![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcval3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the binomial coefficient, ๐ choose ๐พ, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcval3 | โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | bcval 14267 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) | |
2 | 1 | 3adant3 1129 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) |
3 | iffalse 4532 | . . 3 โข (ยฌ ๐พ โ (0...๐) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) | |
4 | 3 | 3ad2ant3 1132 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) |
5 | 2, 4 | eqtrd 2766 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4523 โcfv 6536 (class class class)co 7404 0cc0 11109 ยท cmul 11114 โ cmin 11445 / cdiv 11872 โ0cn0 12473 โคcz 12559 ...cfz 13487 !cfa 14236 Ccbc 14265 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-mulcl 11171 ax-i2m1 11177 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-bc 14266 |
This theorem is referenced by: bcval4 14270 bccmpl 14272 bcval5 14281 bcpasc 14284 bccl 14285 hashbc 14416 binomlem 15779 bccbc 43661 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |