Theorem fwddifnp1 36381

Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifnp1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fwddifnp1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifnp1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifnp1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
fwddifnp1.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifnp1	⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fwddifnp1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fwddifnp1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 13452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		bcpasc 14256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
5	4	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6		bccl 14257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
9		peano2zm 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11		bccl 14257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
12	1, 10, 11	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
14	8, 13	addcomd 11347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)))
15	14	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
16		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
19		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
20	18, 2, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
21		m1expcl 14021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
24		fwddifnp1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26		fwddifnp1.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
27	25, 26	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) ∈ ℂ)
28	23, 27	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
29	13, 8, 28	adddird 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
30	15, 29	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	2	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
35		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
36	32, 34, 35	subsub3d 11534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
37	36	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
38	37	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
39	38	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
40	39	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
41	32, 35, 34	addsubd 11525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
42	41	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)))
43		neg1cn 12142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
45		neg1ne0 12144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ≠ 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ≠ 0)
47	1	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
49	47, 2, 48	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
50	44, 46, 49	expp1zd 14090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
51	42, 50	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
52		m1expcl 14021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
55	54, 44	mulcomd 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 − 𝑘))))
56	54	mulm1d 11601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1 · (-1↑(𝑁 − 𝑘))) = -(-1↑(𝑁 − 𝑘)))
57	51, 55, 56	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = -(-1↑(𝑁 − 𝑘)))
58	57	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (-(-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
59	54, 27	mulneg1d 11602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-(-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
60	58, 59	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
61	60	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
62	54, 27	mulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
63	8, 62	mulneg2d 11603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
64	61, 63	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
65	40, 64	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
66		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
67	47, 10, 66	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
68		m1expcl 14021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
71	70, 27	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
72	13, 71	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
73	8, 62	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
74	72, 73	negsubd 11510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
75	30, 65, 74	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
76	5, 75	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
77	76	sumeq2dv 15637	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
78		fzfid 13908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
79	78, 72, 73	fsumsub 15723	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
80		nn0uz 12801	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
81	17, 80	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
82		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
83	82	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
84	82	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = (𝑁 − (0 − 1)))
85	84	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (-1↑(𝑁 − (0 − 1))))
86		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
87	86	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
88	85, 87	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
89	83, 88	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
90	81, 72, 89	fsum1p 15688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
91		df-neg 11379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
92	91	oveq2i 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁C-1) = (𝑁C(0 − 1))
93		bcneg1 35952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
94	1, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
95	92, 94	eqtr3id 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
96	95	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
97		0z 12511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
98		1z 12533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
99		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
100	97, 98, 99	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
102	47, 101	zsubcld 12613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ)
103		m1expcl 14021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
105	104	zcnd 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℂ)
106		eluzfz1 13459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
107	81, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
108	26	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
109	86	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110	109	rspcva 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111	107, 108, 110	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
112	24, 111	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) ∈ ℂ)
113	105, 112	mulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))) ∈ ℂ)
114	113	mul02d 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
115	96, 114	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
116	115	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
117		fzfid 13908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118		olc 869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119		elfzp12 13531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
120	81, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121	120	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122	118, 121	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123	122, 72	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
124	117, 123	fsumcl 15668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
125	124	addlidd 11346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
126	90, 116, 125	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
127		fwddifnp1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
129		1cnd 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
130		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
131	130	zcnd 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
132	131	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133	128, 129, 132	ppncand 11544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + 𝑘))
134	133	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))
135	134	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
136	135	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
137	136	sumeq2dv 15637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
138		1zzd 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
139		0zd 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
140		elfzelz 13452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
141		bccl 14257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℕ0)
142	141	nn0cnd 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
143	1, 140, 142	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
144		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
145	47, 140, 144	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
146		m1expcl 14021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
148	147	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℂ)
149	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
150	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
151		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
152	140	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
153	152	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
154	150, 151, 153	addassd 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
155	151, 153	addcomd 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
156	155	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
157	154, 156	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
158		fzp1elp1 13505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
159		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
160	159	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
161	160	rspccv 3575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
162	108, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
163	162	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
164	158, 163	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
165	157, 164	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
166	149, 165	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ ℂ)
167	148, 166	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ ℂ)
168	143, 167	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ ℂ)
169		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171	170	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
172		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))
173	172	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))
174	171, 173	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))))
175	169, 174	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
176	138, 139, 47, 168, 175	fsumshft 15715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
177		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C𝑗) = (𝑁C𝑘))
178		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − 𝑘))
179	178	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) = (-1↑(𝑁 − 𝑘)))
180		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + 𝑘))
181	180	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))
182	179, 181	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
183	177, 182	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
184	183	cbvsumv 15631	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
185	176, 184	eqtr3di 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
186	126, 137, 185	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
187	1, 80	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
188		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 + 1)))
190	189	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))))
191		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192	191	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193	190, 192	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194	188, 193	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195	187, 73, 194	fsump1 15691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196		bcval 14239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
197	1, 18, 196	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
198		fzp1nel 13539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199	198	iffalsei 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200	197, 199	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201	200	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
202	47, 18	zsubcld 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
203		m1expcl 14021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
204	203	zcnd 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
205	202, 204	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
206		eluzfz2 13460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
207	81, 206	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208	191	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209	208	rspcv 3574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210	207, 108, 209	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
211	24, 210	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
212	205, 211	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
213	212	mul02d 11343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214	201, 213	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215	214	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0))
216		fzfid 13908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
217		fzelp1 13504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218	217, 73	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
219	216, 218	fsumcl 15668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
220	219	addridd 11345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
221	195, 215, 220	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
222	186, 221	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
223	77, 79, 222	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
224		fwddifnp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
225	17, 224, 24, 127, 26	fwddifnval 36379	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
226		peano2cn 11317	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
227	127, 226	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
228	127	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
229		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
230		elfzelz 13452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
231	230	zcnd 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
232	231	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
233	228, 229, 232	addassd 11166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (1 + 𝑘)))
234	229, 232	addcomd 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
235	234	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑘)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
236	233, 235	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
237		fzp1elp1 13505	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238		oveq1 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
239	238	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240	239	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241	238	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
242	241	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴))
243	240, 242	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)))
244	243, 163	chvarvv 1991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
245	237, 244	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
246	236, 245	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) ∈ 𝐴)
247	1, 224, 24, 227, 246	fwddifnval 36379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
248	217, 26	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
249	1, 224, 24, 127, 248	fwddifnval 36379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
250	247, 249	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
251	223, 225, 250	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  !cfa 14208  Ccbc 14237  Σcsu 15621   △ⁿ cfwddifn 36376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-fwddifn 36377

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