Theorem chssii 31321

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31317	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31303	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   ℋchba 31009   C_ℋ cch 31019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-hilex 31089

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7360  df-sh 31297  df-ch 31311

This theorem is referenced by:  cheli  31322  chelii  31323  hhsscms  31368  chocvali  31389  chm1i  31546  chsscon3i  31551  chsscon2i  31553  chjoi  31578  chj1i  31579  shjshsi  31582  sshhococi  31636  h1dei  31640  spansnpji  31668  spanunsni  31669  h1datomi  31671  spansnji  31736  pjfi  31794  riesz3i  32152  hmopidmpji  32242  pjoccoi  32268  pjinvari  32281  stcltr2i  32365  mdsymi  32501  mdcompli  32519  dmdcompli  32520