![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcval3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the binomial coefficient, ๐ choose ๐พ, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcval3 | โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | bcval 14264 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) | |
2 | 1 | 3adant3 1133 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) |
3 | iffalse 4538 | . . 3 โข (ยฌ ๐พ โ (0...๐) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) | |
4 | 3 | 3ad2ant3 1136 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) |
5 | 2, 4 | eqtrd 2773 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 ifcif 4529 โcfv 6544 (class class class)co 7409 0cc0 11110 ยท cmul 11115 โ cmin 11444 / cdiv 11871 โ0cn0 12472 โคcz 12558 ...cfz 13484 !cfa 14233 Ccbc 14262 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pr 5428 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-mulcl 11172 ax-i2m1 11178 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fv 6552 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-bc 14263 |
This theorem is referenced by: bcval4 14267 bccmpl 14269 bcval5 14278 bcpasc 14281 bccl 14282 hashbc 14412 binomlem 15775 bccbc 43104 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |