Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccolsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccolsum 34647
Description: A column-sum rule for binomial coefficents. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
bccolsum ((𝑁 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑘C𝐶) = ((𝑁 + 1)C(𝐶 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐶,𝑘

Proof of Theorem bccolsum
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = (0...0))
21sumeq1d 15643 . . . . 5 (𝑚 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑘C𝐶))
3 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (𝑚 + 1) = (0 + 1))
4 0p1e1 12330 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
53, 4eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (𝑚 + 1) = 1)
65oveq1d 7419 . . . . 5 (𝑚 = 0 → ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) = (1C(𝐶 + 1)))
72, 6eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑚 = 0 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) ↔ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑘C𝐶) = (1C(𝐶 + 1))))
87imbi2d 341 . . 3 (𝑚 = 0 → ((𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1))) ↔ (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑘C𝐶) = (1C(𝐶 + 1)))))
9 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
109sumeq1d 15643 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶))
11 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
1211oveq1d 7419 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)))
1310, 12eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) ↔ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1))))
1413imbi2d 341 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1))) ↔ (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)))))
15 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (0...𝑚) = (0...(𝑛 + 1)))
1615sumeq1d 15643 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶))
17 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 + 1) = ((𝑛 + 1) + 1))
1817oveq1d 7419 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))
1916, 18eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) ↔ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1))))
2019imbi2d 341 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1))) ↔ (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))))
21 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (0...𝑚) = (0...𝑁))
2221sumeq1d 15643 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑘C𝐶))
23 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 + 1) = (𝑁 + 1))
2423oveq1d 7419 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝐶 + 1)))
2522, 24eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1)) ↔ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑘C𝐶) = ((𝑁 + 1)C(𝐶 + 1))))
2625imbi2d 341 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)(𝑘C𝐶) = ((𝑚 + 1)C(𝐶 + 1))) ↔ (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑘C𝐶) = ((𝑁 + 1)C(𝐶 + 1)))))
27 0z 12565 . . . . 5 0 ∈ ℤ
28 0nn0 12483 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
29 nn0z 12579 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℤ)
30 bccl 14278 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℤ) → (0C𝐶) ∈ ℕ0)
3128, 29, 30sylancr 588 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ0 → (0C𝐶) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12530 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℕ0 → (0C𝐶) ∈ ℂ)
33 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘C𝐶) = (0C𝐶))
3433fsum1 15689 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ (0C𝐶) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑘C𝐶) = (0C𝐶))
3527, 32, 34sylancr 588 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑘C𝐶) = (0C𝐶))
36 elnn0 12470 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℕ0 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
37 1red 11211 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
38 nnrp 12981 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ+)
3937, 38ltaddrp2d 13046 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℕ → 1 < (𝐶 + 1))
40 peano2nn 12220 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 + 1) ∈ ℕ)
4140nnred 12223 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
4237, 41ltnled 11357 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℕ → (1 < (𝐶 + 1) ↔ ¬ (𝐶 + 1) ≤ 1))
4339, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℕ → ¬ (𝐶 + 1) ≤ 1)
44 elfzle2 13501 . . . . . . . . 9 ((𝐶 + 1) ∈ (0...1) → (𝐶 + 1) ≤ 1)
4543, 44nsyl 140 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℕ → ¬ (𝐶 + 1) ∈ (0...1))
4645iffalsed 4538 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ → if((𝐶 + 1) ∈ (0...1), ((!‘1) / ((!‘(1 − (𝐶 + 1))) · (!‘(𝐶 + 1)))), 0) = 0)
47 1nn0 12484 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
4840nnzd 12581 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 + 1) ∈ ℤ)
49 bcval 14260 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℤ) → (1C(𝐶 + 1)) = if((𝐶 + 1) ∈ (0...1), ((!‘1) / ((!‘(1 − (𝐶 + 1))) · (!‘(𝐶 + 1)))), 0))
5047, 48, 49sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ → (1C(𝐶 + 1)) = if((𝐶 + 1) ∈ (0...1), ((!‘1) / ((!‘(1 − (𝐶 + 1))) · (!‘(𝐶 + 1)))), 0))
51 bc0k 14267 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ → (0C𝐶) = 0)
5246, 50, 513eqtr4rd 2784 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ → (0C𝐶) = (1C(𝐶 + 1)))
53 bcnn 14268 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
5428, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0C0) = 1
55 bcnn 14268 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ0 → (1C1) = 1)
5647, 55ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1C1) = 1
5754, 56eqtr4i 2764 . . . . . . 7 (0C0) = (1C1)
58 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝐶 = 0 → (0C𝐶) = (0C0))
59 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶 + 1) = (0 + 1))
6059, 4eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐶 + 1) = 1)
6160oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝐶 = 0 → (1C(𝐶 + 1)) = (1C1))
6257, 58, 613eqtr4a 2799 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (0C𝐶) = (1C(𝐶 + 1)))
6352, 62jaoi 856 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0) → (0C𝐶) = (1C(𝐶 + 1)))
6436, 63sylbi 216 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ0 → (0C𝐶) = (1C(𝐶 + 1)))
6535, 64eqtrd 2773 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑘C𝐶) = (1C(𝐶 + 1)))
66 elnn0uz 12863 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘0))
6766biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘0))
6867adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
69 elfznn0 13590 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7069adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
71 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
7271nn0zd 12580 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
73 bccl 14278 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℤ) → (𝑘C𝐶) ∈ ℕ0)
7470, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))) → (𝑘C𝐶) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 12530 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))) → (𝑘C𝐶) ∈ ℂ)
76 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C𝐶))
7768, 75, 76fsump1 15698 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) + ((𝑛 + 1)C𝐶)))
7877adantr 482 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) + ((𝑛 + 1)C𝐶)))
79 id 22 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)))
80 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ)
8180adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
82 1cnd 11205 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
8381, 82pncand 11568 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
8483oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)C((𝐶 + 1) − 1)) = ((𝑛 + 1)C𝐶))
8584eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)C𝐶) = ((𝑛 + 1)C((𝐶 + 1) − 1)))
8679, 85oveqan12rd 7424 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) + ((𝑛 + 1)C𝐶)) = (((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)) + ((𝑛 + 1)C((𝐶 + 1) − 1))))
87 peano2nn0 12508 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
88 peano2nn0 12508 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
8988nn0zd 12580 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℤ)
90 bcpasc 14277 . . . . . . . 8 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℤ) → (((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)) + ((𝑛 + 1)C((𝐶 + 1) − 1))) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))
9187, 89, 90syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)) + ((𝑛 + 1)C((𝐶 + 1) − 1))) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))
9291adantr 482 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1))) → (((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)) + ((𝑛 + 1)C((𝐶 + 1) − 1))) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))
9378, 86, 923eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))
9493exp31 421 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐶 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))))
9594a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑘C𝐶) = ((𝑛 + 1)C(𝐶 + 1))) → (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(𝑘C𝐶) = (((𝑛 + 1) + 1)C(𝐶 + 1)))))
968, 14, 20, 26, 65, 95nn0ind 12653 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑘C𝐶) = ((𝑁 + 1)C(𝐶 + 1))))
9796imp 408 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑘C𝐶) = ((𝑁 + 1)C(𝐶 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  !cfa 14229  Ccbc 14258  Σcsu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator