Theorem fidomtri 9917

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem fidomtri

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9043	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
2		finnum 9872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ dom card)
4		finnum 9872	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
5		domtri2 9913	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	biimprd 248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
8		isinffi 9916	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵)
9	8	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵)
10	9	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵)
11		brdomg 8907	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵))
12	11	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵))
13	10, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝐵)
14	13	a1d 25	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
15	7, 14	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
16	1, 15	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  –1-1→wf1 6497   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863

This theorem is referenced by:  fidomtri2  9918  fin56  10315  hauspwdom  23457  harinf  43380  safesnsupfidom1o  43762