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Theorem spanunsni 29941
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1 𝐴C
spanunsn.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanunsni (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7 𝐴C
21chshii 29589 . . . . . 6 𝐴S
3 spanunsn.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℋ
4 snssi 4741 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5 spancl 29698 . . . . . . 7 ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ S )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6 (span‘{𝐵}) ∈ S
72, 6shseli 29678 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
83elspansni 29920 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝐵))
91, 3pjclii 29783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10 shmulcl 29580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
112, 9, 10mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12 shaddcl 29579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴S𝑦𝐴 ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
1311, 12syl3an3 1164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
142, 13mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
151choccli 29669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊥‘𝐴) ∈ C
1615, 3pjhclii 29784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17 spansnmul 29926 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1816, 17mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
201, 3pjpji 29786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
2120oveq2i 7286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 · 𝐵) = (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
221, 3pjhclii 29784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23 ax-hvdistr1 29370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2422, 16, 23mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2521, 24eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · 𝐵) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2726oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
281cheli 29594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
29 hvmulcl 29375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
3022, 29mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31 hvmulcl 29375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
3216, 31mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
3330, 32jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34 ax-hvass 29364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35343expb 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
3628, 33, 35syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
3727, 36eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38 rspceov 7322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
3914, 19, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
40 snssi 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 (((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41 spancl 29698 . . . . . . . . . . . . . 14 ({((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ S )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ S
432, 42shseli 29678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
4439, 43sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)))
4645eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵))))
4746biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = (𝑤 · 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)))
48 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
4948biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
5044, 47, 49syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
5150exp43 437 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
5251rexlimdv 3212 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
538, 52syl5bi 241 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
5453rexlimdv 3212 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
5554rexlimiv 3209 . . . . 5 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
567, 55sylbi 216 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
572, 42shseli 29678 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
5816elspansni 29920 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59 negcl 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60 shmulcl 29580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴S ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
612, 9, 60mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63 shaddcl 29579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S ∧ (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
6462, 63syl3an2 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴S𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
652, 64mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
6665ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
67 spansnmul 29926 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
683, 67mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70 hvm1neg 29394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))
7122, 70mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℂ → (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))
7271oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
73 hvnegid 29389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = 0)
7430, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = 0)
75 hvmulcl 29375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
7659, 22, 75sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77 ax-hvcom 29363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
7830, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
7972, 74, 783eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 0 = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → 0 = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
8180oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82 hvaddcl 29374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
8328, 32, 82syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84 hvaddid2 29385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
8676, 30jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
8828, 32anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89 hvadd4 29398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9087, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9181, 85, 903eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9226oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵)) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9391, 92eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵)))
94 rspceov 7322 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵))) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
9566, 69, 93, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
962, 6shseli 29678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
9795, 96sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
98 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
9998eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
10099biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))
102101biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
10397, 100, 102syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
104103exp43 437 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))))
105104rexlimdv 3212 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))))
10658, 105syl5bi 241 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))))
107106rexlimdv 3212 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))
108107rexlimiv 3209 . . . . 5 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
10957, 108sylbi 216 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
11056, 109impbii 208 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111110eqriv 2735 . 2 (𝐴 + (span‘{𝐵})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1121chssii 29593 . . . 4 𝐴 ⊆ ℋ
1133, 4ax-mp 5 . . . 4 {𝐵} ⊆ ℋ
114112, 113spanuni 29906 . . 3 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵}))
115 spanid 29709 . . . . 5 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
1162, 115ax-mp 5 . . . 4 (span‘𝐴) = 𝐴
117116oveq1i 7285 . . 3 ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵})) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
118114, 117eqtri 2766 . 2 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
11916, 40ax-mp 5 . . . 4 {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120112, 119spanuni 29906 . . 3 (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121116oveq1i 7285 . . 3 ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122120, 121eqtri 2766 . 2 (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123111, 118, 1223eqtr4i 2776 1 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  cun 3885  wss 3887  {csn 4561  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  1c1 10872  -cneg 11206  chba 29281   + cva 29282   · csm 29283  0c0v 29286   S csh 29290   C cch 29291  cort 29292   + cph 29293  spancspn 29294  projcpjh 29299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-shs 29670  df-span 29671  df-pjh 29757
This theorem is referenced by:  spansnji  30008
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