Theorem chssii 31863

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31859	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31845	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ℋchba 31551   C_ℋ cch 31561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-hilex 31631

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fv 6566  df-ov 7446  df-sh 31839  df-ch 31853

This theorem is used by:  cheli  31864  chelii  31865  hhsscms  31910  chocvali  31931  chm1i  32088  chsscon3i  32093  chsscon2i  32095  chjoi  32120  chj1i  32121  shjshsi  32124  sshhococi  32178  h1dei  32182  spansnpji  32210  spanunsni  32211  h1datomi  32213  spansnji  32278  pjfi  32336  riesz3i  32694  hmopidmpji  32784  pjoccoi  32810  pjinvari  32823  stcltr2i  32907  mdsymi  33043  mdcompli  33061  dmdcompli  33062