MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sizusglecusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sizusglecusg 29400
Description: The size of a simple graph with 𝑛 vertices is at most the size of a complete simple graph with 𝑛 vertices (𝑛 may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgrmaxsize.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f 𝐹 = (Edg‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
sizusglecusg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Proof of Theorem sizusglecusg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgrmaxsize.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21fvexi 6915 . . . . . . . 8 𝐸 ∈ V
3 resiexg 7925 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ V → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
5 fusgrmaxsize.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 usgrsscusgra.h . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
7 usgrsscusgra.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Edg‘𝐻)
85, 1, 6, 7sizusglecusglem1 29398 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1𝐹)
9 f1eq1 6793 . . . . . . 7 (𝑓 = ( I ↾ 𝐸) → (𝑓:𝐸1-1𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1𝐹))
104, 8, 9spcedv 3584 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹)
1110adantl 480 . . . . 5 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹)
12 hashdom 14396 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸𝐹))
1312adantr 479 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸𝐹))
14 brdomg 8987 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1615adantr 479 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1713, 16bitrd 278 . . . . 5 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1811, 17mpbird 256 . . . 4 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
1918exp31 418 . . 3 (𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
205, 1, 6, 7sizusglecusglem2 29399 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
2120pm2.24d 151 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
22213expia 1118 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝐹 ∈ Fin → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
2322com13 88 . . 3 𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
2419, 23pm2.61i 182 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
257fvexi 6915 . . . 4 𝐹 ∈ V
26 nfile 14376 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
272, 25, 26mp3an12 1448 . . 3 𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
2827a1d 25 . 2 𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
2924, 28pm2.61i 182 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  Vcvv 3462   class class class wbr 5153   I cid 5579  cres 5684  1-1wf1 6551  cfv 6554  cdom 8972  Fincfn 8974  cle 11299  chash 14347  Vtxcvtx 28932  Edgcedg 28983  USGraphcusgr 29085  ComplUSGraphccusgr 29346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348  df-vtx 28934  df-iedg 28935  df-edg 28984  df-uhgr 28994  df-upgr 29018  df-umgr 29019  df-uspgr 29086  df-usgr 29087  df-fusgr 29253  df-nbgr 29269  df-uvtx 29322  df-cplgr 29347  df-cusgr 29348
This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  29401
  Copyright terms: Public domain W3C validator