Theorem sizusglecusg 29251

Description: The size of a simple graph with 𝑛 vertices is at most the size of a complete simple graph with 𝑛 vertices (𝑛 may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
sizusglecusg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Proof of Theorem sizusglecusg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	fvexi 6905	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		resiexg 7912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ V → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
5		fusgrmaxsize.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
7		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
8	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem1 29249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹)
9		f1eq1 6782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐸) → (𝑓:𝐸–1-1→𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹))
10	4, 8, 9	spcedv 3583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
12		hashdom 14356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
14		brdomg 8966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
17	13, 16	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
18	11, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
19	18	exp31 419	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
20	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem2 29250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
21	20	pm2.24d 151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
22	21	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝐹 ∈ Fin → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
23	22	com13 88	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
24	19, 23	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
25	7	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
26		nfile 14336	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
27	2, 25, 26	mp3an12 1448	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
28	27	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
29	24, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   I cid 5569   ↾ cres 5674  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542   ≼ cdom 8951  Fincfn 8953   ≤ cle 11265  ♯chash 14307  Vtxcvtx 28783  Edgcedg 28834  USGraphcusgr 28936  ComplUSGraphccusgr 29197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308  df-vtx 28785  df-iedg 28786  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-upgr 28869  df-umgr 28870  df-uspgr 28937  df-usgr 28938  df-fusgr 29104  df-nbgr 29120  df-uvtx 29173  df-cplgr 29198  df-cusgr 29199

This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  29252