Theorem chssii 31318

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31314	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31300	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   ℋchba 31006   C_ℋ cch 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-hilex 31086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-sh 31294  df-ch 31308

This theorem is referenced by:  cheli  31319  chelii  31320  hhsscms  31365  chocvali  31386  chm1i  31543  chsscon3i  31548  chsscon2i  31550  chjoi  31575  chj1i  31576  shjshsi  31579  sshhococi  31633  h1dei  31637  spansnpji  31665  spanunsni  31666  h1datomi  31668  spansnji  31733  pjfi  31791  riesz3i  32149  hmopidmpji  32239  pjoccoi  32265  pjinvari  32278  stcltr2i  32362  mdsymi  32498  mdcompli  32516  dmdcompli  32517