Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sizusglecusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sizusglecusg 27263
 Description: The size of a simple graph with 𝑛 vertices is at most the size of a complete simple graph with 𝑛 vertices (𝑛 may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgrmaxsize.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
sizusglecusg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Proof of Theorem sizusglecusg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgrmaxsize.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21fvexi 6660 . . . . . . . 8 𝐸 ∈ V
3 resiexg 7604 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ V → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
5 fusgrmaxsize.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 usgrsscusgra.h . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
7 usgrsscusgra.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Edg‘𝐻)
85, 1, 6, 7sizusglecusglem1 27261 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1𝐹)
9 f1eq1 6545 . . . . . . 7 (𝑓 = ( I ↾ 𝐸) → (𝑓:𝐸1-1𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1𝐹))
104, 8, 9spcedv 3547 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹)
1110adantl 485 . . . . 5 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹)
12 hashdom 13739 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸𝐹))
1312adantr 484 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸𝐹))
14 brdomg 8505 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1514adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1615adantr 484 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1713, 16bitrd 282 . . . . 5 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1811, 17mpbird 260 . . . 4 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
1918exp31 423 . . 3 (𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
205, 1, 6, 7sizusglecusglem2 27262 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
2120pm2.24d 154 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
22213expia 1118 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝐹 ∈ Fin → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
2322com13 88 . . 3 𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
2419, 23pm2.61i 185 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
257fvexi 6660 . . . 4 𝐹 ∈ V
26 nfile 13719 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
272, 25, 26mp3an12 1448 . . 3 𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
2827a1d 25 . 2 𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
2924, 28pm2.61i 185 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5031   I cid 5425   ↾ cres 5522  –1-1→wf1 6322  ‘cfv 6325   ≼ cdom 8493  Fincfn 8495   ≤ cle 10668  ♯chash 13689  Vtxcvtx 26799  Edgcedg 26850  USGraphcusgr 26952  ComplUSGraphccusgr 27210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-hash 13690  df-vtx 26801  df-iedg 26802  df-edg 26851  df-uhgr 26861  df-upgr 26885  df-umgr 26886  df-uspgr 26953  df-usgr 26954  df-fusgr 27117  df-nbgr 27133  df-uvtx 27186  df-cplgr 27211  df-cusgr 27212 This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  27264
 Copyright terms: Public domain W3C validator