Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pets 38834
Description: Partition-Equivalence Theorem with general 𝑅, with binary relations. This theorem (together with pet 38833 and pet2 38832) is the main result of my investigation into set theory, cf. the comment of pet 38833. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
pets ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))

Proof of Theorem pets
StepHypRef Expression
1 pet 38833 . 2 ((𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)
2 xrncnvepresex 38390 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ∈ V)
3 brpartspart 38755 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ((𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
42, 3syldan 591 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Part 𝐴))
5 1cossxrncnvepresex 38404 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ∈ V)
6 brerser 38659 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ∈ V) → ( ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
75, 6syldan 591 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ( ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴))
84, 7bibi12d 345 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (((𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴) ↔ ((𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Part 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) ErALTV 𝐴)))
91, 8mpbiri 258 1 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Parts 𝐴 ↔ ≀ (𝑅 ⋉ ( E ↾ 𝐴)) Ers 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   E cep 5588  ccnv 5688  cres 5691  cxrn 38161  ccoss 38162   Ers cers 38187   ErALTV werALTV 38188   Parts cparts 38200   Part wpart 38201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-ec 8746  df-qs 8750  df-xrn 38353  df-coss 38393  df-rels 38467  df-ssr 38480  df-refs 38492  df-refrels 38493  df-refrel 38494  df-cnvrefs 38507  df-cnvrefrels 38508  df-cnvrefrel 38509  df-syms 38524  df-symrels 38525  df-symrel 38526  df-trs 38554  df-trrels 38555  df-trrel 38556  df-eqvrels 38566  df-eqvrel 38567  df-dmqss 38620  df-dmqs 38621  df-ers 38645  df-erALTV 38646  df-funALTV 38664  df-disjss 38685  df-disjs 38686  df-disjALTV 38687  df-eldisj 38689  df-parts 38747  df-part 38748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator