Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifnp1 36147
Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnp1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fwddifnp1.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifnp1.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifnp1.4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
fwddifnp1.5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifnp1 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fwddifnp1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fwddifnp1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 elfzelz 13561 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 bcpasc 14357 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
41, 2, 3syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
54oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6 bccl 14358 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71, 2, 6syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 12587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
9 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11 bccl 14358 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
121, 10, 11syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 12587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
148, 13addcomd 11461 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)))
1514oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
16 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
19 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
2018, 2, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
21 m1expcl 14124 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
2322zcnd 12721 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
24 fwddifnp1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26 fwddifnp1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
2725, 26ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) ∈ ℂ)
2823, 27mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
2913, 8, 28adddird 11284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
3015, 29eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
311adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3433zcnd 12721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
35 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
3632, 34, 35subsub3d 11648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
3736eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
3837oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
3938oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
4039oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
4132, 35, 34addsubd 11639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
4241oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑((𝑁𝑘) + 1)))
43 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
45 neg1ne0 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ≠ 0)
471nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
48 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
4947, 2, 48syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
5044, 46, 49expp1zd 14192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1))
5142, 50eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1))
52 m1expcl 14124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℤ)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℤ)
5453zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
5554, 44mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁𝑘))))
5654mulm1d 11713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1 · (-1↑(𝑁𝑘))) = -(-1↑(𝑁𝑘)))
5751, 55, 563eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = -(-1↑(𝑁𝑘)))
5857oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (-(-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
5954, 27mulneg1d 11714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-(-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
6058, 59eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6254, 27mulcld 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
638, 62mulneg2d 11715 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6461, 63eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6540, 64oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
66 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
6747, 10, 66syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
68 m1expcl 14124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
7069zcnd 12721 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
7170, 27mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
7213, 71mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
738, 62mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
7472, 73negsubd 11624 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
7530, 65, 743eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
765, 75eqtr3d 2777 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
7776sumeq2dv 15735 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
78 fzfid 14011 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7978, 72, 73fsumsub 15821 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
80 nn0uz 12918 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
8117, 80eleqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
82 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
8482oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = (𝑁 − (0 − 1)))
8584oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (-1↑(𝑁 − (0 − 1))))
86 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
8786fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
8885, 87oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
8983, 88oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
9081, 72, 89fsum1p 15786 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
91 df-neg 11493 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
9291oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑁C-1) = (𝑁C(0 − 1))
93 bcneg1 35716 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
941, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
9592, 94eqtr3id 2789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
9695oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
97 0z 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
98 1z 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
99 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
10097, 98, 99mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 1) ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
10247, 101zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ)
103 m1expcl 14124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
105104zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℂ)
106 eluzfz1 13568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10781, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10826ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
10986eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110109rspcva 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111107, 108, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
11224, 111ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) ∈ ℂ)
113105, 112mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))) ∈ ℂ)
114113mul02d 11457 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
11596, 114eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
116115oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
117 fzfid 14011 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118 olc 868 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119 elfzp12 13640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
12081, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121120biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122118, 121sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123122, 72syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
124117, 123fsumcl 15766 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
125124addlidd 11460 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
12690, 116, 1253eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
127 fwddifnp1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
128127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
129 1cnd 11254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
130 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
131130zcnd 12721 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
132131adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133128, 129, 132ppncand 11658 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + 𝑘))
134133fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))
135134oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
136135oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
137136sumeq2dv 15735 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
138 1zzd 12646 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
139 0zd 12623 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
140 elfzelz 13561 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
141 bccl 14358 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℕ0)
142141nn0cnd 12587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
1431, 140, 142syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
144 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
14547, 140, 144syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
146 m1expcl 14124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑗) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℤ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℤ)
148147zcnd 12721 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℂ)
14924adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
150127adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
151 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
152140zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
153152adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
154150, 151, 153addassd 11281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
155151, 153addcomd 11461 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
156155oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
157154, 156eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
158 fzp1elp1 13614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
159 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
160159eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
161160rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
162108, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
163162imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
164158, 163sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
165157, 164eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
166149, 165ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ ℂ)
167148, 166mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ ℂ)
168143, 167mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ ℂ)
169 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171170oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (-1↑(𝑁𝑗)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
172 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))
173172fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))
174171, 173oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))))
175169, 174oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
176138, 139, 47, 168, 175fsumshft 15813 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
177 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C𝑗) = (𝑁C𝑘))
178 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗) = (𝑁𝑘))
179178oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑁𝑗)) = (-1↑(𝑁𝑘)))
180 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + 𝑘))
181180fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))
182179, 181oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
183177, 182oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
184183cbvsumv 15729 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
185176, 184eqtr3di 2790 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
186126, 137, 1853eqtr2d 2781 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
1871, 80eleqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
188 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 + 1)))
190189oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑁𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))))
191 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192191fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193190, 192oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194188, 193oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195187, 73, 194fsump1 15789 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196 bcval 14340 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
1971, 18, 196syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
198 fzp1nel 13648 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199198iffalsei 4541 . . . . . . . . 9 if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200197, 199eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201200oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
20247, 18zsubcld 12725 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
203 m1expcl 14124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
204203zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
205202, 204syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
206 eluzfz2 13569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20781, 206syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208191eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209208rspcv 3618 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210207, 108, 209sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
21124, 210ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
212205, 211mulcld 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
213212mul02d 11457 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214201, 213eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215214oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0))
216 fzfid 14011 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
217 fzelp1 13613 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218217, 73sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
219216, 218fsumcl 15766 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
220219addridd 11459 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
221195, 215, 2203eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
222186, 221oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
22377, 79, 2223eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
224 fwddifnp1.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
22517, 224, 24, 127, 26fwddifnval 36145 . 2 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
226 peano2cn 11431 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
227127, 226syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
228127adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
229 1cnd 11254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
230 elfzelz 13561 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
231230zcnd 12721 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
232231adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
233228, 229, 232addassd 11281 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (1 + 𝑘)))
234229, 232addcomd 11461 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
235234oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑘)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
236233, 235eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
237 fzp1elp1 13614 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
239238eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240239anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241238oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
242241eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴))
243240, 242imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)))
244243, 163chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
245237, 244sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
246236, 245eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) ∈ 𝐴)
2471, 224, 24, 227, 246fwddifnval 36145 . . 3 (𝜑 → ((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
248217, 26sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
2491, 224, 24, 127, 248fwddifnval 36145 . . 3 (𝜑 → ((𝑁n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
250247, 249oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
251223, 225, 2503eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wss 3963  ifcif 4531  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  !cfa 14309  Ccbc 14338  Σcsu 15719  n cfwddifn 36142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-fwddifn 36143
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator