Theorem f1domg 8908

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6730	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		f1dmex 7901	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3		fex 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
5	4	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 ∈ V))
6		f1eq1 6725	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
7	6	spcegv 3551	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
8	5, 7	syli 39	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
9		brdomg 8895	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
10	8, 9	sylibrd 259	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489   ≼ cdom 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-dom 8885

This theorem is referenced by:  f1dom  8910  dom2d  8930  fseqen  9937  infpssrlem5  10217  hashf1  14380  vdwlem12  16920  chnpoadomd  18554  2ndcdisj  23400  ovolicc2lem4  25477  basellem4  27050  usgriedgleord  29301  uspgredgleord  29305