![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bcval3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the binomial coefficient, ๐ choose ๐พ, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
bcval3 | โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | bcval 14210 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) | |
2 | 1 | 3adant3 1133 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0)) |
3 | iffalse 4496 | . . 3 โข (ยฌ ๐พ โ (0...๐) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) | |
4 | 3 | 3ad2ant3 1136 | . 2 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ if(๐พ โ (0...๐), ((!โ๐) / ((!โ(๐ โ ๐พ)) ยท (!โ๐พ))), 0) = 0) |
5 | 2, 4 | eqtrd 2773 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ยฌ ๐พ โ (0...๐)) โ (๐C๐พ) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 ifcif 4487 โcfv 6497 (class class class)co 7358 0cc0 11056 ยท cmul 11061 โ cmin 11390 / cdiv 11817 โ0cn0 12418 โคcz 12504 ...cfz 13430 !cfa 14179 Ccbc 14208 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pr 5385 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-mulcl 11118 ax-i2m1 11124 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-bc 14209 |
This theorem is referenced by: bcval4 14213 bccmpl 14215 bcval5 14224 bcpasc 14227 bccl 14228 hashbc 14356 binomlem 15719 bccbc 42713 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |