MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1domg 8377
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6443 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 f1dmex 7514 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3 fex 6855 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
41, 2, 3syl2an2r 681 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐹 ∈ V)
54expcom 414 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
6 f1eq1 6438 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵))
76spcegv 3540 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
85, 7syli 39 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
9 brdomg 8367 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
108, 9sylibrd 260 1 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1761  wcel 2081  Vcvv 3437   class class class wbr 4962  wf 6221  1-1wf1 6222  cdom 8355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-dom 8359
This theorem is referenced by:  f1dom  8379  dom2d  8398  fseqen  9299  infpssrlem5  9575  hashf1  13663  vdwlem12  16157  2ndcdisj  21748  ovolicc2lem4  23804  basellem4  25343  usgriedgleord  26693  uspgredgleord  26697
  Copyright terms: Public domain W3C validator