Theorem f1domg 9010

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6804	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		f1dmex 7979	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3		fex 7245	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
5	4	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 ∈ V))
6		f1eq1 6799	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
7	6	spcegv 3596	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
8	5, 7	syli 39	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
9		brdomg 8995	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
10	8, 9	sylibrd 259	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  ⟶wf 6558  –1-1→wf1 6559   ≼ cdom 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-dom 8985

This theorem is referenced by:  f1dom  9012  dom2d  9031  fseqen  10064  infpssrlem5  10344  hashf1  14492  vdwlem12  17025  2ndcdisj  23479  ovolicc2lem4  25568  basellem4  27141  usgriedgleord  29259  uspgredgleord  29263