Theorem bcneg1 36631

Description: The binomial coefficient over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bcneg1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C -1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12745	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		bcval 14461	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C -1) = if( -1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘ -1))), 0))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C -1) = if( -1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘ -1))), 0))
4		neg1lt0 12321	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
5		neg1rr 12319	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		0re 11323	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnlei 11444	. . . . . 6 ⊢ ( -1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
8	4, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ≤ -1
9	8	intnanr 493	. . . 4 ⊢ ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10		nn0z 12730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		0z 12717	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		elfz 13658	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
13	1, 11, 12	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
14	10, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
15	9, 14	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
16	15	iffalsed 4496	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → if( -1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘ -1))), 0) = 0)
17	3, 16	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C -1) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213  1c1 11214   · cmul 11218   < clt 11356   ≤ cle 11357   − cmin 11554   -cneg 11555   / cdiv 11986  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ...cfz 13652  !cfa 14430  Ccbc 14459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-fz 13653  df-bc 14460

This theorem is used by:  fwddifnp1  37060