Theorem fwddifnp1 34463

Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifnp1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fwddifnp1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifnp1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifnp1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
fwddifnp1.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifnp1	⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fwddifnp1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fwddifnp1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 13255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		bcpasc 14033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
5	4	oveq1d 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6		bccl 14034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
9		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11		bccl 14034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
12	1, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
14	8, 13	addcomd 11177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)))
15	14	oveq1d 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
16		peano2nn0 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
19		zsubcl 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
20	18, 2, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
21		m1expcl 13803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
24		fwddifnp1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26		fwddifnp1.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
27	25, 26	ffvelrnd 6959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) ∈ ℂ)
28	23, 27	mulcld 10996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
29	13, 8, 28	adddird 11001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
30	15, 29	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
31	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	2	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
35		1cnd 10971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
36	32, 34, 35	subsub3d 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
37	36	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
38	37	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
39	38	oveq1d 7286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
40	39	oveq2d 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
41	32, 35, 34	addsubd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
42	41	oveq2d 7287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)))
43		neg1cn 12087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
45		neg1ne0 12089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ≠ 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ≠ 0)
47	1	nn0zd 12423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48		zsubcl 12362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
49	47, 2, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
50	44, 46, 49	expp1zd 13871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
51	42, 50	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
52		m1expcl 13803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
55	54, 44	mulcomd 10997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 − 𝑘))))
56	54	mulm1d 11427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1 · (-1↑(𝑁 − 𝑘))) = -(-1↑(𝑁 − 𝑘)))
57	51, 55, 56	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = -(-1↑(𝑁 − 𝑘)))
58	57	oveq1d 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (-(-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
59	54, 27	mulneg1d 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-(-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
60	58, 59	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
61	60	oveq2d 7287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
62	54, 27	mulcld 10996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
63	8, 62	mulneg2d 11429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
64	61, 63	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
65	40, 64	oveq12d 7289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
66		zsubcl 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
67	47, 10, 66	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
68		m1expcl 13803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
71	70, 27	mulcld 10996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
72	13, 71	mulcld 10996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
73	8, 62	mulcld 10996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
74	72, 73	negsubd 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
75	30, 65, 74	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
76	5, 75	eqtr3d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
77	76	sumeq2dv 15413	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
78		fzfid 13691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
79	78, 72, 73	fsumsub 15498	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
80		nn0uz 12619	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
81	17, 80	eleqtrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
82		oveq1 7278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
83	82	oveq2d 7287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
84	82	oveq2d 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = (𝑁 − (0 − 1)))
85	84	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (-1↑(𝑁 − (0 − 1))))
86		oveq2 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
87	86	fveq2d 6775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
88	85, 87	oveq12d 7289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
89	83, 88	oveq12d 7289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
90	81, 72, 89	fsum1p 15463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
91		df-neg 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
92	91	oveq2i 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁C-1) = (𝑁C(0 − 1))
93		bcneg1 33698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
94	1, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
95	92, 94	eqtr3id 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
96	95	oveq1d 7286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
97		0z 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
98		1z 12350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
99		zsubcl 12362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
100	97, 98, 99	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
102	47, 101	zsubcld 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ)
103		m1expcl 13803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
105	104	zcnd 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℂ)
106		eluzfz1 13262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
107	81, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
108	26	ralrimiva 3110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
109	86	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110	109	rspcva 3559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111	107, 108, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
112	24, 111	ffvelrnd 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) ∈ ℂ)
113	105, 112	mulcld 10996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))) ∈ ℂ)
114	113	mul02d 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
115	96, 114	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
116	115	oveq1d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
117		fzfid 13691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118		olc 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119		elfzp12 13334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
120	81, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121	120	biimpar 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122	118, 121	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123	122, 72	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
124	117, 123	fsumcl 15443	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
125	124	addid2d 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
126	90, 116, 125	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
127		fwddifnp1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
129		1cnd 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
130		elfzelz 13255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
131	130	zcnd 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133	128, 129, 132	ppncand 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + 𝑘))
134	133	fveq2d 6775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))
135	134	oveq2d 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
136	135	oveq2d 7287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
137	136	sumeq2dv 15413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
138		1zzd 12351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
139		0zd 12331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
140		elfzelz 13255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
141		bccl 14034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℕ0)
142	141	nn0cnd 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
143	1, 140, 142	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
144		zsubcl 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
145	47, 140, 144	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
146		m1expcl 13803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
148	147	zcnd 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℂ)
149	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
150	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
151		1cnd 10971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
152	140	zcnd 12426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
154	150, 151, 153	addassd 10998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
155	151, 153	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
156	155	oveq2d 7287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
157	154, 156	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
158		fzp1elp1 13308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
159		oveq2 7279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
160	159	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
161	160	rspccv 3558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
162	108, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
163	162	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
164	158, 163	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
165	157, 164	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
166	149, 165	ffvelrnd 6959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ ℂ)
167	148, 166	mulcld 10996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ ℂ)
168	143, 167	mulcld 10996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ ℂ)
169		oveq2 7279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170		oveq2 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171	170	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
172		oveq2 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))
173	172	fveq2d 6775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))
174	171, 173	oveq12d 7289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))))
175	169, 174	oveq12d 7289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
176	138, 139, 47, 168, 175	fsumshft 15490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
177		oveq2 7279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C𝑗) = (𝑁C𝑘))
178		oveq2 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − 𝑘))
179	178	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) = (-1↑(𝑁 − 𝑘)))
180		oveq2 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + 𝑘))
181	180	fveq2d 6775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))
182	179, 181	oveq12d 7289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
183	177, 182	oveq12d 7289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
184	183	cbvsumv 15406	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
185	176, 184	eqtr3di 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
186	126, 137, 185	3eqtr2d 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
187	1, 80	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
188		oveq2 7279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189		oveq2 7279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 + 1)))
190	189	oveq2d 7287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))))
191		oveq2 7279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192	191	fveq2d 6775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193	190, 192	oveq12d 7289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194	188, 193	oveq12d 7289	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195	187, 73, 194	fsump1 15466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196		bcval 14016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
197	1, 18, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
198		fzp1nel 13339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199	198	iffalsei 4475	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200	197, 199	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201	200	oveq1d 7286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
202	47, 18	zsubcld 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
203		m1expcl 13803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
204	203	zcnd 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
205	202, 204	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
206		eluzfz2 13263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
207	81, 206	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208	191	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209	208	rspcv 3556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210	207, 108, 209	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
211	24, 210	ffvelrnd 6959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
212	205, 211	mulcld 10996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
213	212	mul02d 11173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214	201, 213	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215	214	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0))
216		fzfid 13691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
217		fzelp1 13307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218	217, 73	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
219	216, 218	fsumcl 15443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
220	219	addid1d 11175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
221	195, 215, 220	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
222	186, 221	oveq12d 7289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
223	77, 79, 222	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
224		fwddifnp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
225	17, 224, 24, 127, 26	fwddifnval 34461	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
226		peano2cn 11147	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
227	127, 226	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
228	127	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
229		1cnd 10971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
230		elfzelz 13255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
231	230	zcnd 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
232	231	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
233	228, 229, 232	addassd 10998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (1 + 𝑘)))
234	229, 232	addcomd 11177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
235	234	oveq2d 7287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑘)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
236	233, 235	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
237		fzp1elp1 13308	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238		oveq1 7278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
239	238	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240	239	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241	238	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
242	241	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴))
243	240, 242	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)))
244	243, 163	chvarvv 2006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
245	237, 244	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
246	236, 245	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) ∈ 𝐴)
247	1, 224, 24, 227, 246	fwddifnval 34461	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
248	217, 26	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
249	1, 224, 24, 127, 248	fwddifnval 34461	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
250	247, 249	oveq12d 7289	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
251	223, 225, 250	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066   ⊆ wss 3892  ifcif 4465  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12581  ...cfz 13238  ↑cexp 13780  !cfa 13985  Ccbc 14014  Σcsu 15395   △n cfwddifn 34458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-fwddifn 34459

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