Theorem spanunsni 32211

Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanunsn.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spanunsn.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanunsni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanunsn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31859	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		spanunsn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4		snssi 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5		spancl 31968	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ )
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
7	2, 6	shseli 31948	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
8	3	elspansni 32190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵))
9	1, 3	pjclii 32053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10		shmulcl 31850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
11	2, 9, 10	mp3an13 1482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12		shaddcl 31849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
13	11, 12	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
14	2, 13	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
15	1	choccli 31939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
16	15, 3	pjhclii 32054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17		spansnmul 32196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
18	16, 17	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
20	1, 3	pjpji 32056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
21	20	oveq2i 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ·ℎ 𝐵) = (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
22	1, 3	pjhclii 32054	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23		ax-hvdistr1 31640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
24	22, 16, 23	mp3an23 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
25	21, 24	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
27	26	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
28	1	cheli 31864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
29		hvmulcl 31645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
30	22, 29	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31		hvmulcl 31645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
32	16, 31	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
33	30, 32	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34		ax-hvass 31634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35	34	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
36	28, 33, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
37	27, 36	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38		rspceov 7492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
39	14, 19, 37, 38	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
40		snssi 4746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41		spancl 31968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ )
42	16, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ
43	2, 42	shseli 31948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
44	39, 43	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
46	45	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))))
47	46	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
48		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
49	48	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
50	44, 47, 49	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
51	50	exp43 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
52	51	rexlimdv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
53	8, 52	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
54	53	rexlimdv 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
55	54	rexlimiv 3160	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
56	7, 55	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
57	2, 42	shseli 31948	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
58	16	elspansni 32190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59		negcl 11584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60		shmulcl 31850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
61	2, 9, 60	mp3an13 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( -𝑤 ∈ ℂ → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
62	59, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63		shaddcl 31849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
64	62, 63	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
65	2, 64	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
66	65	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
67		spansnmul 32196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
68	3, 67	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
69	68	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70		hvm1neg 31664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
71	22, 70	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
72	71	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
73		hvnegid 31659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
74	30, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
75		hvmulcl 31645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
76	59, 22, 75	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77		ax-hvcom 31633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
78	30, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
79	72, 74, 78	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 0ℎ = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 0ℎ = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
81	80	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82		hvaddcl 31644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
83	28, 32, 82	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84		hvaddlid 31655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
85	83, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
86	76, 30	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
87	86	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
88	28, 32	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89		hvadd4 31668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
90	87, 88, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
91	81, 85, 90	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
92	26	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
93	91, 92	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
94		rspceov 7492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
95	66, 69, 93, 94	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
96	2, 6	shseli 31948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
97	95, 96	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
98		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
99	98	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
100	99	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
102	101	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
103	97, 100, 102	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
104	103	exp43 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))))
105	104	rexlimdv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
106	58, 105	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
107	106	rexlimdv 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
108	107	rexlimiv 3160	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
109	57, 108	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
110	56, 109	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111	110	eqriv 2760	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
112	1	chssii 31863	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
113	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
114	112, 113	spanuni 32176	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵}))
115		spanid 31979	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
116	2, 115	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
117	116	oveq1i 7453	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
118	114, 117	eqtri 2786	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
119	16, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120	112, 119	spanuni 32176	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121	116	oveq1i 7453	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122	120, 121	eqtri 2786	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123	111, 118, 122	3eqtr4i 2796	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228   -cneg 11569   ℋchba 31551   +_ℎ cva 31552   ·_ℎ csm 31553  0_ℎc0v 31556   S_ℋ csh 31560   C_ℋ cch 31561  ⊥cort 31562   +_ℋ cph 31563  spancspn 31564  proj_ℎcpjh 31569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hvcom 31633  ax-hvass 31634  ax-hv0cl 31635  ax-hvaddid 31636  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulid 31638  ax-hvmulass 31639  ax-hvdistr1 31640  ax-hvdistr2 31641  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717  ax-hcompl 31834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-lm 23577  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cfil 25606  df-cau 25607  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-dip 31333  df-ssp 31354  df-ph 31445  df-cbn 31495  df-hnorm 31600  df-hba 31601  df-hvsub 31603  df-hlim 31604  df-hcau 31605  df-sh 31839  df-ch 31853  df-oc 31884  df-ch0 31885  df-shs 31940  df-span 31941  df-pjh 32027

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