MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1domg 8967
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6780 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 f1dmex 7939 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3 fex 7222 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
41, 2, 3syl2an2r 682 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐹 ∈ V)
54expcom 413 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
6 f1eq1 6775 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵))
76spcegv 3581 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
85, 7syli 39 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
9 brdomg 8951 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
108, 9sylibrd 259 1 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  wf 6532  1-1wf1 6533  cdom 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-dom 8940
This theorem is referenced by:  f1dom  8969  dom2d  8988  fseqen  10021  infpssrlem5  10301  hashf1  14422  vdwlem12  16932  2ndcdisj  23311  ovolicc2lem4  25400  basellem4  26967  usgriedgleord  28989  uspgredgleord  28993
  Copyright terms: Public domain W3C validator