Theorem pets 38949

Description: Partition-Equivalence Theorem with general 𝑅, with binary relations. This theorem (together with pet 38948 and pet2 38947) is the main result of my investigation into set theory, cf. the comment of pet 38948. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pets	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))

Proof of Theorem pets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pet 38948	. 2 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)
2		xrncnvepresex 38454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
3		brpartspart 38870	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
4	2, 3	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
5		1cossxrncnvepresex 38523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
6		brerser 38774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ( ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
7	5, 6	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ( ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
8	4, 7	bibi12d 345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴) ↔ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)))
9	1, 8	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5089   E cep 5513  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616   ⋉ cxrn 38213   ≀ ccoss 38221   Ers cers 38246   ErALTV werALTV 38247   Parts cparts 38259   Part wpart 38260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-eprel 5514  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fo 6487  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-ec 8624  df-qs 8628  df-xrn 38403  df-rels 38463  df-coss 38512  df-ssr 38589  df-refs 38601  df-refrels 38602  df-refrel 38603  df-cnvrefs 38616  df-cnvrefrels 38617  df-cnvrefrel 38618  df-syms 38633  df-symrels 38634  df-symrel 38635  df-trs 38667  df-trrels 38668  df-trrel 38669  df-eqvrels 38679  df-eqvrel 38680  df-dmqss 38733  df-dmqs 38734  df-ers 38760  df-erALTV 38761  df-funALTV 38779  df-disjss 38800  df-disjs 38801  df-disjALTV 38802  df-eldisj 38804  df-parts 38862  df-part 38863

This theorem is referenced by: (None)