Theorem chssii 31166

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31162	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31148	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916   ℋchba 30854   C_ℋ cch 30864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-hilex 30934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-cnv 5648  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fv 6521  df-ov 7392  df-sh 31142  df-ch 31156

This theorem is referenced by:  cheli  31167  chelii  31168  hhsscms  31213  chocvali  31234  chm1i  31391  chsscon3i  31396  chsscon2i  31398  chjoi  31423  chj1i  31424  shjshsi  31427  sshhococi  31481  h1dei  31485  spansnpji  31513  spanunsni  31514  h1datomi  31516  spansnji  31581  pjfi  31639  riesz3i  31997  hmopidmpji  32087  pjoccoi  32113  pjinvari  32126  stcltr2i  32210  mdsymi  32346  mdcompli  32364  dmdcompli  32365