MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomtri 9414
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem fidomtri
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 8635 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2 finnum 9369 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ dom card)
4 finnum 9369 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
5 domtri2 9410 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2an 595 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
76biimprd 249 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
8 isinffi 9413 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
98ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
109adantlr 711 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
11 brdomg 8511 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1211ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1310, 12mpbird 258 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
1413a1d 25 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
157, 14pm2.61dan 809 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
161, 15impbid2 227 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wex 1773  wcel 2107   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  1-1wf1 6348  cdom 8499  csdm 8500  Fincfn 8501  cardccrd 9356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-om 7572  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360
This theorem is referenced by:  fidomtri2  9415  fin56  9807  hauspwdom  22027  harinf  39498
  Copyright terms: Public domain W3C validator