MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomtri 9017
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem fidomtri
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 8240 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2 finnum 8972 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
32adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ dom card)
4 finnum 8972 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
5 domtri2 9013 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2an 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
76biimprd 238 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
8 isinffi 9016 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
98ancoms 446 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
109adantlr 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
11 brdomg 8117 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1211ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1310, 12mpbird 247 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
1413a1d 25 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
157, 14pm2.61dan 814 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
161, 15impbid2 216 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wex 1852  wcel 2145   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  1-1wf1 6026  cdom 8105  csdm 8106  Fincfn 8107  cardccrd 8959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-om 7211  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963
This theorem is referenced by:  fidomtri2  9018  fin56  9415  hauspwdom  21518  harinf  38120
  Copyright terms: Public domain W3C validator