Theorem spanunsni 32186

Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanunsn.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spanunsn.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanunsni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanunsn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31834	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		spanunsn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4		snssi 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5		spancl 31943	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ )
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
7	2, 6	shseli 31923	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
8	3	elspansni 32165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵))
9	1, 3	pjclii 32028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10		shmulcl 31825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
11	2, 9, 10	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12		shaddcl 31824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
13	11, 12	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
14	2, 13	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
15	1	choccli 31914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
16	15, 3	pjhclii 32029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17		spansnmul 32171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
18	16, 17	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
20	1, 3	pjpji 32031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
21	20	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ·ℎ 𝐵) = (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
22	1, 3	pjhclii 32029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23		ax-hvdistr1 31615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
24	22, 16, 23	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
25	21, 24	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
27	26	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
28	1	cheli 31839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
29		hvmulcl 31620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
30	22, 29	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31		hvmulcl 31620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
32	16, 31	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
33	30, 32	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34		ax-hvass 31609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35	34	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
36	28, 33, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
37	27, 36	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38		rspceov 7469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
39	14, 19, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
40		snssi 4742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41		spancl 31943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ )
42	16, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ
43	2, 42	shseli 31923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
44	39, 43	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
46	45	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))))
47	46	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
48		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
49	48	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
50	44, 47, 49	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
51	50	exp43 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
52	51	rexlimdv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
53	8, 52	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
54	53	rexlimdv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
55	54	rexlimiv 3156	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
56	7, 55	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
57	2, 42	shseli 31923	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
58	16	elspansni 32165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59		negcl 11560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60		shmulcl 31825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
61	2, 9, 60	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( -𝑤 ∈ ℂ → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
62	59, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63		shaddcl 31824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
64	62, 63	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
65	2, 64	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
66	65	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
67		spansnmul 32171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
68	3, 67	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
69	68	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70		hvm1neg 31639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
71	22, 70	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
72	71	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
73		hvnegid 31634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
74	30, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
75		hvmulcl 31620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
76	59, 22, 75	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77		ax-hvcom 31608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
78	30, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ ( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
79	72, 74, 78	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 0ℎ = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 0ℎ = (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
81	80	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82		hvaddcl 31619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
83	28, 32, 82	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84		hvaddlid 31630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
85	83, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
86	76, 30	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
87	86	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
88	28, 32	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89		hvadd4 31643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
90	87, 88, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
91	81, 85, 90	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
92	26	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
93	91, 92	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
94		rspceov 7469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((( -𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
95	66, 69, 93, 94	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
96	2, 6	shseli 31923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
97	95, 96	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
98		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
99	98	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
100	99	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
102	101	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
103	97, 100, 102	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
104	103	exp43 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))))
105	104	rexlimdv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
106	58, 105	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
107	106	rexlimdv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
108	107	rexlimiv 3156	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
109	57, 108	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
110	56, 109	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111	110	eqriv 2757	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
112	1	chssii 31838	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
113	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
114	112, 113	spanuni 32151	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵}))
115		spanid 31954	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
116	2, 115	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
117	116	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
118	114, 117	eqtri 2783	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
119	16, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120	112, 119	spanuni 32151	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121	116	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122	120, 121	eqtri 2783	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123	111, 118, 122	3eqtr4i 2793	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204   -cneg 11545   ℋchba 31526   +_ℎ cva 31527   ·_ℎ csm 31528  0_ℎc0v 31531   S_ℋ csh 31535   C_ℋ cch 31536  ⊥cort 31537   +_ℋ cph 31538  spancspn 31539  proj_ℎcpjh 31544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cc 10516  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hvcom 31608  ax-hvass 31609  ax-hv0cl 31610  ax-hvaddid 31611  ax-hfvmul 31612  ax-hvmulid 31613  ax-hvmulass 31614  ax-hvdistr1 31615  ax-hvdistr2 31616  ax-hvmul0 31617  ax-hfi 31686  ax-his1 31689  ax-his2 31690  ax-his3 31691  ax-his4 31692  ax-hcompl 31809

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-lm 23552  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cfil 25581  df-cau 25582  df-cmet 25583  df-grpo 31100  df-gid 31101  df-ginv 31102  df-gdiv 31103  df-ablo 31152  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-vs 31206  df-nmcv 31207  df-ims 31208  df-dip 31308  df-ssp 31329  df-ph 31420  df-cbn 31470  df-hnorm 31575  df-hba 31576  df-hvsub 31578  df-hlim 31579  df-hcau 31580  df-sh 31814  df-ch 31828  df-oc 31859  df-ch0 31860  df-shs 31915  df-span 31916  df-pjh 32002

This theorem is used by:  spansnji  32253