MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval3 14212
Description: Value of the binomial coefficient, ๐‘ choose ๐พ, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = 0)

Proof of Theorem bcval3
StepHypRef Expression
1 bcval 14210 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
213adant3 1133 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
3 iffalse 4496 . . 3 (ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = 0)
433ad2ant3 1136 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = 0)
52, 4eqtrd 2773 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4487  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  ...cfz 13430  !cfa 14179  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-mulcl 11118  ax-i2m1 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-bc 14209
This theorem is referenced by:  bcval4  14213  bccmpl  14215  bcval5  14224  bcpasc  14227  bccl  14228  hashbc  14356  binomlem  15719  bccbc  42713
  Copyright terms: Public domain W3C validator