Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccolsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccolsum 35013
Description: A column-sum rule for binomial coefficents. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
bccolsum ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐ถ,๐‘˜

Proof of Theorem bccolsum
Dummy variables ๐‘› ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = (0...0))
21sumeq1d 15651 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ))
3 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š + 1) = (0 + 1))
4 0p1e1 12338 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
53, 4eqtrdi 2786 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š + 1) = 1)
65oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = (1C(๐ถ + 1)))
72, 6eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1))))
87imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))))
9 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘›))
109sumeq1d 15651 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ))
11 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
1211oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)))
1310, 12eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))))
1413imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)))))
15 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (0...๐‘š) = (0...(๐‘› + 1)))
1615sumeq1d 15651 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ))
17 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š + 1) = ((๐‘› + 1) + 1))
1817oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
1916, 18eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1))))
2019imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))))
21 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘))
2221sumeq1d 15651 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ))
23 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘ + 1))
2423oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))
2522, 24eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1)) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1))))
2625imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘š + 1)C(๐ถ + 1))) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))))
27 0z 12573 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
28 0nn0 12491 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
29 nn0z 12587 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
30 bccl 14286 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
3128, 29, 30sylancr 585 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
3231nn0cnd 12538 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C๐ถ) โˆˆ โ„‚)
33 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜C๐ถ) = (0C๐ถ))
3433fsum1 15697 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (0C๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (0C๐ถ))
3527, 32, 34sylancr 585 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (0C๐ถ))
36 elnn0 12478 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0))
37 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
38 nnrp 12989 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
3937, 38ltaddrp2d 13054 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < (๐ถ + 1))
40 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„•)
4140nnred 12231 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„)
4237, 41ltnled 11365 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (1 < (๐ถ + 1) โ†” ยฌ (๐ถ + 1) โ‰ค 1))
4339, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐ถ + 1) โ‰ค 1)
44 elfzle2 13509 . . . . . . . . 9 ((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1) โ†’ (๐ถ + 1) โ‰ค 1)
4543, 44nsyl 140 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐ถ + 1) โˆˆ (0...1))
4645iffalsed 4538 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ if((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1), ((!โ€˜1) / ((!โ€˜(1 โˆ’ (๐ถ + 1))) ยท (!โ€˜(๐ถ + 1)))), 0) = 0)
47 1nn0 12492 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
4840nnzd 12589 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค)
49 bcval 14268 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1C(๐ถ + 1)) = if((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1), ((!โ€˜1) / ((!โ€˜(1 โˆ’ (๐ถ + 1))) ยท (!โ€˜(๐ถ + 1)))), 0))
5047, 48, 49sylancr 585 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (1C(๐ถ + 1)) = if((๐ถ + 1) โˆˆ (0...1), ((!โ€˜1) / ((!โ€˜(1 โˆ’ (๐ถ + 1))) ยท (!โ€˜(๐ถ + 1)))), 0))
51 bc0k 14275 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (0C๐ถ) = 0)
5246, 50, 513eqtr4rd 2781 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
53 bcnn 14276 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C0) = 1)
5428, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0C0) = 1
55 bcnn 14276 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„•0 โ†’ (1C1) = 1)
5647, 55ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1C1) = 1
5754, 56eqtr4i 2761 . . . . . . 7 (0C0) = (1C1)
58 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐ถ = 0 โ†’ (0C๐ถ) = (0C0))
59 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ + 1) = (0 + 1))
6059, 4eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ + 1) = 1)
6160oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐ถ = 0 โ†’ (1C(๐ถ + 1)) = (1C1))
6257, 58, 613eqtr4a 2796 . . . . . 6 (๐ถ = 0 โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
6352, 62jaoi 853 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0) โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
6436, 63sylbi 216 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
6535, 64eqtrd 2770 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)(๐‘˜C๐ถ) = (1C(๐ถ + 1)))
66 elnn0uz 12871 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
6766biimpi 215 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
6867adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
69 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7069adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
71 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
7271nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
73 bccl 14286 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
7470, 72, 73syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) โˆˆ โ„•0)
7574nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) โˆˆ โ„‚)
76 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C๐ถ))
7768, 75, 76fsump1 15706 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) + ((๐‘› + 1)C๐ถ)))
7877adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) + ((๐‘› + 1)C๐ถ)))
79 id 22 . . . . . . 7 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)))
80 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8180adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
82 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8381, 82pncand 11576 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถ + 1) โˆ’ 1) = ๐ถ)
8483oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1)) = ((๐‘› + 1)C๐ถ))
8584eqcomd 2736 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› + 1)C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1)))
8679, 85oveqan12rd 7431 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) + ((๐‘› + 1)C๐ถ)) = (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))))
87 peano2nn0 12516 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
88 peano2nn0 12516 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„•0)
8988nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค)
90 bcpasc 14285 . . . . . . . 8 (((๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9187, 89, 90syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9291adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ (((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) + ((๐‘› + 1)C((๐ถ + 1) โˆ’ 1))) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9378, 86, 923eqtrd 2774 . . . . 5 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))
9493exp31 418 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))))
9594a2d 29 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘› + 1)C(๐ถ + 1))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(๐‘˜C๐ถ) = (((๐‘› + 1) + 1)C(๐ถ + 1)))))
968, 14, 20, 26, 65, 95nn0ind 12661 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1))))
9796imp 405 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘˜C๐ถ) = ((๐‘ + 1)C(๐ถ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  !cfa 14237  Ccbc 14266  ฮฃcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator