MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval3 14346
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval3
StepHypRef Expression
1 bcval 14344 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
213adant3 1132 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
3 iffalse 4533 . . 3 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
433ad2ant3 1135 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
52, 4eqtrd 2776 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  ifcif 4524  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  0cn0 12528  cz 12615  ...cfz 13548  !cfa 14313  Ccbc 14342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-mulcl 11218  ax-i2m1 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-bc 14343
This theorem is referenced by:  bcval4  14347  bccmpl  14349  bcval5  14358  bcpasc  14361  bccl  14362  hashbc  14493  binomlem  15866  bcled  42180  bcle2d  42181  bccbc  44369
  Copyright terms: Public domain W3C validator