Theorem chssii 31306

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31302	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31288	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   ℋchba 30994   C_ℋ cch 31004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-hilex 31074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-sh 31282  df-ch 31296

This theorem is referenced by:  cheli  31307  chelii  31308  hhsscms  31353  chocvali  31374  chm1i  31531  chsscon3i  31536  chsscon2i  31538  chjoi  31563  chj1i  31564  shjshsi  31567  sshhococi  31621  h1dei  31625  spansnpji  31653  spanunsni  31654  h1datomi  31656  spansnji  31721  pjfi  31779  riesz3i  32137  hmopidmpji  32227  pjoccoi  32253  pjinvari  32266  stcltr2i  32350  mdsymi  32486  mdcompli  32504  dmdcompli  32505