Theorem chssii 31302

Description: A closed subspace of a Hilbert space is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chssii	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Proof of Theorem chssii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31298	. 2 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	2	shssii 31284	1 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   ℋchba 30990   C_ℋ cch 31000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-hilex 31070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-sh 31278  df-ch 31292

This theorem is referenced by:  cheli  31303  chelii  31304  hhsscms  31349  chocvali  31370  chm1i  31527  chsscon3i  31532  chsscon2i  31534  chjoi  31559  chj1i  31560  shjshsi  31563  sshhococi  31617  h1dei  31621  spansnpji  31649  spanunsni  31650  h1datomi  31652  spansnji  31717  pjfi  31775  riesz3i  32133  hmopidmpji  32223  pjoccoi  32249  pjinvari  32262  stcltr2i  32346  mdsymi  32482  mdcompli  32500  dmdcompli  32501