Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccolsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccolsum 35010
Description: A column-sum rule for binomial coefficents. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
bccolsum ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐ถ,๐‘˜

Proof of Theorem bccolsum
Dummy variables ๐‘› ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = (0...0))
21sumeq1d 15652 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ))
3 oveq1 7419 . . . . . . 7 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š + 1) = (0 + 1))
4 0p1e1 12339 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
53, 4eqtrdi 2787 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š + 1) = 1)
65oveq1d 7427 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = (1C(๐ถ + 1)))
72, 6eqeq12d 2747 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1))))
87imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))))
9 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘›))
109sumeq1d 15652 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ))
11 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
1211oveq1d 7427 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)))
1310, 12eqeq12d 2747 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))))
1413imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)))))
15 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (0...๐‘š) = (0...(๐‘› + 1)))
1615sumeq1d 15652 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ))
17 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š + 1) = ((๐‘› + 1) + 1))
1817oveq1d 7427 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
1916, 18eqeq12d 2747 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1))))
2019imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))))
21 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘))
2221sumeq1d 15652 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ))
23 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘ + 1))
2423oveq1d 7427 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))
2522, 24eqeq12d 2747 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1))))
2625imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))))
27 0z 12574 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
28 0nn0 12492 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
29 nn0z 12588 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
30 bccl 14287 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
3128, 29, 30sylancr 586 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
3231nn0cnd 12539 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C๐ถ) โˆˆ โ„‚)
33 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜C๐ถ) = (0C๐ถ))
3433fsum1 15698 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (0C๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (0C๐ถ))
3527, 32, 34sylancr 586 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (0C๐ถ))
36 elnn0 12479 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0))
37 1red 11220 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
38 nnrp 12990 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
3937, 38ltaddrp2d 13055 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < (๐ถ + 1))
40 peano2nn 12229 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„•)
4140nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
4237, 41ltnled 11366 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (1 < (๐ถ + 1) โ†” ยฌ (๐ถ + 1) โ‰ค 1))
4339, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐ถ + 1) โ‰ค 1)
44 elfzle2 13510 . . . . . . . . 9 ((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1) โ†’ (๐ถ + 1) โ‰ค 1)
4543, 44nsyl 140 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐ถ + 1) โˆˆ (0...1))
4645iffalsed 4540 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ if((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1), ((!โ€˜1) / ((!โ€˜(1 โˆ’ (๐ถ + 1))) ยท (!โ€˜(๐ถ + 1)))), 0) = 0)
47 1nn0 12493 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
4840nnzd 12590 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค)
49 bcval 14269 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1C(๐ถ + 1)) = if((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1), ((!โ€˜1) / ((!โ€˜(1 โˆ’ (๐ถ + 1))) ยท (!โ€˜(๐ถ + 1)))), 0))
5047, 48, 49sylancr 586 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (1C(๐ถ + 1)) = if((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1), ((!โ€˜1) / ((!โ€˜(1 โˆ’ (๐ถ + 1))) ยท (!โ€˜(๐ถ + 1)))), 0))
51 bc0k 14276 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (0C๐ถ) = 0)
5246, 50, 513eqtr4rd 2782 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
53 bcnn 14277 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C0) = 1)
5428, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0C0) = 1
55 bcnn 14277 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„•0 โ†’ (1C1) = 1)
5647, 55ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1C1) = 1
5754, 56eqtr4i 2762 . . . . . . 7 (0C0) = (1C1)
58 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐ถ = 0 โ†’ (0C๐ถ) = (0C0))
59 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ + 1) = (0 + 1))
6059, 4eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ + 1) = 1)
6160oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐ถ = 0 โ†’ (1C(๐ถ + 1)) = (1C1))
6257, 58, 613eqtr4a 2797 . . . . . 6 (๐ถ = 0 โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
6352, 62jaoi 854 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0) โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
6436, 63sylbi 216 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
6535, 64eqtrd 2771 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
66 elnn0uz 12872 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
6766biimpi 215 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
6867adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
69 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7069adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
71 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
7271nn0zd 12589 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
73 bccl 14287 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
7470, 72, 73syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
7574nn0cnd 12539 . . . . . . . 8 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) โˆˆ โ„‚)
76 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C๐ถ))
7768, 75, 76fsump1 15707 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) + ((๐‘› + 1)C๐ถ)))
7877adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) + ((๐‘› + 1)C๐ถ)))
79 id 22 . . . . . . 7 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)))
80 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8180adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
82 1cnd 11214 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8381, 82pncand 11577 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถ + 1) โˆ’ 1) = ๐ถ)
8483oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1)) = ((๐‘› + 1)C๐ถ))
8584eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› + 1)C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1)))
8679, 85oveqan12rd 7432 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) + ((๐‘› + 1)C๐ถ)) = (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))))
87 peano2nn0 12517 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
88 peano2nn0 12517 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„•0)
8988nn0zd 12589 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค)
90 bcpasc 14286 . . . . . . . 8 (((๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9187, 89, 90syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9291adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9378, 86, 923eqtrd 2775 . . . . 5 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9493exp31 419 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))))
9594a2d 29 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))))
968, 14, 20, 26, 65, 95nn0ind 12662 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1))))
9796imp 406 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  !cfa 14238  Ccbc 14267  ฮฃcsu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator