Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifnp1 33087
Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnp1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fwddifnp1.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifnp1.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifnp1.4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
fwddifnp1.5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifnp1 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fwddifnp1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fwddifnp1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 elfzelz 12717 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 bcpasc 13489 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
41, 2, 3syl2an 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
54oveq1d 6985 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6 bccl 13490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71, 2, 6syl2an 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 11762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
9 peano2zm 11831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11 bccl 13490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
121, 10, 11syl2an 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
148, 13addcomd 10634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)))
1514oveq1d 6985 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
16 peano2nn0 11742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 11891 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
19 zsubcl 11830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
2018, 2, 19syl2an 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
21 m1expcl 13260 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
2322zcnd 11894 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
24 fwddifnp1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2524adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26 fwddifnp1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
2725, 26ffvelrnd 6671 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) ∈ ℂ)
2823, 27mulcld 10452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
2913, 8, 28adddird 10457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
3015, 29eqtrd 2808 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
311adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 11762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
332adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3433zcnd 11894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
35 1cnd 10426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
3632, 34, 35subsub3d 10820 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
3736eqcomd 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
3837oveq2d 6986 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
3938oveq1d 6985 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
4039oveq2d 6986 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
4132, 35, 34addsubd 10811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
4241oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑((𝑁𝑘) + 1)))
43 neg1cn 11554 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
45 neg1ne0 11556 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ≠ 0)
471nn0zd 11891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
48 zsubcl 11830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
4947, 2, 48syl2an 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
5044, 46, 49expp1zd 13327 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1))
5142, 50eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1))
52 m1expcl 13260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℤ)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℤ)
5453zcnd 11894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
5554, 44mulcomd 10453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁𝑘))))
5654mulm1d 10885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1 · (-1↑(𝑁𝑘))) = -(-1↑(𝑁𝑘)))
5751, 55, 563eqtrd 2812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = -(-1↑(𝑁𝑘)))
5857oveq1d 6985 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (-(-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
5954, 27mulneg1d 10886 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-(-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
6058, 59eqtrd 2808 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
6160oveq2d 6986 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6254, 27mulcld 10452 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
638, 62mulneg2d 10887 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6461, 63eqtrd 2808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6540, 64oveq12d 6988 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
66 zsubcl 11830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
6747, 10, 66syl2an 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
68 m1expcl 13260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
7069zcnd 11894 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
7170, 27mulcld 10452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
7213, 71mulcld 10452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
738, 62mulcld 10452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
7472, 73negsubd 10796 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
7530, 65, 743eqtrd 2812 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
765, 75eqtr3d 2810 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
7776sumeq2dv 14910 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
78 fzfid 13149 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7978, 72, 73fsumsub 14993 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
80 nn0uz 12087 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
8117, 80syl6eleq 2870 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
82 oveq1 6977 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
8382oveq2d 6986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
8482oveq2d 6986 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = (𝑁 − (0 − 1)))
8584oveq2d 6986 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (-1↑(𝑁 − (0 − 1))))
86 oveq2 6978 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
8786fveq2d 6497 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
8885, 87oveq12d 6988 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
8983, 88oveq12d 6988 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
9081, 72, 89fsum1p 14958 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
91 df-neg 10665 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
9291oveq2i 6981 . . . . . . . . . 10 (𝑁C-1) = (𝑁C(0 − 1))
93 bcneg1 32428 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
941, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
9592, 94syl5eqr 2822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
9695oveq1d 6985 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
97 0z 11797 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
98 1z 11818 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
99 zsubcl 11830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
10097, 98, 99mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 1) ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
10247, 101zsubcld 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ)
103 m1expcl 13260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
105104zcnd 11894 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℂ)
106 eluzfz1 12723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10781, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10826ralrimiva 3126 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
10986eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110109rspcva 3527 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111107, 108, 110syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
11224, 111ffvelrnd 6671 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) ∈ ℂ)
113105, 112mulcld 10452 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))) ∈ ℂ)
114113mul02d 10630 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
11596, 114eqtrd 2808 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
116115oveq1d 6985 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
117 fzfid 13149 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118 olc 854 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119 elfzp12 12795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
12081, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121120biimpar 470 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122118, 121sylan2 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123122, 72syldan 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
124117, 123fsumcl 14940 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
125124addid2d 10633 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
12690, 116, 1253eqtrd 2812 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
127 fwddifnp1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
128127adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
129 1cnd 10426 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
130 elfzelz 12717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
131130zcnd 11894 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
132131adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133128, 129, 132ppncand 10830 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + 𝑘))
134133fveq2d 6497 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))
135134oveq2d 6986 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
136135oveq2d 6986 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
137136sumeq2dv 14910 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
138 oveq2 6978 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C𝑗) = (𝑁C𝑘))
139 oveq2 6978 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗) = (𝑁𝑘))
140139oveq2d 6986 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑁𝑗)) = (-1↑(𝑁𝑘)))
141 oveq2 6978 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + 𝑘))
142141fveq2d 6497 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))
143140, 142oveq12d 6988 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
144138, 143oveq12d 6988 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
145144cbvsumv 14903 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
146 1zzd 11819 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
147 0zd 11798 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
148 elfzelz 12717 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
149 bccl 13490 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℕ0)
150149nn0cnd 11762 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
1511, 148, 150syl2an 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
152 zsubcl 11830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
15347, 148, 152syl2an 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
154 m1expcl 13260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑗) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℤ)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℤ)
156155zcnd 11894 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℂ)
15724adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
158127adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
159 1cnd 10426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
160148zcnd 11894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
161160adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
162158, 159, 161addassd 10454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
163159, 161addcomd 10634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
164163oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
165162, 164eqtrd 2808 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
166 fzp1elp1 12769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
167 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
168167eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
169168rspccv 3526 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
170108, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
171170imp 398 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
172166, 171sylan2 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
173165, 172eqeltrd 2860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
174157, 173ffvelrnd 6671 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ ℂ)
175156, 174mulcld 10452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ ℂ)
176151, 175mulcld 10452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ ℂ)
177 oveq2 6978 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
178 oveq2 6978 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
179178oveq2d 6986 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (-1↑(𝑁𝑗)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
180 oveq2 6978 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))
181180fveq2d 6497 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))
182179, 181oveq12d 6988 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))))
183177, 182oveq12d 6988 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
184146, 147, 47, 176, 183fsumshft 14985 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
185145, 184syl5reqr 2823 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
186126, 137, 1853eqtr2d 2814 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
1871, 80syl6eleq 2870 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
188 oveq2 6978 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189 oveq2 6978 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 + 1)))
190189oveq2d 6986 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑁𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))))
191 oveq2 6978 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192191fveq2d 6497 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193190, 192oveq12d 6988 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194188, 193oveq12d 6988 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195187, 73, 194fsump1 14961 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196 bcval 13472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
1971, 18, 196syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
198 fzp1nel 12800 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199198iffalsei 4354 . . . . . . . . 9 if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200197, 199syl6eq 2824 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201200oveq1d 6985 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
20247, 18zsubcld 11898 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
203 m1expcl 13260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
204203zcnd 11894 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
205202, 204syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
206 eluzfz2 12724 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20781, 206syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208191eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209208rspcv 3525 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210207, 108, 209sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
21124, 210ffvelrnd 6671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
212205, 211mulcld 10452 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
213212mul02d 10630 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214201, 213eqtrd 2808 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215214oveq2d 6986 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0))
216 fzfid 13149 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
217 fzelp1 12768 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218217, 73sylan2 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
219216, 218fsumcl 14940 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
220219addid1d 10632 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
221195, 215, 2203eqtrd 2812 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
222186, 221oveq12d 6988 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
22377, 79, 2223eqtrd 2812 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
224 fwddifnp1.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
22517, 224, 24, 127, 26fwddifnval 33085 . 2 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
226 peano2cn 10604 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
227127, 226syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
228127adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
229 1cnd 10426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
230 elfzelz 12717 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
231230zcnd 11894 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
232231adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
233228, 229, 232addassd 10454 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (1 + 𝑘)))
234229, 232addcomd 10634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
235234oveq2d 6986 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑘)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
236233, 235eqtrd 2808 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
237 fzp1elp1 12769 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238 oveq1 6977 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
239238eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240239anbi2d 619 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241238oveq2d 6986 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
242241eleq1d 2844 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴))
243240, 242imbi12d 337 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)))
244243, 171chvarv 2325 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
245237, 244sylan2 583 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
246236, 245eqeltrd 2860 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) ∈ 𝐴)
2471, 224, 24, 227, 246fwddifnval 33085 . . 3 (𝜑 → ((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
248217, 26sylan2 583 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
2491, 224, 24, 127, 248fwddifnval 33085 . . 3 (𝜑 → ((𝑁n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
250247, 249oveq12d 6988 . 2 (𝜑 → (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
251223, 225, 2503eqtr4d 2818 1 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wss 3825  ifcif 4344  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  cmin 10662  -cneg 10663   / cdiv 11090  0cn0 11700  cz 11786  cuz 12051  ...cfz 12701  cexp 13237  !cfa 13441  Ccbc 13470  Σcsu 14893  n cfwddifn 33082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894  df-fwddifn 33083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator