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Theorem hashdom 14286
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13884 . . . . . . . 8 (1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))) ∈ Fin
2 ficardom 9904 . . . . . . . 8 ((1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) ∈ Ο‰)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) ∈ Ο‰
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
54hashgval 14240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
74hashgval 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))) ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) = (β™―β€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) = (β™―β€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))
9 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
11 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅))
14 nn0sub2 12571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)) ∈ β„•0)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)) ∈ β„•0)
16 hashfz1 14253 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) = ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) = ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))
188, 17eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) = ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))
196, 18oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) + ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))) = ((β™―β€˜π΄) + ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))
209nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„‚)
2111nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„‚)
22 pncan3 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((β™―β€˜π΄) + ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))) = (β™―β€˜π΅))
2320, 21, 22syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π΄) + ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))) = (β™―β€˜π΅))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((β™―β€˜π΄) + ((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))) = (β™―β€˜π΅))
2519, 24eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) + ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))) = (β™―β€˜π΅))
26 ficardom 9904 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰)
284hashgadd 14284 . . . . . . . . . . 11 (((cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) ∈ Ο‰) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))) = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) + ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))))
2927, 3, 28sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))) = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) + ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))))
304hashgval 14240 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)) = (β™―β€˜π΅))
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)) = (β™―β€˜π΅))
3225, 29, 313eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))))) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)))
3332fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))))) = (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅))))
344hashgf1o 13883 . . . . . . . . 9 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0
35 nnacl 8563 . . . . . . . . . 10 (((cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) ∈ Ο‰)
3627, 3, 35sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) ∈ Ο‰)
37 f1ocnvfv1 7227 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) ∈ Ο‰) β†’ (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))))) = ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))))
3834, 36, 37sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))))) = ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))))
39 ficardom 9904 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π΅) ∈ Ο‰)
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (cardβ€˜π΅) ∈ Ο‰)
41 f1ocnvfv1 7227 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (cardβ€˜π΅) ∈ Ο‰) β†’ (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅))) = (cardβ€˜π΅))
4234, 40, 41sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ (β—‘(rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅))) = (cardβ€˜π΅))
4333, 38, 423eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) = (cardβ€˜π΅))
44 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) β†’ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))))
4544eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑦 = (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) β†’ (((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅) ↔ ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) = (cardβ€˜π΅)))
4645rspcev 3584 . . . . . . 7 (((cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄)))) ∈ Ο‰ ∧ ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜(1...((β™―β€˜π΅) βˆ’ (β™―β€˜π΄))))) = (cardβ€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅))
473, 43, 46sylancr 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅))
4847ex 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅)))
49 cardnn 9906 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π‘¦) = 𝑦)
5049adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜π‘¦) = 𝑦)
5150oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦)) = ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦))
5251eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦)) = (cardβ€˜π΅) ↔ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅)))
53 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦)) = (cardβ€˜π΅) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)))
54 nnfi 9118 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ 𝑦 ∈ Fin)
55 ficardom 9904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
564hashgadd 14284 . . . . . . . . . . . . . 14 (((cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) + ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π‘¦))))
5726, 55, 56syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) + ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π‘¦))))
584hashgval 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π‘¦)) = (β™―β€˜π‘¦))
595, 58oveqan12d 7381 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) + ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)))
6057, 59eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)))
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)))
6230ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)) = (β™―β€˜π΅))
6361, 62eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)) ↔ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)) = (β™―β€˜π΅)))
64 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
6564nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin β†’ 0 ≀ (β™―β€˜π‘¦))
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜π‘¦))
679nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ ℝ)
6864nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
69 addge01 11672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (β™―β€˜π‘¦) ↔ (β™―β€˜π΄) ≀ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦))))
7067, 68, 69syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (0 ≀ (β™―β€˜π‘¦) ↔ (β™―β€˜π΄) ≀ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦))))
7166, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)))
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)))
73 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)) = (β™―β€˜π΅) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)) ↔ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)))
7472, 73syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜π‘¦)) = (β™―β€˜π΅) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)))
7563, 74sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)))
7654, 75sylan2 594 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦))) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)))
7753, 76syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (((cardβ€˜π΄) +o (cardβ€˜π‘¦)) = (cardβ€˜π΅) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)))
7852, 77sylbird 260 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)))
7978rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅)))
8048, 79impbid 211 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅)))
81 nnawordex 8589 . . . . 5 (((cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜π΅) ∈ Ο‰) β†’ ((cardβ€˜π΄) βŠ† (cardβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅)))
8226, 39, 81syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((cardβ€˜π΄) βŠ† (cardβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ ((cardβ€˜π΄) +o 𝑦) = (cardβ€˜π΅)))
83 finnum 9891 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ 𝐴 ∈ dom card)
84 finnum 9891 . . . . 5 (𝐡 ∈ Fin β†’ 𝐡 ∈ dom card)
85 carddom2 9920 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐡 ∈ dom card) β†’ ((cardβ€˜π΄) βŠ† (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
8683, 84, 85syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((cardβ€˜π΄) βŠ† (cardβ€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
8780, 82, 863bitr2d 307 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
8887adantlr 714 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
89 hashxrcl 14264 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ ℝ*)
9089ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ ℝ*)
91 pnfge 13058 . . . . 5 ((β™―β€˜π΄) ∈ ℝ* β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ +∞)
9290, 91syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ +∞)
93 hashinf 14242 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΅) = +∞)
9493adantll 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΅) = +∞)
9592, 94breqtrrd 5138 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅))
96 isinffi 9935 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1→𝐡)
9796ancoms 460 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1→𝐡)
9897adantlr 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1→𝐡)
99 brdomg 8903 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 β‰Ό 𝐡 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1→𝐡))
10099ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (𝐴 β‰Ό 𝐡 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1→𝐡))
10198, 100mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝐡)
10295, 1012thd 265 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
10388, 102pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜π΄) ≀ (β™―β€˜π΅) ↔ 𝐴 β‰Ό 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  reccrdg 8360   +o coa 8414   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890  cardccrd 9878  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  β™―chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashdomi  14287  hashsdom  14288  hashun2  14290  hashss  14316  hashsslei  14333  hashfun  14344  hashf1  14363  hashge3el3dif  14392  isercoll  15559  phicl2  16647  phibnd  16650  prmreclem2  16796  prmreclem3  16797  4sqlem11  16834  vdwlem11  16870  ramub2  16893  0ram  16899  ram0  16901  sylow1lem4  19390  pgpssslw  19403  fislw  19414  znfld  20983  znidomb  20984  fta1blem  25549  birthdaylem3  26319  basellem4  26449  ppiwordi  26527  musum  26556  ppiub  26568  chpub  26584  lgsqrlem4  26713  upgrex  28085  sizusglecusg  28453  derangenlem  33805  subfaclefac  33810  erdsze2lem1  33837  snmlff  33963  idomsubgmo  41554  aacllem  47322
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