MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colhp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colhp 28779
Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b (𝜑𝐵𝑃)
colopp.p (𝜑𝐶𝐷)
colopp.1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colhp.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
colhp (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colhp
StepHypRef Expression
1 ancom 460 . . 3 ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
3 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgid.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 colopp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐵𝑃)
12 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13 eqid 2736 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14 eqid 2736 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15 colopp.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐷)
163, 5, 4, 6, 8, 15tglnpt 28558 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
17 eqid 2736 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
18 hpgid.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
193, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mircl 28670 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2115adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐷)
2216adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝑃)
2318adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
24 nelne2 3039 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2515, 24sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2625necomd 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝐶)
273, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirbtwn 28667 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
283, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 27tgbtwncom 28497 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
303, 4, 5, 7, 23, 22, 20, 26, 29btwnlng3 28630 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
31 colopp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
323, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 31colrot1 28568 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
333, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 32colcom 28567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
353, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 30, 34coltr 28656 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
363, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 35colrot1 28568 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
373, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 36colopp 28778 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)))
38 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
393, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirmir 28671 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
416adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
428adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4315adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐶𝐷)
44 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
453, 13, 4, 5, 14, 41, 17, 42, 43, 44mirln 28685 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∈ 𝐷)
4640, 45eqeltrrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐴𝐷)
4746stoic1a 1771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
48 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
4948eleq1d 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
5015, 49, 28rspcedvd 3623 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
5238, 47, 51jca31 514 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
533, 13, 4, 12, 23, 20islnopp 28748 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))))
5452, 53mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
553, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 54lnopp2hpgb 28772 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
56 colhp.k . . . . . . 7 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5710ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝑃)
5818ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝑃)
5916ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝑃)
606ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6115ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝐷)
62 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → ¬ 𝐵𝐷)
63 nelne2 3039 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐵)
6463necomd 2995 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
6561, 62, 64syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝐶)
6626adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝐶)
67 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
683, 13, 4, 5, 14, 60, 17, 56, 59, 57, 58, 58, 65, 66, 67mirhl2 28690 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
693, 4, 56, 57, 58, 59, 60, 68hlcomd 28613 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
70693adantr3 1171 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
7118ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴𝑃)
7210ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐵𝑃)
7319ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
746ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7516ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶𝑃)
76 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
7728ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
783, 4, 56, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77btwnhl 28623 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
793, 4, 56, 71, 72, 75, 74, 5, 76hlln 28616 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
8079adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
817ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8211ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝑃)
8375adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝑃)
8423ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝑃)
8576adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
863, 4, 56, 84, 82, 83, 81, 85hlne2 28615 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
879ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
88 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐷)
8915ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐷)
903, 4, 5, 81, 82, 83, 86, 86, 87, 88, 89tglinethru 28645 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝐶))
9180, 90eleqtrrd 2843 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
9238ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
9391, 92pm2.65da 816 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ 𝐵𝐷)
9447adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
9578, 93, 943jca 1128 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷))
9670, 95impbida 800 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
9737, 55, 963bitr3d 309 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
9897pm5.32da 579 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
99 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
1006adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1018adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10218adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴𝑃)
10310adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑃)
104 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
1053, 4, 5, 12, 100, 101, 102, 103, 104hpgne1 28770 . . . 4 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ¬ 𝐴𝐷)
106105, 104jca 511 . . 3 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
10799, 106impbida 800 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
1082, 98, 1073bitr2rd 308 1 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  cdif 3947   class class class wbr 5142  {copab 5204  ran crn 5685  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28436  Itvcitv 28442  LineGclng 28443  hlGchlg 28609  pInvGcmir 28661  hpGchpg 28766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28457  df-trkgb 28458  df-trkgcb 28459  df-trkgld 28461  df-trkg 28462  df-cgrg 28520  df-leg 28592  df-hlg 28610  df-mir 28662  df-rag 28703  df-perpg 28705  df-hpg 28767
This theorem is referenced by:  hphl  28780
  Copyright terms: Public domain W3C validator