Theorem sizusglecusg 29453

Description: The size of a simple graph with 𝑛 vertices is at most the size of a complete simple graph with 𝑛 vertices (𝑛 may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
sizusglecusg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Proof of Theorem sizusglecusg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	fvexi 6845	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		resiexg 7851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ V → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
5		fusgrmaxsize.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
7		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
8	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem1 29451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹)
9		f1eq1 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐸) → (𝑓:𝐸–1-1→𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹))
10	4, 8, 9	spcedv 3550	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
12		hashdom 14296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
14		brdomg 8890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
17	13, 16	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
18	11, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
19	18	exp31 419	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
20	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem2 29452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
21	20	pm2.24d 151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
22	21	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝐹 ∈ Fin → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
23	22	com13 88	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
24	19, 23	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
25	7	fvexi 6845	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
26		nfile 14276	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
27	2, 25, 26	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
28	27	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
29	24, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   class class class wbr 5095   I cid 5515   ↾ cres 5623  –1-1→wf1 6486  ‘cfv 6489   ≼ cdom 8876  Fincfn 8878   ≤ cle 11157  ♯chash 14247  Vtxcvtx 28985  Edgcedg 29036  USGraphcusgr 29138  ComplUSGraphccusgr 29399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-hash 14248  df-vtx 28987  df-iedg 28988  df-edg 29037  df-uhgr 29047  df-upgr 29071  df-umgr 29072  df-uspgr 29139  df-usgr 29140  df-fusgr 29306  df-nbgr 29322  df-uvtx 29375  df-cplgr 29400  df-cusgr 29401

This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  29454