Theorem spanunsni 31608

Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanunsn.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spanunsn.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spanunsni	⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Proof of Theorem spanunsni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanunsn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31256	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		spanunsn.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4		snssi 4813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
5		spancl 31365	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵} ⊆ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ )
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
7	2, 6	shseli 31345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
8	3	elspansni 31587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵))
9	1, 3	pjclii 31450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴
10		shmulcl 31247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
11	2, 9, 10	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
12		shaddcl 31246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
13	11, 12	syl3an3 1164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
14	2, 13	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴)
15	1	choccli 31336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
16	15, 3	pjhclii 31451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
17		spansnmul 31593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
18	16, 17	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
20	1, 3	pjpji 31453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))
21	20	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ·ℎ 𝐵) = (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
22	1, 3	pjhclii 31451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ
23		ax-hvdistr1 31037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
24	22, 16, 23	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ (((projℎ‘𝐴)‘𝐵) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
25	21, 24	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
27	26	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
28	1	cheli 31261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
29		hvmulcl 31042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
30	22, 29	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
31		hvmulcl 31042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
32	16, 31	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)
33	30, 32	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
34		ax-hvass 31031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
35	34	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
36	28, 33, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑦 +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
37	27, 36	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
38		rspceov 7480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
39	14, 19, 37, 38	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
40		snssi 4813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
41		spancl 31365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ → (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ )
42	16, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Sℋ
43	2, 42	shseli 31345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
44	39, 43	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
45		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
46	45	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))))
47	46	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
48		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
49	48	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
50	44, 47, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
51	50	exp43 436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))))
52	51	rexlimdv 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
53	8, 52	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))))
54	53	rexlimdv 3151	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))))
55	54	rexlimiv 3146	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐵})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
56	7, 55	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
57	2, 42	shseli 31345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
58	16	elspansni 31587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))
59		negcl 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → -𝑤 ∈ ℂ)
60		shmulcl 31247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ -𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝐴) → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
61	2, 9, 60	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴)
63		shaddcl 31246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
64	62, 63	syl3an2 1163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
65	2, 64	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
66	65	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴)
67		spansnmul 31593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
68	3, 67	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
70		hvm1neg 31061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
71	22, 70	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))
72	71	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
73		hvnegid 31056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
74	30, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)))) = 0ℎ)
75		hvmulcl 31042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-𝑤 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℋ) → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
76	59, 22, 75	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ)
77		ax-hvcom 31030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
78	30, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
79	72, 74, 78	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 0ℎ = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 0ℎ = ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))))
81	80	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
82		hvaddcl 31041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
83	28, 32, 82	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ)
84		hvaddlid 31052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (0ℎ +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
86	76, 30	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ))
88	28, 32	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ))
89		hvadd4 31065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∈ ℋ)) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
90	87, 88, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵))) +ℎ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
91	81, 85, 90	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
92	26	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ ((𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
93	91, 92	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵)))
94		rspceov 7480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 ·ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ∧ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (((-𝑤 ·ℎ ((projℎ‘𝐴)‘𝐵)) +ℎ 𝑦) +ℎ (𝑤 ·ℎ 𝐵))) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
95	66, 69, 93, 94	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
96	2, 6	shseli 31345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ (span‘{𝐵})(𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
97	95, 96	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
98		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
99	98	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))))
100	99	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))))
101		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
102	101	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵))) ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
103	97, 100, 102	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
104	103	exp43 436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℂ → (𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))))
105	104	rexlimdv 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
106	58, 105	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))))
107	106	rexlimdv 3151	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
108	107	rexlimiv 3146	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
109	57, 108	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))
110	56, 109	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
111	110	eqriv 2732	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
112	1	chssii 31260	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
113	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
114	112, 113	spanuni 31573	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵}))
115		spanid 31376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
116	2, 115	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
117	116	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
118	114, 117	eqtri 2763	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
119	16, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
120	112, 119	spanuni 31573	. . 3 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
121	116	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
122	120, 121	eqtri 2763	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
123	111, 118, 122	3eqtr4i 2773	1 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154  -cneg 11491   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950  0_ℎc0v 30953   S_ℋ csh 30957   C_ℋ cch 30958  ⊥cort 30959   +_ℋ cph 30960  spancspn 30961  proj_ℎcpjh 30966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-span 31338  df-pjh 31424

This theorem is referenced by:  spansnji  31675