Theorem spanunsni 32068

Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanunsn.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spanunsn.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanunsni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanunsn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31716	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		spanunsn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4		snssi 4749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5		spancl 31825	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ )
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
7	2, 6	shseli 31805	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
8	3	elspansni 32047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵))
9	1, 3	pjclii 31910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10		shmulcl 31707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
11	2, 9, 10	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12		shaddcl 31706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
13	11, 12	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
14	2, 13	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
15	1	choccli 31796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
16	15, 3	pjhclii 31911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17		spansnmul 32053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
18	16, 17	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
20	1, 3	pjpji 31913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
21	20	oveq2i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ·ℎ 𝐵) = (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
22	1, 3	pjhclii 31911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23		ax-hvdistr1 31497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
24	22, 16, 23	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
25	21, 24	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
27	26	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
28	1	cheli 31721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
29		hvmulcl 31502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
30	22, 29	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31		hvmulcl 31502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
32	16, 31	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
33	30, 32	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34		ax-hvass 31491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35	34	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
36	28, 33, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
37	27, 36	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38		rspceov 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
39	14, 19, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
40		snssi 4749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41		spancl 31825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ )
42	16, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ
43	2, 42	shseli 31805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
44	39, 43	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
46	45	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))))
47	46	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
48		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
49	48	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
50	44, 47, 49	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
51	50	exp43 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
52	51	rexlimdv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
53	8, 52	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
54	53	rexlimdv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
55	54	rexlimiv 3158	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
56	7, 55	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
57	2, 42	shseli 31805	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
58	16	elspansni 32047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59		negcl 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60		shmulcl 31707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
61	2, 9, 60	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
62	59, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63		shaddcl 31706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
64	62, 63	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
65	2, 64	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
66	65	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
67		spansnmul 32053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
68	3, 67	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
69	68	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70		hvm1neg 31521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
71	22, 70	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
72	71	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
73		hvnegid 31516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
74	30, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
75		hvmulcl 31502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
76	59, 22, 75	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77		ax-hvcom 31490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
78	30, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
79	72, 74, 78	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 0ℎ = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 0ℎ = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
81	80	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82		hvaddcl 31501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
83	28, 32, 82	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84		hvaddlid 31512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
85	83, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
86	76, 30	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
87	86	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
88	28, 32	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89		hvadd4 31525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
90	87, 88, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
91	81, 85, 90	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
92	26	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
93	91, 92	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
94		rspceov 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
95	66, 69, 93, 94	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
96	2, 6	shseli 31805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
97	95, 96	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
98		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
99	98	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
100	99	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
102	101	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
103	97, 100, 102	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
104	103	exp43 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))))
105	104	rexlimdv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
106	58, 105	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
107	106	rexlimdv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
108	107	rexlimiv 3158	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
109	57, 108	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
110	56, 109	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111	110	eqriv 2759	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
112	1	chssii 31720	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
113	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
114	112, 113	spanuni 32033	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵}))
115		spanid 31836	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
116	2, 115	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
117	116	oveq1i 7427	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
118	114, 117	eqtri 2785	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
119	16, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120	112, 119	spanuni 32033	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121	116	oveq1i 7427	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122	120, 121	eqtri 2785	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123	111, 118, 122	3eqtr4i 2795	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129  -cneg 11470   ℋchba 31408   +_ℎ cva 31409   ·_ℎ csm 31410  0_ℎc0v 31413   S_ℋ csh 31417   C_ℋ cch 31418  ⊥cort 31419   +_ℋ cph 31420  spancspn 31421  proj_ℎcpjh 31426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hvcom 31490  ax-hvass 31491  ax-hv0cl 31492  ax-hvaddid 31493  ax-hfvmul 31494  ax-hvmulid 31495  ax-hvmulass 31496  ax-hvdistr1 31497  ax-hvdistr2 31498  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his1 31571  ax-his2 31572  ax-his3 31573  ax-his4 31574  ax-hcompl 31691

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-lm 23460  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cfil 25489  df-cau 25490  df-cmet 25491  df-grpo 30982  df-gid 30983  df-ginv 30984  df-gdiv 30985  df-ablo 31034  df-vc 31048  df-nv 31081  df-va 31084  df-ba 31085  df-sm 31086  df-0v 31087  df-vs 31088  df-nmcv 31089  df-ims 31090  df-dip 31190  df-ssp 31211  df-ph 31302  df-cbn 31352  df-hnorm 31457  df-hba 31458  df-hvsub 31460  df-hlim 31461  df-hcau 31462  df-sh 31696  df-ch 31710  df-oc 31741  df-ch0 31742  df-shs 31797  df-span 31798  df-pjh 31884

This theorem is used by:  spansnji  32135