Theorem chssii 31160

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31156	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31142	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   ℋchba 30848   C_ℋ cch 30858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-hilex 30928

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-sh 31136  df-ch 31150

This theorem is referenced by:  cheli  31161  chelii  31162  hhsscms  31207  chocvali  31228  chm1i  31385  chsscon3i  31390  chsscon2i  31392  chjoi  31417  chj1i  31418  shjshsi  31421  sshhococi  31475  h1dei  31479  spansnpji  31507  spanunsni  31508  h1datomi  31510  spansnji  31575  pjfi  31633  riesz3i  31991  hmopidmpji  32081  pjoccoi  32107  pjinvari  32120  stcltr2i  32204  mdsymi  32340  mdcompli  32358  dmdcompli  32359