Theorem fidomtri 10101

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem fidomtri

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9150	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
2		finnum 10056	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ dom card)
4		finnum 10056	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
5		domtri2 10097	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	biimprd 251	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
8		isinffi 10100	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴⟶1-1𝐵)
9	8	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴⟶1-1𝐵)
10	9	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴⟶1-1𝐵)
11		brdomg 9013	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴⟶1-1𝐵))
12	11	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴⟶1-1𝐵))
13	10, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝐵)
14	13	a1d 26	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
15	7, 14	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
16	1, 15	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶1-1wf1 6555   ≼ cdom 8999   ≺ csdm 9000  Fincfn 9001  cardccrd 10043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047

This theorem is used by:  fidomtri2  10102  fin56  10498  hauspwdom  23850  harinf  44234  safesnsupfidom1o  44610