Theorem colhp 28842

Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colhp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
colhp	⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colhp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)))
3		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgid.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hpgid.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		colopp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15		colopp.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
16	3, 5, 4, 6, 8, 15	tglnpt 28621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
18		hpgid.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
19	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mircl 28733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
21	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
22	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
24		nelne2 3030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐴)
25	15, 24	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐴)
26	25	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝐶)
27	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mirbtwn 28730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
28	3, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 27	tgbtwncom 28560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
30	3, 4, 5, 7, 23, 22, 20, 26, 29	btwnlng3 28693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
31		colopp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32	3, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 31	colrot1 28631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
33	3, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 32	colcom 28630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
35	3, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 30, 34	coltr 28719	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
36	3, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 35	colrot1 28631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
37	3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 36	colopp 28841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)))
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
39	3, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18	mirmir 28734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
41	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
43	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
44		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
45	3, 13, 4, 5, 14, 41, 17, 42, 43, 44	mirln 28748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∈ 𝐷)
46	40, 45	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
47	46	stoic1a 1773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
49	48	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
50	15, 49, 28	rspcedvd 3578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
52	38, 47, 51	jca31 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
53	3, 13, 4, 12, 23, 20	islnopp 28811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))))
54	52, 53	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
55	3, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 54	lnopp2hpgb 28835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
56		colhp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
57	10	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
58	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
59	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
61	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
62		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
63		nelne2 3030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐵)
64	63	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐶)
65	61, 62, 64	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
66	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
67		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
68	3, 13, 4, 5, 14, 60, 17, 56, 59, 57, 58, 58, 65, 66, 67	mirhl2 28753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)
69	3, 4, 56, 57, 58, 59, 60, 68	hlcomd 28676	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
70	69	3adantr3 1172	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
71	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
72	10	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
73	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
74	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
75	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
76		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
77	28	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
78	3, 4, 56, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	btwnhl 28686	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
79	3, 4, 56, 71, 72, 75, 74, 5, 76	hlln 28679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
81	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
82	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
83	75	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
84	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
85	76	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
86	3, 4, 56, 84, 82, 83, 81, 85	hlne2 28678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐶)
87	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
88		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
89	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
90	3, 4, 5, 81, 82, 83, 86, 86, 87, 88, 89	tglinethru 28708	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝐶))
91	80, 90	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
92	38	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
93	91, 92	pm2.65da 816	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
94	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
95	78, 93, 94	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷))
96	70, 95	impbida 800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
97	37, 55, 96	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵))
98	97	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)))
99		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
100	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
102	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
103	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
105	3, 4, 5, 12, 100, 101, 102, 103, 104	hpgne1 28833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
106	105, 104	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
107	99, 106	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
108	2, 98, 107	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898   class class class wbr 5098  {copab 5160  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  distcds 17186  TarskiGcstrkg 28499  Itvcitv 28505  LineGclng 28506  hlGchlg 28672  pInvGcmir 28724  hpGchpg 28829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772  df-trkgc 28520  df-trkgb 28521  df-trkgcb 28522  df-trkgld 28524  df-trkg 28525  df-cgrg 28583  df-leg 28655  df-hlg 28673  df-mir 28725  df-rag 28766  df-perpg 28768  df-hpg 28830

This theorem is referenced by:  hphl  28843