MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval3 14266
Description: Value of the binomial coefficient, ๐‘ choose ๐พ, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = 0)

Proof of Theorem bcval3
StepHypRef Expression
1 bcval 14264 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
213adant3 1133 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
3 iffalse 4538 . . 3 (ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = 0)
433ad2ant3 1136 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = 0)
52, 4eqtrd 2773 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  !cfa 14233  Ccbc 14262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-bc 14263
This theorem is referenced by:  bcval4  14267  bccmpl  14269  bcval5  14278  bcpasc  14281  bccl  14282  hashbc  14412  binomlem  15775  bccbc  43104
  Copyright terms: Public domain W3C validator