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Theorem hashdom 14415
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 14010 . . . . . . . 8 (1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin
2 ficardom 9999 . . . . . . . 8 ((1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin → (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω
4 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
54hashgval 14369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
65ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
74hashgval 14369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))
9 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1211ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
14 nn0sub2 12677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
16 hashfz1 14382 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
188, 17eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
196, 18oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))
209nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
2111nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
22 pncan3 11514 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2320, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2519, 24eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (♯‘𝐵))
26 ficardom 9999 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (card‘𝐴) ∈ ω)
284hashgadd 14413 . . . . . . . . . . 11 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))))
2927, 3, 28sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))))
304hashgval 14369 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
3130ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
3225, 29, 313eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
3332fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))))
344hashgf1o 14009 . . . . . . . . 9 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
35 nnacl 8648 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω)
3627, 3, 35sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω)
37 f1ocnvfv1 7296 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
3834, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
39 ficardom 9999 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
4039ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (card‘𝐵) ∈ ω)
41 f1ocnvfv1 7296 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))) = (card‘𝐵))
4234, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))) = (card‘𝐵))
4333, 38, 423eqtr3d 2783 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵))
44 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) → ((card‘𝐴) +o 𝑦) = ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
4544eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 = (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) → (((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵)))
4645rspcev 3622 . . . . . . 7 (((card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω ∧ ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵))
473, 43, 46sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵))
4847ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
49 cardnn 10001 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (card‘𝑦) = 𝑦)
5049adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (card‘𝑦) = 𝑦)
5150oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = ((card‘𝐴) +o 𝑦))
5251eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
53 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
54 nnfi 9206 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ Fin)
55 ficardom 9999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → (card‘𝑦) ∈ ω)
564hashgadd 14413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝑦) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))))
5726, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))))
584hashgval 14369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦)) = (♯‘𝑦))
595, 58oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6057, 59eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6160adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6230ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
6361, 62eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵)))
64 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
6564nn0ge0d 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → 0 ≤ (♯‘𝑦))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → 0 ≤ (♯‘𝑦))
679nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6864nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℝ)
69 addge01 11771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑦) ∈ ℝ) → (0 ≤ (♯‘𝑦) ↔ (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦))))
7067, 68, 69syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (0 ≤ (♯‘𝑦) ↔ (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦))))
7166, 70mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
7271adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
73 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵) → ((♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) ↔ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7472, 73syl5ibcom 245 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7563, 74sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7654, 75sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7753, 76syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7852, 77sylbird 260 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7978rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
8048, 79impbid 212 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
81 nnawordex 8674 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
8226, 39, 81syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
83 finnum 9986 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
84 finnum 9986 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
85 carddom2 10015 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8683, 84, 85syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8780, 82, 863bitr2d 307 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8887adantlr 715 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
89 hashxrcl 14393 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9089ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
91 pnfge 13170 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → (♯‘𝐴) ≤ +∞)
9290, 91syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ +∞)
93 hashinf 14371 . . . . 5 ((𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
9493adantll 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
9592, 94breqtrrd 5176 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
96 isinffi 10030 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
9796ancoms 458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
9897adantlr 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
99 brdomg 8996 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10099ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10198, 100mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
10295, 1012thd 265 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
10388, 102pm2.61dan 813 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  dom cdm 5689  cres 5691  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8448   +o coa 8502  cdom 8982  Fincfn 8984  cardccrd 9973  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  ...cfz 13544  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hashdomi  14416  hashsdom  14417  hashun2  14419  hashss  14445  hashsslei  14462  hashfun  14473  hashf1  14493  hashge3el3dif  14523  isercoll  15701  phicl2  16802  phibnd  16805  prmreclem2  16951  prmreclem3  16952  4sqlem11  16989  vdwlem11  17025  ramub2  17048  0ram  17054  ram0  17056  sylow1lem4  19634  pgpssslw  19647  fislw  19658  znfld  21597  znidomb  21598  fta1blem  26225  birthdaylem3  27011  basellem4  27142  ppiwordi  27220  musum  27249  ppiub  27263  chpub  27279  lgsqrlem4  27408  upgrex  29124  sizusglecusg  29496  derangenlem  35156  subfaclefac  35161  erdsze2lem1  35188  snmlff  35314  hashnexinj  42110  idomsubgmo  43182  aacllem  49032
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