Theorem bcneg1 35176

Description: The binomial coefficent over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bcneg1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12605	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		bcval 14271	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
3	1, 2	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
4		neg1lt0 12336	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
5		neg1rr 12334	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		0re 11223	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnlei 11342	. . . . . 6 ⊢ (-1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
8	4, 7	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ≤ -1
9	8	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10		nn0z 12590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		0z 12576	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		elfz 13497	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
13	1, 11, 12	mp3an12 1450	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
15	9, 14	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
16	15	iffalsed 4539	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0) = 0)
17	3, 16	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4528   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ...cfz 13491  !cfa 14240  Ccbc 14269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-fz 13492  df-bc 14270

This theorem is referenced by:  fwddifnp1  35607