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Theorem spanunsni 29271
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1 𝐴C
spanunsn.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
spanunsni (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7 𝐴C
21chshii 28919 . . . . . 6 𝐴S
3 spanunsn.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℋ
4 snssi 4739 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5 spancl 29028 . . . . . . 7 ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ S )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6 (span‘{𝐵}) ∈ S
72, 6shseli 29008 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
83elspansni 29250 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝐵))
91, 3pjclii 29113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10 shmulcl 28910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
112, 9, 10mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12 shaddcl 28909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴S𝑦𝐴 ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
1311, 12syl3an3 1159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
142, 13mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
151choccli 28999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊥‘𝐴) ∈ C
1615, 3pjhclii 29114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17 spansnmul 29256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1816, 17mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
201, 3pjpji 29116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
2120oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 · 𝐵) = (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
221, 3pjhclii 29114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23 ax-hvdistr1 28700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2422, 16, 23mp3an23 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · (((proj𝐴)‘𝐵) + ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2521, 24syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · 𝐵) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
2726oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
281cheli 28924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
29 hvmulcl 28705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
3022, 29mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31 hvmulcl 28705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
3216, 31mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
3330, 32jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34 ax-hvass 28694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35343expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
3628, 33, 35syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
3727, 36eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38 rspceov 7198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = ((𝑦 + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
3914, 19, 37, 38syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
40 snssi 4739 . . . . . . . . . . . . . 14 (((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41 spancl 29028 . . . . . . . . . . . . . 14 ({((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ S )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ S
432, 42shseli 29008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) = (𝑣 + 𝑢))
4439, 43sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)))
4645eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵))))
4746biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = (𝑤 · 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)))
48 eleq1 2904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
4948biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 + (𝑤 · 𝐵)) ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
5044, 47, 49syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
5150exp43 437 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
5251rexlimdv 3287 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
538, 52syl5bi 243 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
5453rexlimdv 3287 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
5554rexlimiv 3284 . . . . 5 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
567, 55sylbi 218 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
572, 42shseli 29008 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
5816elspansni 29250 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59 negcl 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60 shmulcl 28910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴S ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
612, 9, 60mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63 shaddcl 28909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S ∧ (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
6462, 63syl3an2 1158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴S𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
652, 64mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
6665ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴)
67 spansnmul 29256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
683, 67mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70 hvm1neg 28724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))
7122, 70mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℂ → (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))
7271oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
73 hvnegid 28719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = 0)
7430, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-1 · (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)))) = 0)
75 hvmulcl 28705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑤 ∈ ℂ ∧ ((proj𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
7659, 22, 75sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77 ax-hvcom 28693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
7830, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
7972, 74, 783eqtr3d 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 0 = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → 0 = ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))))
8180oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82 hvaddcl 28704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
8328, 32, 82syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84 hvaddid2 28715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
8676, 30jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
8828, 32anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89 hvadd4 28728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9087, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵))) + (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9181, 85, 903eqtr3d 2868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9226oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵)) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + ((𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
9391, 92eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵)))
94 rspceov 7198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 · 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 · ((proj𝐴)‘𝐵)) + 𝑦) + (𝑤 · 𝐵))) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
9566, 69, 93, 94syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
962, 6shseli 29008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 + 𝑢))
9795, 96sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
98 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
9998eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
10099biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101 eleq1 2904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))
102101biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
10397, 100, 102syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
104103exp43 437 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))))
105104rexlimdv 3287 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))))
10658, 105syl5bi 243 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))))
107106rexlimdv 3287 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵}))))
108107rexlimiv 3284 . . . . 5 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
10957, 108sylbi 218 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})))
11056, 109impbii 210 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111110eqriv 2821 . 2 (𝐴 + (span‘{𝐵})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
1121chssii 28923 . . . 4 𝐴 ⊆ ℋ
1133, 4ax-mp 5 . . . 4 {𝐵} ⊆ ℋ
114112, 113spanuni 29236 . . 3 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵}))
115 spanid 29039 . . . . 5 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
1162, 115ax-mp 5 . . . 4 (span‘𝐴) = 𝐴
117116oveq1i 7161 . . 3 ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵})) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
118114, 117eqtri 2848 . 2 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
11916, 40ax-mp 5 . . . 4 {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120112, 119spanuni 29236 . . 3 (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121116oveq1i 7161 . . 3 ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122120, 121eqtri 2848 . 2 (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123111, 118, 1223eqtr4i 2858 1 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wrex 3143  cun 3937  wss 3939  {csn 4563  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  1c1 10530  -cneg 10863  chba 28611   + cva 28612   · csm 28613  0c0v 28616   S csh 28620   C cch 28621  cort 28622   + cph 28623  spancspn 28624  projcpjh 28629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28691  ax-hfvadd 28692  ax-hvcom 28693  ax-hvass 28694  ax-hv0cl 28695  ax-hvaddid 28696  ax-hfvmul 28697  ax-hvmulid 28698  ax-hvmulass 28699  ax-hvdistr1 28700  ax-hvdistr2 28701  ax-hvmul0 28702  ax-hfi 28771  ax-his1 28774  ax-his2 28775  ax-his3 28776  ax-his4 28777  ax-hcompl 28894
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28185  df-gid 28186  df-ginv 28187  df-gdiv 28188  df-ablo 28237  df-vc 28251  df-nv 28284  df-va 28287  df-ba 28288  df-sm 28289  df-0v 28290  df-vs 28291  df-nmcv 28292  df-ims 28293  df-dip 28393  df-ssp 28414  df-ph 28505  df-cbn 28555  df-hnorm 28660  df-hba 28661  df-hvsub 28663  df-hlim 28664  df-hcau 28665  df-sh 28899  df-ch 28913  df-oc 28944  df-ch0 28945  df-shs 29000  df-span 29001  df-pjh 29087
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