MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colhp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colhp 28455
Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b (𝜑𝐵𝑃)
colopp.p (𝜑𝐶𝐷)
colopp.1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colhp.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
colhp (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colhp
StepHypRef Expression
1 ancom 460 . . 3 ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
3 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgid.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 colopp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐵𝑃)
12 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13 eqid 2731 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14 eqid 2731 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15 colopp.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐷)
163, 5, 4, 6, 8, 15tglnpt 28234 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
17 eqid 2731 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
18 hpgid.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
193, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mircl 28346 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2115adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐷)
2216adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝑃)
2318adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
24 nelne2 3039 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2515, 24sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2625necomd 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝐶)
273, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirbtwn 28343 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
283, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 27tgbtwncom 28173 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
303, 4, 5, 7, 23, 22, 20, 26, 29btwnlng3 28306 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
31 colopp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
323, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 31colrot1 28244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
333, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 32colcom 28243 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
353, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 30, 34coltr 28332 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
363, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 35colrot1 28244 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
373, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 36colopp 28454 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)))
38 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
393, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirmir 28347 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
416adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
428adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4315adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐶𝐷)
44 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
453, 13, 4, 5, 14, 41, 17, 42, 43, 44mirln 28361 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∈ 𝐷)
4640, 45eqeltrrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐴𝐷)
4746stoic1a 1773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
48 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
4948eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
5015, 49, 28rspcedvd 3614 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
5238, 47, 51jca31 514 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
533, 13, 4, 12, 23, 20islnopp 28424 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))))
5452, 53mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
553, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 54lnopp2hpgb 28448 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
56 colhp.k . . . . . . 7 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5710ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝑃)
5818ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝑃)
5916ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝑃)
606ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6115ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝐷)
62 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → ¬ 𝐵𝐷)
63 nelne2 3039 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐵)
6463necomd 2995 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
6561, 62, 64syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝐶)
6626adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝐶)
67 simprl 768 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
683, 13, 4, 5, 14, 60, 17, 56, 59, 57, 58, 58, 65, 66, 67mirhl2 28366 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
693, 4, 56, 57, 58, 59, 60, 68hlcomd 28289 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
70693adantr3 1170 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
7118ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴𝑃)
7210ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐵𝑃)
7319ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
746ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7516ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶𝑃)
76 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
7728ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
783, 4, 56, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77btwnhl 28299 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
793, 4, 56, 71, 72, 75, 74, 5, 76hlln 28292 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
8079adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
817ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8211ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝑃)
8375adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝑃)
8423ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝑃)
8576adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
863, 4, 56, 84, 82, 83, 81, 85hlne2 28291 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
879ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
88 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐷)
8915ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐷)
903, 4, 5, 81, 82, 83, 86, 86, 87, 88, 89tglinethru 28321 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝐶))
9180, 90eleqtrrd 2835 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
9238ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
9391, 92pm2.65da 814 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ 𝐵𝐷)
9447adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
9578, 93, 943jca 1127 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷))
9670, 95impbida 798 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
9737, 55, 963bitr3d 309 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
9897pm5.32da 578 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
99 simprr 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
1006adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1018adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10218adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴𝑃)
10310adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑃)
104 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
1053, 4, 5, 12, 100, 101, 102, 103, 104hpgne1 28446 . . . 4 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ¬ 𝐴𝐷)
106105, 104jca 511 . . 3 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
10799, 106impbida 798 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
1082, 98, 1073bitr2rd 308 1 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  cdif 3945   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28112  Itvcitv 28118  LineGclng 28119  hlGchlg 28285  pInvGcmir 28337  hpGchpg 28442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-trkgc 28133  df-trkgb 28134  df-trkgcb 28135  df-trkgld 28137  df-trkg 28138  df-cgrg 28196  df-leg 28268  df-hlg 28286  df-mir 28338  df-rag 28379  df-perpg 28381  df-hpg 28443
This theorem is referenced by:  hphl  28456
  Copyright terms: Public domain W3C validator