Theorem chssii 31492

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31488	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31474	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   ℋchba 31180   C_ℋ cch 31190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-hilex 31260

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-cnv 5660  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-sh 31468  df-ch 31482

This theorem is referenced by:  cheli  31493  chelii  31494  hhsscms  31539  chocvali  31560  chm1i  31717  chsscon3i  31722  chsscon2i  31724  chjoi  31749  chj1i  31750  shjshsi  31753  sshhococi  31807  h1dei  31811  spansnpji  31839  spanunsni  31840  h1datomi  31842  spansnji  31907  pjfi  31965  riesz3i  32323  hmopidmpji  32413  pjoccoi  32439  pjinvari  32452  stcltr2i  32536  mdsymi  32672  mdcompli  32690  dmdcompli  32691