Theorem fwddifnp1 33626

Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifnp1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fwddifnp1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifnp1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifnp1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
fwddifnp1.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifnp1	⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fwddifnp1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fwddifnp1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 12909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		bcpasc 13682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
5	4	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6		bccl 13683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
9		peano2zm 12026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11		bccl 13683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
12	1, 10, 11	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
14	8, 13	addcomd 10842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)))
15	14	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
16		peano2nn0 11938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
19		zsubcl 12025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
20	18, 2, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
21		m1expcl 13453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
24		fwddifnp1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26		fwddifnp1.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
27	25, 26	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) ∈ ℂ)
28	23, 27	mulcld 10661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
29	13, 8, 28	adddird 10666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
30	15, 29	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
31	1	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 11958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	2	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
35		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
36	32, 34, 35	subsub3d 11027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
37	36	eqcomd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
38	37	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
39	38	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
40	39	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
41	32, 35, 34	addsubd 11018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
42	41	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)))
43		neg1cn 11752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
45		neg1ne0 11754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ≠ 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ≠ 0)
47	1	nn0zd 12086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
48		zsubcl 12025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
49	47, 2, 48	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
50	44, 46, 49	expp1zd 13520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
51	42, 50	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1))
52		m1expcl 13453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
55	54, 44	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 − 𝑘))))
56	54	mulm1d 11092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1 · (-1↑(𝑁 − 𝑘))) = -(-1↑(𝑁 − 𝑘)))
57	51, 55, 56	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = -(-1↑(𝑁 − 𝑘)))
58	57	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (-(-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
59	54, 27	mulneg1d 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-(-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
60	58, 59	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
61	60	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
62	54, 27	mulcld 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
63	8, 62	mulneg2d 11094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
64	61, 63	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
65	40, 64	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
66		zsubcl 12025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
67	47, 10, 66	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
68		m1expcl 13453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
70	69	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
71	70, 27	mulcld 10661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
72	13, 71	mulcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
73	8, 62	mulcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
74	72, 73	negsubd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
75	30, 65, 74	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
76	5, 75	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
77	76	sumeq2dv 15060	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
78		fzfid 13342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
79	78, 72, 73	fsumsub 15143	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
80		nn0uz 12281	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
81	17, 80	eleqtrdi 2923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
82		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
83	82	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
84	82	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = (𝑁 − (0 − 1)))
85	84	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (-1↑(𝑁 − (0 − 1))))
86		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
87	86	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
88	85, 87	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
89	83, 88	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
90	81, 72, 89	fsum1p 15108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
91		df-neg 10873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
92	91	oveq2i 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁C-1) = (𝑁C(0 − 1))
93		bcneg1 32968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
94	1, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
95	92, 94	syl5eqr 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
96	95	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
97		0z 11993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
98		1z 12013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
99		zsubcl 12025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
100	97, 98, 99	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
102	47, 101	zsubcld 12093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ)
103		m1expcl 13453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
105	104	zcnd 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℂ)
106		eluzfz1 12915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
107	81, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
108	26	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
109	86	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110	109	rspcva 3621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111	107, 108, 110	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
112	24, 111	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) ∈ ℂ)
113	105, 112	mulcld 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))) ∈ ℂ)
114	113	mul02d 10838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
115	96, 114	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
116	115	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
117		fzfid 13342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118		olc 864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119		elfzp12 12987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
120	81, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121	120	biimpar 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122	118, 121	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123	122, 72	syldan 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
124	117, 123	fsumcl 15090	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
125	124	addid2d 10841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
126	90, 116, 125	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
127		fwddifnp1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
128	127	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
129		1cnd 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
130		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
131	130	zcnd 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
132	131	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133	128, 129, 132	ppncand 11037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + 𝑘))
134	133	fveq2d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))
135	134	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
136	135	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
137	136	sumeq2dv 15060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
138		oveq2 7164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C𝑗) = (𝑁C𝑘))
139		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − 𝑘))
140	139	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) = (-1↑(𝑁 − 𝑘)))
141		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + 𝑘))
142	141	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))
143	140, 142	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
144	138, 143	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
145	144	cbvsumv 15053	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
146		1zzd 12014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
147		0zd 11994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
148		elfzelz 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
149		bccl 13683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℕ0)
150	149	nn0cnd 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
151	1, 148, 150	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
152		zsubcl 12025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
153	47, 148, 152	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
154		m1expcl 13453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℤ)
156	155	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) ∈ ℂ)
157	24	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
158	127	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
159		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
160	148	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
161	160	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
162	158, 159, 161	addassd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
163	159, 161	addcomd 10842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
164	163	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
165	162, 164	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
166		fzp1elp1 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
167		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
168	167	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
169	168	rspccv 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
170	108, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
171	170	imp 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
172	166, 171	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
173	165, 172	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
174	157, 173	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ ℂ)
175	156, 174	mulcld 10661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ ℂ)
176	151, 175	mulcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ ℂ)
177		oveq2 7164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
178		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁 − 𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
179	178	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (-1↑(𝑁 − 𝑗)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
180		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))
181	180	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))
182	179, 181	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))))
183	177, 182	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
184	146, 147, 47, 176, 183	fsumshft 15135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁 − 𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
185	145, 184	syl5reqr 2871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
186	126, 137, 185	3eqtr2d 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
187	1, 80	eleqtrdi 2923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
188		oveq2 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189		oveq2 7164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑁 + 1)))
190	189	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑁 − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))))
191		oveq2 7164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192	191	fveq2d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193	190, 192	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194	188, 193	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195	187, 73, 194	fsump1 15111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196		bcval 13665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
197	1, 18, 196	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
198		fzp1nel 12992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199	198	iffalsei 4477	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200	197, 199	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201	200	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
202	47, 18	zsubcld 12093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
203		m1expcl 13453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
204	203	zcnd 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
205	202, 204	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
206		eluzfz2 12916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
207	81, 206	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208	191	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209	208	rspcv 3618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210	207, 108, 209	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
211	24, 210	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
212	205, 211	mulcld 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
213	212	mul02d 10838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214	201, 213	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215	214	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0))
216		fzfid 13342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
217		fzelp1 12960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218	217, 73	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
219	216, 218	fsumcl 15090	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
220	219	addid1d 10840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
221	195, 215, 220	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
222	186, 221	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
223	77, 79, 222	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
224		fwddifnp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
225	17, 224, 24, 127, 26	fwddifnval 33624	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
226		peano2cn 10812	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
227	127, 226	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
228	127	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
229		1cnd 10636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
230		elfzelz 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
231	230	zcnd 12089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
232	231	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
233	228, 229, 232	addassd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (1 + 𝑘)))
234	229, 232	addcomd 10842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
235	234	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑘)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
236	233, 235	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
237		fzp1elp1 12961	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238		oveq1 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
239	238	eleq1d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240	239	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241	238	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
242	241	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴))
243	240, 242	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)))
244	243, 171	chvarvv 2005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
245	237, 244	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
246	236, 245	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) ∈ 𝐴)
247	1, 224, 24, 227, 246	fwddifnval 33624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
248	217, 26	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
249	1, 224, 24, 127, 248	fwddifnval 33624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
250	247, 249	oveq12d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
251	223, 225, 250	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁 △n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁 △n 𝐹)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ifcif 4467  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  ↑cexp 13430  !cfa 13634  Ccbc 13663  Σcsu 15042   △n cfwddifn 33621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-fwddifn 33622

This theorem is referenced by: (None)