MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colhp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colhp 27809
Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpgid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpgid.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
hpgid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
colopp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
colopp.p (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
colopp.1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
colhp.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
colhp (πœ‘ β†’ (𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡 ↔ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,𝑑   𝑑,𝐢   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑏   𝐢,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐾(𝑑,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem colhp
StepHypRef Expression
1 ancom 461 . . 3 ((𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡))
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)))
3 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 hpgid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgid.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
98adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 colopp.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1110adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
13 eqid 2731 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
14 eqid 2731 . . . . . . 7 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
15 colopp.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
163, 5, 4, 6, 8, 15tglnpt 27588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
17 eqid 2731 . . . . . . 7 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)
18 hpgid.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
193, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mircl 27700 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝑃)
2019adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝑃)
2115adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
2216adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2318adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
24 nelne2 3039 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 β‰  𝐴)
2515, 24sylan 580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 β‰  𝐴)
2625necomd 2995 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
273, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirbtwn 27697 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)𝐼𝐴))
283, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 27tgbtwncom 27527 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
303, 4, 5, 7, 23, 22, 20, 26, 29btwnlng3 27660 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ (𝐴𝐿𝐢))
31 colopp.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
323, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 31colrot1 27598 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
333, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 32colcom 27597 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐿𝐡) ∨ 𝐢 = 𝐡))
3433adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐿𝐡) ∨ 𝐢 = 𝐡))
353, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 30, 34coltr 27686 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ (𝐢𝐿𝐡) ∨ 𝐢 = 𝐡))
363, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 35colrot1 27598 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐿(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∨ 𝐡 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
373, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 36colopp 27808 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐡𝑂(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ↔ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷)))
38 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
393, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirmir 27701 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) = 𝐴)
4039adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) = 𝐴)
416adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
428adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4315adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
44 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷)
453, 13, 4, 5, 14, 41, 17, 42, 43, 44mirln 27715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∈ 𝐷)
4640, 45eqeltrrd 2833 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
4746stoic1a 1774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷)
48 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = 𝐢) β†’ 𝑑 = 𝐢)
4948eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = 𝐢) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ↔ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄))))
5015, 49, 28rspcedvd 3597 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
5150adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
5238, 47, 51jca31 515 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄))))
533, 13, 4, 12, 23, 20islnopp 27778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐴𝑂(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))))
5452, 53mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴𝑂(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄))
553, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 54lnopp2hpgb 27802 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐡𝑂(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ↔ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡))
56 colhp.k . . . . . . 7 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
5710ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
5818ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5916ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
606ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6115ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
62 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)
63 nelne2 3039 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
6463necomd 2995 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
6561, 62, 64syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
6626adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
67 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
683, 13, 4, 5, 14, 60, 17, 56, 59, 57, 58, 58, 65, 66, 67mirhl2 27720 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐡(πΎβ€˜πΆ)𝐴)
693, 4, 56, 57, 58, 59, 60, 68hlcomd 27643 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
70693adantr3 1171 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷)) β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
7118ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7210ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7319ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝑃)
746ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7516ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
7728ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
783, 4, 56, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77btwnhl 27653 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
793, 4, 56, 71, 72, 75, 74, 5, 76hlln 27646 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢))
8079adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢))
817ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8211ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
8375adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8423ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8576adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
863, 4, 56, 84, 82, 83, 81, 85hlne2 27645 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
879ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
88 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
8915ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
903, 4, 5, 81, 82, 83, 86, 86, 87, 88, 89tglinethru 27675 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 = (𝐡𝐿𝐢))
9180, 90eleqtrrd 2835 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
9238ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
9391, 92pm2.65da 815 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)
9447adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷)
9578, 93, 943jca 1128 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷))
9670, 95impbida 799 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 ∈ (𝐡𝐼(((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡))
9737, 55, 963bitr3d 308 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡 ↔ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡))
9897pm5.32da 579 . 2 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) ↔ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)))
99 simprr 771 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)) β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
1006adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1018adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10218adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10310adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
104 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
1053, 4, 5, 12, 100, 101, 102, 103, 104hpgne1 27800 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
106105, 104jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡))
10799, 106impbida 799 . 2 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡) ↔ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡))
1082, 98, 1073bitr2rd 307 1 (πœ‘ β†’ (𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡 ↔ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3925   class class class wbr 5125  {copab 5187  ran crn 5654  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  distcds 17171  TarskiGcstrkg 27466  Itvcitv 27472  LineGclng 27473  hlGchlg 27639  pInvGcmir 27691  hpGchpg 27796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-trkgc 27487  df-trkgb 27488  df-trkgcb 27489  df-trkgld 27491  df-trkg 27492  df-cgrg 27550  df-leg 27622  df-hlg 27640  df-mir 27692  df-rag 27733  df-perpg 27735  df-hpg 27797
This theorem is referenced by:  hphl  27810
  Copyright terms: Public domain W3C validator