![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcval3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the binomial coefficient, ๐ choose ๐พ, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcval3 | โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | bcval 14296 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) | |
2 | 1 | 3adant3 1130 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) |
3 | iffalse 4538 | . . 3 โข (ยฌ ๐พ โ (0...๐) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) | |
4 | 3 | 3ad2ant3 1133 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) |
5 | 2, 4 | eqtrd 2768 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 ifcif 4529 โcfv 6548 (class class class)co 7420 0cc0 11139 ยท cmul 11144 โ cmin 11475 / cdiv 11902 โ0cn0 12503 โคcz 12589 ...cfz 13517 !cfa 14265 Ccbc 14294 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-mulcl 11201 ax-i2m1 11207 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fv 6556 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-bc 14295 |
This theorem is referenced by: bcval4 14299 bccmpl 14301 bcval5 14310 bcpasc 14313 bccl 14314 hashbc 14445 binomlem 15808 bcled 41650 bcle2d 41651 bccbc 43782 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |