Theorem colhp 28916

Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colhp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
colhp	⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colhp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 464	. . 3 ⊢ ((𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)))
3		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgid.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hpgid.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		colopp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15		colopp.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
16	3, 5, 4, 6, 8, 15	tglnpt 28695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
18		hpgid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
19	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mircl 28807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
21	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
22	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		nelne2 3054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐴)
25	15, 24	sylan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐴)
26	25	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝐶)
27	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mirbtwn 28804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
28	3, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 27	tgbtwncom 28634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
29	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
30	3, 4, 5, 7, 23, 22, 20, 26, 29	btwnlng3 28767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
31		colopp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32	3, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 31	colrot1 28705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
33	3, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 32	colcom 28704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
34	33	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
35	3, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 30, 34	coltr 28793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
36	3, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 35	colrot1 28705	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
37	3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 36	colopp 28915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)))
38		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
39	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mirmir 28808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
41	6	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	8	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
43	15	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
44		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
45	3, 13, 4, 5, 14, 41, 17, 42, 43, 44	mirln 28822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∈ 𝐷)
46	40, 45	eqeltrrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
47	46	stoic1a 1791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
48		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
49	48	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
50	15, 49, 28	rspcedvd 3583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
51	50	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
52	38, 47, 51	jca31 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
53	3, 13, 4, 12, 23, 20	islnopp 28885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))))
54	52, 53	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
55	3, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 54	lnopp2hpgb 28909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
56		colhp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
57	10	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
58	18	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
59	16	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	6	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
61	15	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
62		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
63		nelne2 3054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐵)
64	63	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐶)
65	61, 62, 64	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
66	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
67		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
68	3, 13, 4, 5, 14, 60, 17, 56, 59, 57, 58, 58, 65, 66, 67	mirhl2 28827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)
69	3, 4, 56, 57, 58, 59, 60, 68	hlcomd 28750	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
70	69	3adantr3 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
71	18	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
72	10	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
73	19	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
74	6	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
75	16	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
76		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
77	28	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
78	3, 4, 56, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	btwnhl 28760	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
79	3, 4, 56, 71, 72, 75, 74, 5, 76	hlln 28753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
80	79	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
81	7	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
82	11	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
83	75	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
84	23	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
85	76	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
86	3, 4, 56, 84, 82, 83, 81, 85	hlne2 28752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐶)
87	9	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
88		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
89	15	ad3antrrr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
90	3, 4, 5, 81, 82, 83, 86, 86, 87, 88, 89	tglinethru 28782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝐶))
91	80, 90	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
92	38	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
93	91, 92	pm2.65da 826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
94	47	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
95	78, 93, 94	3jca 1140	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷))
96	70, 95	impbida 810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
97	37, 55, 96	3bitr3d 311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
98	97	pm5.32da 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)))
99		simprr 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
100	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
102	18	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
103	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
105	3, 4, 5, 12, 100, 101, 102, 103, 104	hpgne1 28907	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
106	105, 104	jca 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
107	99, 106	impbida 810	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
108	2, 98, 107	3bitr2rd 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   class class class wbr 5099  {copab 5161  ran crn 5646  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  distcds 17278  TarskiGcstrkg 28573  Itvcitv 28579  LineGclng 28580  hlGchlg 28746  pInvGcmir 28798  hpGchpg 28903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-s3 14859  df-trkgc 28594  df-trkgb 28595  df-trkgcb 28596  df-trkgld 28598  df-trkg 28599  df-cgrg 28657  df-leg 28729  df-hlg 28747  df-mir 28799  df-rag 28840  df-perpg 28842  df-hpg 28904

This theorem is referenced by:  hphl  28917