Theorem hashge3el3dif 14440

Description: A set with size at least 3 has at least 3 different elements. In contrast to hashge2el2dif 14433, which has an elementary proof, the dominance relation and 1-1 functions from a set with three elements which are known to be different are used to prove this theorem. Although there is also an elementary proof for this theorem, it might be much longer. After all, this proof should be kept because it can be used as template for proofs for higher cardinalities. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hashge3el3dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hashge3el3dif

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 5295	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 5242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	sneqr 4784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} = {{∅}} → ∅ = {∅})
4	3	necon3i 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≠ {∅} → {∅} ≠ {{∅}})
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≠ {{∅}}
6		snex 5376	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
7		snnzg 4719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ V → {{∅}} ≠ ∅)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {{∅}} ≠ ∅
9	1, 5, 8	3pm3.2i 1341	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅)
10		snex 5376	. . . . . . . . . 10 ⊢ {{∅}} ∈ V
11	2, 6, 10	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V)
12		hashtpg 14438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V) → ((∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3)
14	9, 13	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3
15	14	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 3 = (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}})
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 3 = (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}))
17	16	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷)))
18		tpfi 9229	. . . . 5 ⊢ {∅, {∅}, {{∅}}} ∈ Fin
19		hashdom 14332	. . . . 5 ⊢ (({∅, {∅}, {{∅}}} ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
20	18, 19	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
21	17, 20	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
22		brdomg 8898	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷))
23	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → (∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V))
24	7	necomd 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} ∈ V → ∅ ≠ {{∅}})
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ≠ {{∅}}
26	1, 25, 5	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≠ {∅} ∧ ∅ ≠ {{∅}} ∧ {∅} ≠ {{∅}})
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → (∅ ≠ {∅} ∧ ∅ ≠ {{∅}} ∧ {∅} ≠ {{∅}}))
28		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷)
29	23, 27, 28	f1dom3el3dif 7217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30	29	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → (𝐷 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
31	30	exlimiv 1932	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → (𝐷 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
32	31	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
33	22, 32	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
34	21, 33	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
35	34	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568  {ctp 4572   class class class wbr 5086  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492   ≼ cdom 8884  Fincfn 8886   ≤ cle 11171  3c3 12228  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  19441