Theorem chssii 31380

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31376	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31362	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   ℋchba 31068   C_ℋ cch 31078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-hilex 31148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-sh 31356  df-ch 31370

This theorem is referenced by:  cheli  31381  chelii  31382  hhsscms  31427  chocvali  31448  chm1i  31605  chsscon3i  31610  chsscon2i  31612  chjoi  31637  chj1i  31638  shjshsi  31641  sshhococi  31695  h1dei  31699  spansnpji  31727  spanunsni  31728  h1datomi  31730  spansnji  31795  pjfi  31853  riesz3i  32211  hmopidmpji  32301  pjoccoi  32327  pjinvari  32340  stcltr2i  32424  mdsymi  32560  mdcompli  32578  dmdcompli  32579