Theorem sizusglecusg 29722

Description: The size of a simple graph with 𝑛 vertices is at most the size of a complete simple graph with 𝑛 vertices (𝑛 may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f	⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
sizusglecusg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Proof of Theorem sizusglecusg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	fvexi 6885	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		resiexg 7897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ V → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
4	2, 3	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
5		fusgrmaxsize.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		usgrsscusgra.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
7		usgrsscusgra.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Edg‘𝐻)
8	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem1 29720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹)
9		f1eq1 6759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐸) → (𝑓:𝐸–1-1→𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸–1-1→𝐹))
10	4, 8, 9	spcedv 3560	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
11	10	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹)
12		hashdom 14406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸 ≼ 𝐹))
14		brdomg 8943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
15	14	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
16	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (𝐸 ≼ 𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
17	13, 16	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸–1-1→𝐹))
18	11, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
19	18	exp31 424	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
20	5, 1, 6, 7	sizusglecusglem2 29721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
21	20	pm2.24d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
22	21	3expia 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝐹 ∈ Fin → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
23	22	com13 89	. . 3 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
24	19, 23	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
25	7	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
26		nfile 14386	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
27	2, 25, 26	mp3an12 1475	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
28	27	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
29	24, 28	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   class class class wbr 5105   I cid 5546   ↾ cres 5654  –1-1→wf1 6522  ‘cfv 6525   ≼ cdom 8929  Fincfn 8931   ≤ cle 11232  ♯chash 14357  Vtxcvtx 29255  Edgcedg 29306  USGraphcusgr 29408  ComplUSGraphccusgr 29669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358  df-vtx 29257  df-iedg 29258  df-edg 29307  df-uhgr 29317  df-upgr 29341  df-umgr 29342  df-uspgr 29409  df-usgr 29410  df-fusgr 29576  df-nbgr 29592  df-uvtx 29645  df-cplgr 29670  df-cusgr 29671

This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  29723