Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcneg1 32216
Description: The binomial coefficent over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
bcneg1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1
StepHypRef Expression
1 neg1z 11765 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 bcval 13409 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
31, 2mpan2 681 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
4 neg1lt0 11499 . . . . . 6 -1 < 0
5 neg1rr 11497 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
6 0re 10378 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
75, 6ltnlei 10497 . . . . . 6 (-1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
84, 7mpbi 222 . . . . 5 ¬ 0 ≤ -1
98intnanr 483 . . . 4 ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10 nn0z 11752 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
11 0z 11739 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
12 elfz 12649 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
131, 11, 12mp3an12 1524 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
159, 14mtbiri 319 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
1615iffalsed 4318 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0) = 0)
173, 16eqtrd 2814 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  ifcif 4307   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  0cn0 11642  cz 11728  ...cfz 12643  !cfa 13378  Ccbc 13407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-fz 12644  df-bc 13408
This theorem is referenced by:  fwddifnp1  32861
  Copyright terms: Public domain W3C validator