Theorem sizusglecusg 29398

Description: The size of a simple graph with 𝑛 vertices is at most the size of a complete simple graph with 𝑛 vertices (𝑛 may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
sizusglecusg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Proof of Theorem sizusglecusg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	fvexi 6875	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		resiexg 7891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ V → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
5		fusgrmaxsize.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
7		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
8	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem1 29396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹)
9		f1eq1 6754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐸) → (𝑓:𝐸–1-1→𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹))
10	4, 8, 9	spcedv 3567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
12		hashdom 14351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
14		brdomg 8933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
17	13, 16	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
18	11, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
19	18	exp31 419	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
20	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem2 29397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
21	20	pm2.24d 151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
22	21	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝐹 ∈ Fin → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
23	22	com13 88	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
24	19, 23	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
25	7	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
26		nfile 14331	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
27	2, 25, 26	mp3an12 1453	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
28	27	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
29	24, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   I cid 5535   ↾ cres 5643  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514   ≼ cdom 8919  Fincfn 8921   ≤ cle 11216  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  USGraphcusgr 29083  ComplUSGraphccusgr 29344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-uspgr 29084  df-usgr 29085  df-fusgr 29251  df-nbgr 29267  df-uvtx 29320  df-cplgr 29345  df-cusgr 29346

This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  29399