Theorem hashge3el3dif 14503

Description: A set with size at least 3 has at least 3 different elements. In contrast to hashge2el2dif 14496, which has an elementary proof, the dominance relation and 1-1 functions from a set with three elements which are known to be different are used to prove this theorem. Although there is also an elementary proof for this theorem, it might be much longer. After all, this proof should be kept because it can be used as template for proofs for higher cardinalities. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hashge3el3dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hashge3el3dif

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 5328	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 5277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	sneqr 4816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} = {{∅}} → ∅ = {∅})
4	3	necon3i 2964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ≠ {∅} → {∅} ≠ {{∅}})
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≠ {{∅}}
6		snex 5406	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
7		snnzg 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({∅} ∈ V → {{∅}} ≠ ∅)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {{∅}} ≠ ∅
9	1, 5, 8	3pm3.2i 1340	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅)
10		snex 5406	. . . . . . . . . 10 ⊢ {{∅}} ∈ V
11	2, 6, 10	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V)
12		hashtpg 14501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V) → ((∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ≠ {∅} ∧ {∅} ≠ {{∅}} ∧ {{∅}} ≠ ∅) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3)
14	9, 13	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) = 3
15	14	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ 3 = (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}})
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 3 = (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}))
17	16	breq1d 5129	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) ↔ (♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷)))
18		tpfi 9335	. . . . 5 ⊢ {∅, {∅}, {{∅}}} ∈ Fin
19		hashdom 14395	. . . . 5 ⊢ (({∅, {∅}, {{∅}}} ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
20	18, 19	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((♯‘{∅, {∅}, {{∅}}}) ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
21	17, 20	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) ↔ {∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷))
22		brdomg 8969	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷))
23	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → (∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V ∧ {{∅}} ∈ V))
24	7	necomd 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} ∈ V → ∅ ≠ {{∅}})
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ≠ {{∅}}
26	1, 25, 5	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≠ {∅} ∧ ∅ ≠ {{∅}} ∧ {∅} ≠ {{∅}})
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → (∅ ≠ {∅} ∧ ∅ ≠ {{∅}} ∧ {∅} ≠ {{∅}}))
28		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷)
29	23, 27, 28	f1dom3el3dif 7261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30	29	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → (𝐷 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
31	30	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → (𝐷 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
32	31	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑓 𝑓:{∅, {∅}, {{∅}}}–1-1→𝐷 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
33	22, 32	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ({∅, {∅}, {{∅}}} ≼ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
34	21, 33	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (3 ≤ (♯‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
35	34	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3459  ∅c0 4308  {csn 4601  {ctp 4605   class class class wbr 5119  –1-1→wf1 6527  ‘cfv 6530   ≼ cdom 8955  Fincfn 8957   ≤ cle 11268  3c3 12294  ♯chash 14346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-hash 14347

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  19454