MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdom 13370
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12979 . . . . . . . 8 (1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin
2 ficardom 9038 . . . . . . . 8 ((1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin → (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω
4 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
54hashgval 13324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
65ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
74hashgval 13324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))
9 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
109ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1211ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
14 nn0sub2 11685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
16 hashfz1 13338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
188, 17syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
196, 18oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))
209nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
2111nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
22 pncan3 10543 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2320, 21, 22syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2423adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2519, 24eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (♯‘𝐵))
26 ficardom 9038 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
2726ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (card‘𝐴) ∈ ω)
284hashgadd 13368 . . . . . . . . . . 11 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))))
2927, 3, 28sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))))
304hashgval 13324 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
3130ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
3225, 29, 313eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
3332fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))))
344hashgf1o 12978 . . . . . . . . 9 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
35 nnacl 7896 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω)
3627, 3, 35sylancl 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω)
37 f1ocnvfv1 6724 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
3834, 36, 37sylancr 581 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
39 ficardom 9038 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
4039ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (card‘𝐵) ∈ ω)
41 f1ocnvfv1 6724 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))) = (card‘𝐵))
4234, 40, 41sylancr 581 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))) = (card‘𝐵))
4333, 38, 423eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵))
44 oveq2 6850 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) → ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
4544eqeq1d 2767 . . . . . . . 8 (𝑦 = (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) → (((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵)))
4645rspcev 3461 . . . . . . 7 (((card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω ∧ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵))
473, 43, 46sylancr 581 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵))
4847ex 401 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵)))
49 cardnn 9040 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (card‘𝑦) = 𝑦)
5049adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (card‘𝑦) = 𝑦)
5150oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦)) = ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦))
5251eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵)))
53 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
54 nnfi 8360 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ Fin)
55 ficardom 9038 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → (card‘𝑦) ∈ ω)
564hashgadd 13368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝑦) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))))
5726, 55, 56syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))))
584hashgval 13324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦)) = (♯‘𝑦))
595, 58oveqan12d 6861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6057, 59eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6160adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6230ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
6361, 62eqeq12d 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵)))
64 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
6564nn0ge0d 11601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → 0 ≤ (♯‘𝑦))
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → 0 ≤ (♯‘𝑦))
679nn0red 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6864nn0red 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℝ)
69 addge01 10792 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑦) ∈ ℝ) → (0 ≤ (♯‘𝑦) ↔ (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦))))
7067, 68, 69syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (0 ≤ (♯‘𝑦) ↔ (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦))))
7166, 70mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
7271adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
73 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵) → ((♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) ↔ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7472, 73syl5ibcom 236 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7563, 74sylbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7654, 75sylan2 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7753, 76syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7852, 77sylbird 251 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7978rexlimdva 3178 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
8048, 79impbid 203 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵)))
81 nnawordex 7922 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵)))
8226, 39, 81syl2an 589 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +𝑜 𝑦) = (card‘𝐵)))
83 finnum 9025 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
84 finnum 9025 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
85 carddom2 9054 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8683, 84, 85syl2an 589 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8780, 82, 863bitr2d 298 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8887adantlr 706 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
89 hashxrcl 13350 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9089ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
91 pnfge 12164 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → (♯‘𝐴) ≤ +∞)
9290, 91syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ +∞)
93 hashinf 13326 . . . . 5 ((𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
9493adantll 705 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
9592, 94breqtrrd 4837 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
96 isinffi 9069 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
9796ancoms 450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
9897adantlr 706 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
99 brdomg 8170 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10099ad2antlr 718 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10198, 100mpbird 248 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
10295, 1012thd 256 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
10388, 102pm2.61dan 847 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  dom cdm 5277  cres 5279  1-1wf1 6065  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  ωcom 7263  reccrdg 7709   +𝑜 coa 7761  cdom 8158  Fincfn 8160  cardccrd 9012  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  *cxr 10327  cle 10329  cmin 10520  0cn0 11538  ...cfz 12533  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  hashdomi  13371  hashsdom  13372  hashun2  13374  hashss  13398  hashsslei  13414  hashfun  13425  hashf1  13442  hashge3el3dif  13469  isercoll  14685  phicl2  15754  phibnd  15757  prmreclem2  15902  prmreclem3  15903  4sqlem11  15940  vdwlem11  15976  ramub2  15999  0ram  16005  ram0  16007  sylow1lem4  18282  pgpssslw  18295  fislw  18306  znfld  20181  znidomb  20182  fta1blem  24219  birthdaylem3  24971  basellem4  25101  ppiwordi  25179  musum  25208  ppiub  25220  chpub  25236  lgsqrlem4  25365  upgrex  26264  sizusglecusg  26650  derangenlem  31533  subfaclefac  31538  erdsze2lem1  31565  snmlff  31691  idomsubgmo  38385  aacllem  43151
  Copyright terms: Public domain W3C validator