Theorem f1domg 8968

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6788	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		f1dmex 7943	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3		fex 7228	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
5	4	expcom 415	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 ∈ V))
6		f1eq1 6783	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
7	6	spcegv 3588	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
8	5, 7	syli 39	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
9		brdomg 8952	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
10	8, 9	sylibrd 259	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  ⟶wf 6540  –1-1→wf1 6541   ≼ cdom 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-dom 8941

This theorem is referenced by:  f1dom  8970  dom2d  8989  fseqen  10022  infpssrlem5  10302  hashf1  14418  vdwlem12  16925  2ndcdisj  22960  ovolicc2lem4  25037  basellem4  26588  usgriedgleord  28485  uspgredgleord  28489