Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcneg1 32865
Description: The binomial coefficent over negative one is zero. (Contributed by Scott Fenton, 29-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
bcneg1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)

Proof of Theorem bcneg1
StepHypRef Expression
1 neg1z 12006 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 bcval 13652 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
31, 2mpan2 687 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0))
4 neg1lt0 11742 . . . . . 6 -1 < 0
5 neg1rr 11740 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
6 0re 10631 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
75, 6ltnlei 10749 . . . . . 6 (-1 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -1)
84, 7mpbi 231 . . . . 5 ¬ 0 ≤ -1
98intnanr 488 . . . 4 ¬ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)
10 nn0z 11993 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
11 0z 11980 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
12 elfz 12886 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
131, 11, 12mp3an12 1442 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ -1 ∧ -1 ≤ 𝑁)))
159, 14mtbiri 328 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ -1 ∈ (0...𝑁))
1615iffalsed 4474 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → if(-1 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − -1)) · (!‘-1))), 0) = 0)
173, 16eqtrd 2853 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  !cfa 13621  Ccbc 13650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-fz 12881  df-bc 13651
This theorem is referenced by:  fwddifnp1  33523
  Copyright terms: Public domain W3C validator