Theorem bcneg1 32216

Description: The binomial coefficent over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bcneg1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 11765	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		bcval 13409	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
3	1, 2	mpan2 681	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
4		neg1lt0 11499	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
5		neg1rr 11497	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		0re 10378	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnlei 10497	. . . . . 6 ⊢ (-1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
8	4, 7	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ≤ -1
9	8	intnanr 483	. . . 4 ⊢ ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10		nn0z 11752	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		0z 11739	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		elfz 12649	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
13	1, 11, 12	mp3an12 1524	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
15	9, 14	mtbiri 319	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
16	15	iffalsed 4318	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0) = 0)
17	3, 16	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ...cfz 12643  !cfa 13378  Ccbc 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-fz 12644  df-bc 13408

This theorem is referenced by:  fwddifnp1  32861