Theorem hashge3el3dif 14440

Description: A set with size at least 3 has at least 3 different elements. In contrast to hashge2el2dif 14433, which has an elementary proof, the dominance relation and 1-1 functions from a set with three elements which are known to be different are used to prove this theorem. Although there is also an elementary proof for this theorem, it might be much longer. After all, this proof should be kept because it can be used as template for proofs for higher cardinalities. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hashge3el3dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hashge3el3dif

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 5286	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 5229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	sneqr 4771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} = {{∅}} → ∅ = {∅})
4	3	necon3i 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≠ {∅} → {∅} ≠ {{∅}})
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≠ {{∅}}
6		snex 5368	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
7		snnzg 4706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ V → {{∅}} ≠ ∅)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {{∅}} ≠ ∅
9	1, 5, 8	3pm3.2i 1346	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅)
10		snex 5368	. . . . . . . . . 10 ⊢ {{∅}} ∈ V
11	2, 6, 10	3pm3.2i 1346	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V)
12		hashtpg 14438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V) → ((∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3)
14	9, 13	mpbi 231	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3
15	14	eqcomi 2748	. . . . . 6 ⊢ 3 = (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}})
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 3 = (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}))
17	16	breq1d 5082	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷)))
18		tpfi 9226	. . . . 5 ⊢ {∅, {∅}, {{∅}}} ∈ Fin
19		hashdom 14332	. . . . 5 ⊢ (({∅, {∅}, {{∅}}} ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
20	18, 19	mpan 696	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
21	17, 20	bitrd 280	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
22		brdomg 8895	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷))
23	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → (∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V))
24	7	necomd 2989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} ∈ V → ∅ ≠ {{∅}})
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ≠ {{∅}}
26	1, 25, 5	3pm3.2i 1346	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≠ {∅} ∧ ∅ ≠ {{∅}} ∧ {∅} ≠ {{∅}})
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → (∅ ≠ {∅} ∧ ∅ ≠ {{∅}} ∧ {∅} ≠ {{∅}}))
28		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷)
29	23, 27, 28	f1dom3el3dif 7213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30	29	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → (𝐷 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
31	30	exlimiv 1937	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → (𝐷 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
32	31	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
33	22, 32	sylbid 241	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
34	21, 33	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
35	34	imp 407	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  ∅c0 4261  {csn 4555  {ctp 4559   class class class wbr 5072  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485   ≼ cdom 8881  Fincfn 8883   ≤ cle 11171  3c3 12228  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  19441