Theorem pets 39275

Description: Partition-Equivalence Theorem with general 𝑅, with binary relations. This theorem (together with pet 39274 and pet2 39273) is the main result of my investigation into set theory, cf. the comment of pet 39274. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pets	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))

Proof of Theorem pets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pet 39274	. 2 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)
2		xrncnvepresex 38740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
3		brpartspart 39185	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
4	2, 3	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
5		1cossxrncnvepresex 38821	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
6		brerser 39071	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ( ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
7	5, 6	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ( ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
8	4, 7	bibi12d 345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴) ↔ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)))
9	1, 8	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   class class class wbr 5074   E cep 5519  ^◡ccnv 5619   ↾ cres 5622   ⋉ cxrn 38483   ≀ ccoss 38492   Ers cers 38517   ErALTV werALTV 38518   Parts cparts 38532   Part wpart 38533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fo 6493  df-fv 6495  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-ec 8634  df-qs 8638  df-xrn 38689  df-rels 38749  df-coss 38810  df-ssr 38887  df-refs 38899  df-refrels 38900  df-refrel 38901  df-cnvrefs 38914  df-cnvrefrels 38915  df-cnvrefrel 38916  df-syms 38931  df-symrels 38932  df-symrel 38933  df-trs 38965  df-trrels 38966  df-trrel 38967  df-eqvrels 38977  df-eqvrel 38978  df-dmqss 39031  df-dmqs 39032  df-ers 39057  df-erALTV 39058  df-funALTV 39076  df-disjss 39097  df-disjs 39098  df-disjALTV 39099  df-eldisj 39101  df-parts 39177  df-part 39178

This theorem is referenced by:  typesafepets  39284