MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomtri 9990
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem fidomtri
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 9101 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2 finnum 9945 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ dom card)
4 finnum 9945 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
5 domtri2 9986 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2an 595 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
76biimprd 247 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
8 isinffi 9989 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
98ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
109adantlr 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
11 brdomg 8954 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1211ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1310, 12mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
1413a1d 25 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
157, 14pm2.61dan 810 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
161, 15impbid2 225 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wex 1773  wcel 2098   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  1-1wf1 6534  cdom 8939  csdm 8940  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936
This theorem is referenced by:  fidomtri2  9991  fin56  10390  hauspwdom  23360  harinf  42351  safesnsupfidom1o  42744
  Copyright terms: Public domain W3C validator