MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1domg 8993
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6793 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 f1dmex 7960 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3 fex 7238 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
41, 2, 3syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐹 ∈ V)
54expcom 413 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
6 f1eq1 6788 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵))
76spcegv 3584 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
85, 7syli 39 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
9 brdomg 8977 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
108, 9sylibrd 259 1 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1774  wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  wf 6544  1-1wf1 6545  cdom 8962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-dom 8966
This theorem is referenced by:  f1dom  8995  dom2d  9014  fseqen  10051  infpssrlem5  10331  hashf1  14451  vdwlem12  16961  2ndcdisj  23373  ovolicc2lem4  25462  basellem4  27029  usgriedgleord  29054  uspgredgleord  29058
  Copyright terms: Public domain W3C validator