Theorem bcneg1 33711

Description: The binomial coefficent over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bcneg1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12367	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		bcval 14029	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
3	1, 2	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
4		neg1lt0 12101	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
5		neg1rr 12099	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		0re 10988	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnlei 11107	. . . . . 6 ⊢ (-1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
8	4, 7	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ≤ -1
9	8	intnanr 488	. . . 4 ⊢ ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10		nn0z 12354	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		0z 12341	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		elfz 13256	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
13	1, 11, 12	mp3an12 1450	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
15	9, 14	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
16	15	iffalsed 4476	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0) = 0)
17	3, 16	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ifcif 4465   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   · cmul 10887   < clt 11020   ≤ cle 11021   − cmin 11216  -cneg 11217   / cdiv 11643  ℕ₀cn0 12244  ℤcz 12330  ...cfz 13250  !cfa 13998  Ccbc 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331  df-fz 13251  df-bc 14028

This theorem is referenced by:  fwddifnp1  34476