Theorem f1domg 9036

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6808	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		f1dmex 8003	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3		fex 7263	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
5	4	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐹 ∈ V))
6		f1eq1 6803	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴⟶1-1𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵))
7	6	spcegv 3555	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1𝐵))
8	5, 7	syli 40	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1𝐵))
9		brdomg 9023	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1𝐵))
10	8, 9	sylibrd 262	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ⟶1-1wf1 6563   ≼ cdom 9009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-dom 9013

This theorem is used by:  f1dom  9038  dom2d  9058  fseqen  10145  infpssrlem5  10424  hashf1  14643  vdwlem12  17214  chnpoadomd  18855  2ndcdisj  23830  ovolicc2lem4  25896  basellem4  27468  usgriedgleord  29866  uspgredgleord  29870  soinfdom  35841