Theorem pets 39284

Description: Partition-Equivalence Theorem with general 𝑅, with binary relations. This theorem (together with pet 39283 and pet2 39282) is the main result of my investigation into set theory, cf. the comment of pet 39283. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pets	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))

Proof of Theorem pets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pet 39283	. 2 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)
2		xrncnvepresex 38749	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
3		brpartspart 39194	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
4	2, 3	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
5		1cossxrncnvepresex 38830	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
6		brerser 39080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ( ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
7	5, 6	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ( ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
8	4, 7	bibi12d 345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴) ↔ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)))
9	1, 8	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   E cep 5527  ^◡ccnv 5627   ↾ cres 5630   ⋉ cxrn 38492   ≀ ccoss 38501   Ers cers 38526   ErALTV werALTV 38527   Parts cparts 38541   Part wpart 38542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-eprel 5528  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fo 6502  df-fv 6504  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-ec 8642  df-qs 8646  df-xrn 38698  df-rels 38758  df-coss 38819  df-ssr 38896  df-refs 38908  df-refrels 38909  df-refrel 38910  df-cnvrefs 38923  df-cnvrefrels 38924  df-cnvrefrel 38925  df-syms 38940  df-symrels 38941  df-symrel 38942  df-trs 38974  df-trrels 38975  df-trrel 38976  df-eqvrels 38986  df-eqvrel 38987  df-dmqss 39040  df-dmqs 39041  df-ers 39066  df-erALTV 39067  df-funALTV 39085  df-disjss 39106  df-disjs 39107  df-disjALTV 39108  df-eldisj 39110  df-parts 39186  df-part 39187

This theorem is referenced by:  typesafepets  39293