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Theorem spanunsni 29514
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1 𝐴C
spanunsn.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanunsni (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7 𝐴C
21chshii 29162 . . . . . 6 𝐴S
3 spanunsn.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℋ
4 snssi 4696 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5 spancl 29271 . . . . . . 7 ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ S )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6 (span‘{𝐵}) ∈ S
72, 6shseli 29251 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
83elspansni 29493 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝐵))
91, 3pjclii 29356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10 shmulcl 29153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
112, 9, 10mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12 shaddcl 29152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴S𝑦𝐴 ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
1311, 12syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
142, 13mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
151choccli 29242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊥‘𝐴) ∈ C
1615, 3pjhclii 29357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17 spansnmul 29499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1816, 17mpan 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1918adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
201, 3pjpji 29359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
2120oveq2i 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 · 𝐵) = (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
221, 3pjhclii 29357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23 ax-hvdistr1 28943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2422, 16, 23mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2521, 24syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · 𝐵) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2625adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2726oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
281cheli 29167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
29 hvmulcl 28948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
3022, 29mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31 hvmulcl 28948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
3216, 31mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
3330, 32jca 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34 ax-hvass 28937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35343expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
3628, 33, 35syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
3727, 36eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38 rspceov 7217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
3914, 19, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
40 snssi 4696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41 spancl 29271 . . . . . . . . . . . . . 14 ({((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ S )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ S
432, 42shseli 29251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
4439, 43sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45 oveq2 7178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)))
4645eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵))))
4746biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = (𝑤 · 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)))
48 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
4948biimparc 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
5044, 47, 49syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
5150exp43 440 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
5251rexlimdv 3193 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
538, 52syl5bi 245 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
5453rexlimdv 3193 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
5554rexlimiv 3190 . . . . 5 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
567, 55sylbi 220 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
572, 42shseli 29251 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
5816elspansni 29493 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59 negcl 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60 shmulcl 29153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴S ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
612, 9, 60mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63 shaddcl 29152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S ∧ (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
6462, 63syl3an2 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴S𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
652, 64mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
6665ancoms 462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
67 spansnmul 29499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
683, 67mpan 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
6968adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70 hvm1neg 28967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))
7122, 70mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℂ → (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))
7271oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
73 hvnegid 28962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = 0)
7430, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = 0)
75 hvmulcl 28948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
7659, 22, 75sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77 ax-hvcom 28936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
7830, 76, 77syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
7972, 74, 783eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 0 = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
8079adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → 0 = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
8180oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82 hvaddcl 28947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
8328, 32, 82syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84 hvaddid2 28958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
8676, 30jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
8786adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
8828, 32anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89 hvadd4 28971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9087, 88, 89syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9181, 85, 903eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9226oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵)) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9391, 92eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵)))
94 rspceov 7217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵))) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
9566, 69, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
962, 6shseli 29251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
9795, 96sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
98 oveq2 7178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
9998eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
10099biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))
102101biimparc 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
10397, 100, 102syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
104103exp43 440 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))))
105104rexlimdv 3193 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))))
10658, 105syl5bi 245 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))))
107106rexlimdv 3193 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))
108107rexlimiv 3190 . . . . 5 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
10957, 108sylbi 220 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
11056, 109impbii 212 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111110eqriv 2735 . 2 (𝐴 + (span‘{𝐵})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1121chssii 29166 . . . 4 𝐴 ⊆ ℋ
1133, 4ax-mp 5 . . . 4 {𝐵} ⊆ ℋ
114112, 113spanuni 29479 . . 3 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵}))
115 spanid 29282 . . . . 5 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
1162, 115ax-mp 5 . . . 4 (span‘𝐴) = 𝐴
117116oveq1i 7180 . . 3 ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵})) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
118114, 117eqtri 2761 . 2 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
11916, 40ax-mp 5 . . . 4 {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120112, 119spanuni 29479 . . 3 (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121116oveq1i 7180 . . 3 ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122120, 121eqtri 2761 . 2 (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123111, 118, 1223eqtr4i 2771 1 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054  cun 3841  wss 3843  {csn 4516  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  1c1 10616  -cneg 10949  chba 28854   + cva 28855   · csm 28856  0c0v 28859   S csh 28863   C cch 28864  cort 28865   + cph 28866  spancspn 28867  projcpjh 28872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hvcom 28936  ax-hvass 28937  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941  ax-hvmulass 28942  ax-hvdistr1 28943  ax-hvdistr2 28944  ax-hvmul0 28945  ax-hfi 29014  ax-his1 29017  ax-his2 29018  ax-his3 29019  ax-his4 29020  ax-hcompl 29137
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-lm 21980  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cfil 24007  df-cau 24008  df-cmet 24009  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ginv 28430  df-gdiv 28431  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-vs 28534  df-nmcv 28535  df-ims 28536  df-dip 28636  df-ssp 28657  df-ph 28748  df-cbn 28798  df-hnorm 28903  df-hba 28904  df-hvsub 28906  df-hlim 28907  df-hcau 28908  df-sh 29142  df-ch 29156  df-oc 29187  df-ch0 29188  df-shs 29243  df-span 29244  df-pjh 29330
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