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Theorem hashdom 14418
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 14013 . . . . . . . 8 (1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin
2 ficardom 10001 . . . . . . . 8 ((1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin → (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
54hashgval 14372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
65ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
74hashgval 14372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))
9 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1211ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
14 nn0sub2 12679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0)
16 hashfz1 14385 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
188, 17eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))
196, 18oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))
209nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
2111nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
22 pncan3 11516 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2320, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))) = (♯‘𝐵))
2519, 24eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (♯‘𝐵))
26 ficardom 10001 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (card‘𝐴) ∈ ω)
284hashgadd 14416 . . . . . . . . . . 11 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))))
2927, 3, 28sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))))
304hashgval 14372 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
3130ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
3225, 29, 313eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
3332fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))))
344hashgf1o 14012 . . . . . . . . 9 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
35 nnacl 8649 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω)
3627, 3, 35sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω)
37 f1ocnvfv1 7296 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
3834, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))) = ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
39 ficardom 10001 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
4039ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → (card‘𝐵) ∈ ω)
41 f1ocnvfv1 7296 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))) = (card‘𝐵))
4234, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵))) = (card‘𝐵))
4333, 38, 423eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵))
44 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) → ((card‘𝐴) +o 𝑦) = ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))))
4544eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑦 = (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) → (((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵)))
4645rspcev 3622 . . . . . . 7 (((card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)))) ∈ ω ∧ ((card‘𝐴) +o (card‘(1...((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴))))) = (card‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵))
473, 43, 46sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵))
4847ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
49 cardnn 10003 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (card‘𝑦) = 𝑦)
5049adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (card‘𝑦) = 𝑦)
5150oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = ((card‘𝐴) +o 𝑦))
5251eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
53 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
54 nnfi 9207 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ Fin)
55 ficardom 10001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → (card‘𝑦) ∈ ω)
564hashgadd 14416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝑦) ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))))
5726, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))))
584hashgval 14372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦)) = (♯‘𝑦))
595, 58oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) + ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6057, 59eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6160adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
6230ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (♯‘𝐵))
6361, 62eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵)))
64 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
6564nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → 0 ≤ (♯‘𝑦))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → 0 ≤ (♯‘𝑦))
679nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6864nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℝ)
69 addge01 11773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑦) ∈ ℝ) → (0 ≤ (♯‘𝑦) ↔ (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦))))
7067, 68, 69syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (0 ≤ (♯‘𝑦) ↔ (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦))))
7166, 70mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
7271adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)))
73 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵) → ((♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) ↔ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7472, 73syl5ibcom 245 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝑦)) = (♯‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7563, 74sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7654, 75sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((card‘𝐴) +o (card‘𝑦))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7753, 76syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +o (card‘𝑦)) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7852, 77sylbird 260 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
7978rexlimdva 3155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
8048, 79impbid 212 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
81 nnawordex 8675 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
8226, 39, 81syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((card‘𝐴) +o 𝑦) = (card‘𝐵)))
83 finnum 9988 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
84 finnum 9988 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
85 carddom2 10017 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8683, 84, 85syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8780, 82, 863bitr2d 307 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
8887adantlr 715 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
89 hashxrcl 14396 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9089ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
91 pnfge 13172 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → (♯‘𝐴) ≤ +∞)
9290, 91syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ +∞)
93 hashinf 14374 . . . . 5 ((𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
9493adantll 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
9592, 94breqtrrd 5171 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
96 isinffi 10032 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
9796ancoms 458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
9897adantlr 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
99 brdomg 8997 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10099ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10198, 100mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
10295, 1012thd 265 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
10388, 102pm2.61dan 813 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  cres 5687  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8449   +o coa 8503  cdom 8983  Fincfn 8985  cardccrd 9975  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  cmin 11492  0cn0 12526  ...cfz 13547  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  hashdomi  14419  hashsdom  14420  hashun2  14422  hashss  14448  hashsslei  14465  hashfun  14476  hashf1  14496  hashge3el3dif  14526  isercoll  15704  phicl2  16805  phibnd  16808  prmreclem2  16955  prmreclem3  16956  4sqlem11  16993  vdwlem11  17029  ramub2  17052  0ram  17058  ram0  17060  sylow1lem4  19619  pgpssslw  19632  fislw  19643  znfld  21579  znidomb  21580  fta1blem  26210  birthdaylem3  26996  basellem4  27127  ppiwordi  27205  musum  27234  ppiub  27248  chpub  27264  lgsqrlem4  27393  upgrex  29109  sizusglecusg  29481  derangenlem  35176  subfaclefac  35181  erdsze2lem1  35208  snmlff  35334  hashnexinj  42129  idomsubgmo  43205  aacllem  49320
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