Theorem spanunsni 31545

Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanunsn.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spanunsn.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanunsni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanunsn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31193	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		spanunsn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4		snssi 4790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5		spancl 31302	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ )
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
7	2, 6	shseli 31282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
8	3	elspansni 31524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵))
9	1, 3	pjclii 31387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10		shmulcl 31184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
11	2, 9, 10	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12		shaddcl 31183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
13	11, 12	syl3an3 1165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
14	2, 13	mp3an1 1449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
15	1	choccli 31273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
16	15, 3	pjhclii 31388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17		spansnmul 31530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
18	16, 17	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
20	1, 3	pjpji 31390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
21	20	oveq2i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ·ℎ 𝐵) = (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
22	1, 3	pjhclii 31388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23		ax-hvdistr1 30974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
24	22, 16, 23	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
25	21, 24	eqtrid 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
27	26	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
28	1	cheli 31198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
29		hvmulcl 30979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
30	22, 29	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31		hvmulcl 30979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
32	16, 31	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
33	30, 32	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34		ax-hvass 30968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35	34	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
36	28, 33, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
37	27, 36	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38		rspceov 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
39	14, 19, 37, 38	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
40		snssi 4790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41		spancl 31302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ )
42	16, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ
43	2, 42	shseli 31282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
44	39, 43	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
46	45	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))))
47	46	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
48		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
49	48	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
50	44, 47, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
51	50	exp43 436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
52	51	rexlimdv 3140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
53	8, 52	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
54	53	rexlimdv 3140	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
55	54	rexlimiv 3135	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
56	7, 55	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
57	2, 42	shseli 31282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
58	16	elspansni 31524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59		negcl 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60		shmulcl 31184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
61	2, 9, 60	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63		shaddcl 31183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
64	62, 63	syl3an2 1164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
65	2, 64	mp3an1 1449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
66	65	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
67		spansnmul 31530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
68	3, 67	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70		hvm1neg 30998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
71	22, 70	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
72	71	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
73		hvnegid 30993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
74	30, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
75		hvmulcl 30979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
76	59, 22, 75	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77		ax-hvcom 30967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
78	30, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
79	72, 74, 78	3eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 0ℎ = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 0ℎ = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
81	80	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82		hvaddcl 30978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
83	28, 32, 82	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84		hvaddlid 30989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
86	76, 30	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
88	28, 32	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89		hvadd4 31002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
90	87, 88, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
91	81, 85, 90	3eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
92	26	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
93	91, 92	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
94		rspceov 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
95	66, 69, 93, 94	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
96	2, 6	shseli 31282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
97	95, 96	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
98		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
99	98	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
100	99	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
102	101	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
103	97, 100, 102	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
104	103	exp43 436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))))
105	104	rexlimdv 3140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
106	58, 105	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
107	106	rexlimdv 3140	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
108	107	rexlimiv 3135	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
109	57, 108	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
110	56, 109	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111	110	eqriv 2731	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
112	1	chssii 31197	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
113	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
114	112, 113	spanuni 31510	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵}))
115		spanid 31313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
116	2, 115	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
117	116	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
118	114, 117	eqtri 2757	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
119	16, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120	112, 119	spanuni 31510	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121	116	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122	120, 121	eqtri 2757	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123	111, 118, 122	3eqtr4i 2767	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   ∪ cun 3931   ⊆ wss 3933  {csn 4608  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  1c1 11139  -cneg 11476   ℋchba 30885   +_ℎ cva 30886   ·_ℎ csm 30887  0_ℎc0v 30890   S_ℋ csh 30894   C_ℋ cch 30895  ⊥cort 30896   +_ℋ cph 30897  spancspn 30898  proj_ℎcpjh 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30965  ax-hfvadd 30966  ax-hvcom 30967  ax-hvass 30968  ax-hv0cl 30969  ax-hvaddid 30970  ax-hfvmul 30971  ax-hvmulid 30972  ax-hvmulass 30973  ax-hvdistr1 30974  ax-hvdistr2 30975  ax-hvmul0 30976  ax-hfi 31045  ax-his1 31048  ax-his2 31049  ax-his3 31050  ax-his4 31051  ax-hcompl 31168

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-oadd 8493  df-omul 8494  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17443  df-topn 17444  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-topgen 17464  df-pt 17465  df-prds 17468  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-mulg 19060  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-fbas 21328  df-fg 21329  df-cnfld 21332  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-cn 23200  df-cnp 23201  df-lm 23202  df-haus 23288  df-tx 23535  df-hmeo 23728  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cfil 25244  df-cau 25245  df-cmet 25246  df-grpo 30459  df-gid 30460  df-ginv 30461  df-gdiv 30462  df-ablo 30511  df-vc 30525  df-nv 30558  df-va 30561  df-ba 30562  df-sm 30563  df-0v 30564  df-vs 30565  df-nmcv 30566  df-ims 30567  df-dip 30667  df-ssp 30688  df-ph 30779  df-cbn 30829  df-hnorm 30934  df-hba 30935  df-hvsub 30937  df-hlim 30938  df-hcau 30939  df-sh 31173  df-ch 31187  df-oc 31218  df-ch0 31219  df-shs 31274  df-span 31275  df-pjh 31361

This theorem is referenced by:  spansnji  31612