Theorem fidomtri 9988

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem fidomtri

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9099	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
2		finnum 9943	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
3	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ dom card)
4		finnum 9943	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
5		domtri2 9984	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
7	6	biimprd 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
8		isinffi 9987	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵)
9	8	ancoms 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵)
10	9	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵)
11		brdomg 8952	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵))
12	11	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴–1-1→𝐵))
13	10, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝐵)
14	13	a1d 25	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
15	7, 14	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
16	1, 15	impbid2 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  –1-1→wf1 6541   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939  cardccrd 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934

This theorem is referenced by:  fidomtri2  9989  fin56  10388  hauspwdom  23005  harinf  41773  safesnsupfidom1o  42168