Theorem chssii 31720

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31716	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31702	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   ℋchba 31408   C_ℋ cch 31418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-hilex 31488

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-sh 31696  df-ch 31710

This theorem is used by:  cheli  31721  chelii  31722  hhsscms  31767  chocvali  31788  chm1i  31945  chsscon3i  31950  chsscon2i  31952  chjoi  31977  chj1i  31978  shjshsi  31981  sshhococi  32035  h1dei  32039  spansnpji  32067  spanunsni  32068  h1datomi  32070  spansnji  32135  pjfi  32193  riesz3i  32551  hmopidmpji  32641  pjoccoi  32667  pjinvari  32680  stcltr2i  32764  mdsymi  32900  mdcompli  32918  dmdcompli  32919