Theorem colhp 28852

Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colhp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
colhp	⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colhp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)))
3		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgid.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hpgid.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		colopp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15		colopp.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
16	3, 5, 4, 6, 8, 15	tglnpt 28631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
18		hpgid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
19	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mircl 28743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
21	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
22	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		nelne2 3031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐴)
25	15, 24	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐴)
26	25	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝐶)
27	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mirbtwn 28740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
28	3, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 27	tgbtwncom 28570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
30	3, 4, 5, 7, 23, 22, 20, 26, 29	btwnlng3 28703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
31		colopp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32	3, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 31	colrot1 28641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
33	3, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 32	colcom 28640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
35	3, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 30, 34	coltr 28729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
36	3, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 35	colrot1 28641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
37	3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 36	colopp 28851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)))
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
39	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mirmir 28744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
41	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
43	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
44		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
45	3, 13, 4, 5, 14, 41, 17, 42, 43, 44	mirln 28758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∈ 𝐷)
46	40, 45	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
47	46	stoic1a 1774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
49	48	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
50	15, 49, 28	rspcedvd 3567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
52	38, 47, 51	jca31 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
53	3, 13, 4, 12, 23, 20	islnopp 28821	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))))
54	52, 53	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
55	3, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 54	lnopp2hpgb 28845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
56		colhp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
57	10	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
58	18	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
59	16	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	6	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
61	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
62		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
63		nelne2 3031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐵)
64	63	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐶)
65	61, 62, 64	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
66	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
67		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
68	3, 13, 4, 5, 14, 60, 17, 56, 59, 57, 58, 58, 65, 66, 67	mirhl2 28763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)
69	3, 4, 56, 57, 58, 59, 60, 68	hlcomd 28686	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
70	69	3adantr3 1173	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
71	18	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
72	10	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
73	19	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
74	6	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
75	16	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
76		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
77	28	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
78	3, 4, 56, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	btwnhl 28696	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
79	3, 4, 56, 71, 72, 75, 74, 5, 76	hlln 28689	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
81	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
82	11	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
83	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
84	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
85	76	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
86	3, 4, 56, 84, 82, 83, 81, 85	hlne2 28688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐶)
87	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
88		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
89	15	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
90	3, 4, 5, 81, 82, 83, 86, 86, 87, 88, 89	tglinethru 28718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝐶))
91	80, 90	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
92	38	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
93	91, 92	pm2.65da 817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
94	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
95	78, 93, 94	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷))
96	70, 95	impbida 801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
97	37, 55, 96	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
98	97	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)))
99		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
100	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
102	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
103	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
105	3, 4, 5, 12, 100, 101, 102, 103, 104	hpgne1 28843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
106	105, 104	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
107	99, 106	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
108	2, 98, 107	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  {copab 5148  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28509  Itvcitv 28515  LineGclng 28516  hlGchlg 28682  pInvGcmir 28734  hpGchpg 28839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28530  df-trkgb 28531  df-trkgcb 28532  df-trkgld 28534  df-trkg 28535  df-cgrg 28593  df-leg 28665  df-hlg 28683  df-mir 28735  df-rag 28776  df-perpg 28778  df-hpg 28840

This theorem is referenced by:  hphl  28853