	mul02d 11515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214	201, 213	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215	214	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0))
216		fzfid 14123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
217		fzelp1 13717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218	217, 73	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
219	216, 218	fsumcl 15908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
220	219	addridd 11517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
221	195, 215, 220	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
222	186, 221	oveq12d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · (( -1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
223	77, 79, 222	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
224		fwddifnp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
225	17, 224, 24, 127, 26	fwddifnval 37024	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · (( -1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
226		peano2cn 11489	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
227	127, 226	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
228	127	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
229		1cnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
230		elfzelz 13663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
231	230	zcnd 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
232	231	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
233	228, 229, 232	addassd 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (1 + 𝑘)))
234	229, 232	addcomd 11519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
235	234	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑘)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
236	233, 235	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
237		fzp1elp1 13718	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238		oveq1 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
239	238	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240	239	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241	238	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
242	241	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴))
243	240, 242	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)))
244	243, 163	chvarvv 2021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
245	237, 244	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
246	236, 245	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) ∈ 𝐴)
247	1, 224, 24, 227, 246	fwddifnval 37024	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
248	217, 26	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
249	1, 224, 24, 127, 248	fwddifnval 37024	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
250	247, 249	oveq12d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (( -1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
251	223, 225, 250	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896  ifcif 4481  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ...cfz 13646  ↑cexp 14211  !cfa 14424  Ccbc 14453  Σcsu 15862   △ⁿ cfwddifn 37021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-fwddifn 37022

This theorem is used by: (None)