Theorem bcneg1 36087

Description: The binomial coefficient over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bcneg1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12608	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		bcval 14318	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
4		neg1lt0 12184	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
5		neg1rr 12182	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		0re 11184	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnlei 11305	. . . . . 6 ⊢ (-1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
8	4, 7	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ≤ -1
9	8	intnanr 491	. . . 4 ⊢ ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10		nn0z 12593	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		0z 12580	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		elfz 13519	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
13	1, 11, 12	mp3an12 1473	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
15	9, 14	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
16	15	iffalsed 4492	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0) = 0)
17	3, 16	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ifcif 4481   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  0cc0 11074  1c1 11075   · cmul 11079   < clt 11217   ≤ cle 11218   − cmin 11415  -cneg 11416   / cdiv 11845  ℕ₀cn0 12482  ℤcz 12569  ...cfz 13513  !cfa 14287  Ccbc 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-n0 12483  df-z 12570  df-fz 13514  df-bc 14317

This theorem is referenced by:  fwddifnp1  36516