MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval3 13387
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval3
StepHypRef Expression
1 bcval 13385 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
213adant3 1168 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
3 iffalse 4316 . . 3 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
433ad2ant3 1171 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
52, 4eqtrd 2862 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  ifcif 4307  cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253   · cmul 10258  cmin 10586   / cdiv 11010  0cn0 11619  cz 11705  ...cfz 12620  !cfa 13354  Ccbc 13383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pr 5128  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-mulcl 10315  ax-i2m1 10321
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-bc 13384
This theorem is referenced by:  bcval4  13388  bccmpl  13390  bcval5  13399  bcpasc  13402  bccl  13403  hashbc  13527  binomlem  14936  bccbc  39385
  Copyright terms: Public domain W3C validator