Theorem chssii 31815

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31811	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31797	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ℋchba 31503   C_ℋ cch 31513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-hilex 31583

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fv 6539  df-ov 7415  df-sh 31791  df-ch 31805

This theorem is used by:  cheli  31816  chelii  31817  hhsscms  31862  chocvali  31883  chm1i  32040  chsscon3i  32045  chsscon2i  32047  chjoi  32072  chj1i  32073  shjshsi  32076  sshhococi  32130  h1dei  32134  spansnpji  32162  spanunsni  32163  h1datomi  32165  spansnji  32230  pjfi  32288  riesz3i  32646  hmopidmpji  32736  pjoccoi  32762  pjinvari  32775  stcltr2i  32859  mdsymi  32995  mdcompli  33013  dmdcompli  33014