Theorem chssii 31620

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31616	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31602	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   ℋchba 31308   C_ℋ cch 31318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-hilex 31388

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-sh 31596  df-ch 31610

This theorem is used by:  cheli  31621  chelii  31622  hhsscms  31667  chocvali  31688  chm1i  31845  chsscon3i  31850  chsscon2i  31852  chjoi  31877  chj1i  31878  shjshsi  31881  sshhococi  31935  h1dei  31939  spansnpji  31967  spanunsni  31968  h1datomi  31970  spansnji  32035  pjfi  32093  riesz3i  32451  hmopidmpji  32541  pjoccoi  32567  pjinvari  32580  stcltr2i  32664  mdsymi  32800  mdcompli  32818  dmdcompli  32819